Kocka je hodená raz. Pravdepodobnosť kocky
Vysvetlite princíp riešenia problému. Kocka sa hodí raz. Aká je pravdepodobnosť získania menej ako 4 bodov? a dostal najlepšiu odpoveď
Odpoveď od Divergent [guru]
50 percent
Princíp je mimoriadne jednoduchý. Celkové výsledky 6: 1,2,3,4,5,6
Z toho tri spĺňajú podmienku: 1,2,3 a tri nespĺňajú: 4,5,6. Preto je pravdepodobnosť 3/6 = 1/2 = 0,5 = 50 %
Odpoveď od som superman[guru]
Celkovo môže vypadnúť šesť možností (1,2,3,4,5,6)
A z týchto možností sú 1, 2 a 3 menej ako štyri
Takže 3 odpovede zo 6
Na výpočet pravdepodobnosti rozdelíme priaznivé zarovnanie na všetko, t.j. 3 x 6 \u003d 0,5 alebo 50%
Odpoveď od Jurij Dovbyš[aktívny]
50%
vydeliť 100 % počtom čísel na kocke,
a potom vynásobte prijaté percento sumou, ktorú potrebujete zistiť, tj 3)
Odpoveď od Ivan Panin[guru]
neviem naisto, pripravujem sa na GIA, ale dnes mi ucitel povedal nieco, len o pravdepodobnosti aut, kedze som pochopil, ze pomer sa uvadza zlomkom, zhora je to cislo priaznive. , ale odspodu je to podla mna vseobecne vseobecne, no, mali sme asi taketo auta : Taxi spolocnost ma momentalne k dispozicii 3 cierne, 3 zlte a 14 zelenych aut. Jedno z áut odišlo pre zákazníka. Nájdite pravdepodobnosť, že príde žltý taxík. Sú to teda 3 žlté taxíky a z celkového počtu áut sú 3, vychádza nám, že na zlomok napíšeme 3, pretože to je priaznivý počet áut a na spodok napíšeme 20. , lebo vo flotile taxíkov je 20 áut, tak dostaneme pravdepodobnosť 3 až 20 alebo 3/20 zlomkov, no, tak som to pochopil .... Čo sa týka kostí, neviem to určite, ale možno to nejakým spôsobom pomohlo...
Odpoveď od 3 odpovede[guru]
Ahoj! Tu je výber tém s odpoveďami na vašu otázku: Vysvetlite princíp riešenia problému. Kocka sa hodí raz. Aká je pravdepodobnosť získania menej ako 4 bodov?
Úlohy pre pravdepodobnosť kocky nie menej populárne ako problémy s hádzaním mincí. Podmienka takéhoto problému zvyčajne znie takto: aká je pravdepodobnosť, že pri hode jednou alebo viacerými kockami (2 alebo 3) bude súčet bodov 10, alebo počet bodov 4, alebo súčin počet bodov, alebo deliteľný 2 súčinom počtu bodov atď.
Aplikácia klasického pravdepodobnostného vzorca je hlavnou metódou riešenia problémov tohto typu.
Jedna kocka, pravdepodobnosť.
S jednou kockou je situácia celkom jednoduchá. je určená vzorcom: P=m/n, kde m je počet priaznivých výsledkov pre udalosť a n je počet všetkých elementárnych rovnako možných výsledkov experimentu s hodom kockou alebo kockou.
Úloha 1. Kocka je hodená raz. Aká je pravdepodobnosť získania párneho počtu bodov?
Keďže kocka je kocka (alebo sa nazýva aj obyčajná kocka, kocka padne na všetky steny s rovnakou pravdepodobnosťou, keďže je vyvážená), kocka má 6 stien (počet bodov od 1 do 6, čo sú zvyčajne označené bodkami), čo znamená, že v úlohe je celkový počet výsledkov: n=6. Udalosť je zvýhodnená iba výsledkami, v ktorých vypadne stena s párnymi bodmi 2, 4 a 6, pre kocku s takými stenami: m=3. Teraz môžeme určiť požadovanú pravdepodobnosť kocky: P=3/6=1/2=0,5.
Úloha 2. Kocka je hodená raz. Aká je pravdepodobnosť získania aspoň 5 bodov?
Takýto problém sa rieši analogicky s príkladom uvedeným vyššie. Pri hode kockou je celkový počet rovnako možných výsledkov: n=6 a splniť podmienku úlohy (vypadlo aspoň 5 bodov, teda vypadlo 5 alebo 6 bodov) len 2 výsledky, čo znamená m =2. Ďalej nájdeme požadovanú pravdepodobnosť: P=2/6=1/3=0,333.
Dve kocky, pravdepodobnosť.
Pri riešení problémov s hodom 2 kockami je veľmi vhodné použiť špeciálnu tabuľku skóre. Na ňom je horizontálne vynesený počet bodov, ktoré padli na prvej kocke, a vertikálne počet bodov, ktoré padli na druhej kocke. Obrobok vyzerá takto:
Vynára sa však otázka, čo bude v prázdnych bunkách tabuľky? Závisí to od úlohy, ktorá sa má riešiť. Ak je úloha o súčte bodov, tak sa tam píše súčet a ak ide o rozdiel, tak sa píše rozdiel atď.
Úloha 3. Súčasne sú hodené 2 kockami. Aká je pravdepodobnosť, že získate súčet nižší ako 5 bodov?
Najprv musíte zistiť, aký bude celkový počet výsledkov experimentu. Všetko bolo zrejmé pri hode jednou kockou 6 tvárí kocky - 6 výsledkov experimentu. Ale keď už existujú dve kocky, možné výsledky môžu byť reprezentované ako usporiadané dvojice čísel vo forme (x, y), kde x ukazuje, koľko bodov padlo na prvej kocke (od 1 do 6) a y - koľko bodov padlo na druhej kocke (od 1 do 6). Celkovo budú takéto číselné dvojice: n=6*6=36 (zodpovedá im 36 buniek v tabuľke výsledkov).
Teraz môžete vyplniť tabuľku, na tento účel sa do každej bunky zadá súčet bodov, ktoré padli na prvej a druhej kocke. Vyplnená tabuľka vyzerá takto:
Vďaka tabuľke určíme počet výsledkov v prospech podujatia „celkovo poklesne o menej ako 5 bodov“. Spočítajme počet buniek, ktorých hodnota súčtu bude menšia ako číslo 5 (sú to 2, 3 a 4). Pre pohodlie namaľujeme takéto bunky, budú m = 6:
Vzhľadom na údaje z tabuľky pravdepodobnosť kocky sa rovná: P=6/36=1/6.
Úloha 4. Boli hodené dve kocky. Určte pravdepodobnosť, že súčin počtu bodov bude deliteľný 3.
Na vyriešenie úlohy si urobíme tabuľku súčinov bodov, ktoré padli na prvej a druhej kocke. V ňom okamžite vyberieme čísla, ktoré sú násobkami 3:
Zapíšeme si celkový počet výsledkov experimentu n=36 (zdôvodnenie je rovnaké ako v predchádzajúcej úlohe) a počet priaznivých výsledkov (počet buniek, ktoré sú v tabuľke vytieňované) m=20. Pravdepodobnosť udalosti je: P=20/36=5/9.
Úloha 5. Kocka sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že rozdiel medzi počtom bodov na prvej a druhej kocke bude medzi 2 a 5?
Na určenie pravdepodobnosť kocky Zapíšme si tabuľku rozdielov skóre a označme v nej tie bunky, ktorých hodnota rozdielu bude medzi 2 a 5:
Počet priaznivých výsledkov (počet vytieňovaných buniek v tabuľke) sa rovná m=10, celkový počet rovnako možných elementárnych výsledkov bude n=36. Určuje pravdepodobnosť udalosti: P=10/36=5/18.
V prípade jednoduchej udalosti a pri hode 2 kockami musíte zostaviť tabuľku, potom v nej vybrať potrebné bunky a vydeliť ich počet 36, bude sa to považovať za pravdepodobnosť.
Ciele lekcie:
Študenti by mali vedieť:
- určenie pravdepodobnosti náhodnej udalosti;
- vedieť riešiť úlohy na zistenie pravdepodobnosti náhodnej udalosti;
- vedieť aplikovať teoretické poznatky v praxi.
Ciele lekcie:
Vzdelávacie: vytvárať podmienky pre žiakov na osvojenie si systému vedomostí, zručností a schopností s pojmami pravdepodobnosti udalosti.
Výchovné: formovať u študentov vedecký svetonázor
Rozvíjanie: rozvíjať u žiakov kognitívny záujem, tvorivosť, vôľu, pamäť, reč, pozornosť, predstavivosť, vnímanie.
Metódy organizácie vzdelávacích a kognitívnych aktivít:
- vizuálne,
- praktické,
- na duševnú činnosť: induktívna,
- podľa asimilácie materiálu: čiastočne prieskumné, rozmnožovacie,
- podľa stupňa samostatnosti: samostatná práca,
- stimulujúce: stimuly,
- druhy kontroly: overovanie samostatne riešených úloh.
Plán lekcie
- ústne cvičenia
- Učenie sa nového materiálu
- Riešenie problémov.
- Samostatná práca.
- Zhrnutie lekcie.
- Komentovanie domácich úloh.
Vybavenie: multimediálny projektor (prezentácia), karty (samostatná práca)
Počas vyučovania
I. Organizačný moment.
Organizácia triedy počas celej hodiny, pripravenosť žiakov na hodinu, poriadok a disciplína.
Stanovenie učebných cieľov pre žiakov, a to ako na celú vyučovaciu hodinu, tak aj na jej jednotlivé etapy.
Určite význam študovaného materiálu v tejto téme aj v celom kurze.
II. Opakovanie
1. Čo je to pravdepodobnosť?
Pravdepodobnosť – možnosť vykonania, uskutočniteľnosť niečoho.
2. Akú definíciu má zakladateľ modernej teórie pravdepodobnosti A.N. Kolmogorov?
Matematická pravdepodobnosť je numerická charakteristika miery možnosti výskytu akejkoľvek konkrétnej udalosti za určitých podmienok, ktorá sa môže opakovať neobmedzene veľakrát.
3. Akú klasickú definíciu pravdepodobnosti uvádzajú autori školských učebníc?
Pravdepodobnosť P(A) udalosti A v štúdii s rovnako pravdepodobnými elementárnymi výsledkami je pomer počtu výsledkov m, ktoré uprednostňujú udalosť A, k počtu n všetkých výsledkov štúdie.
Záver: v matematike sa pravdepodobnosť meria číslom.
Dnes budeme pokračovať v zvažovaní matematického modelu „kocky“.
Predmetom štúdia v teórii pravdepodobnosti sú udalosti, ktoré sa objavujú za určitých podmienok a môžu byť reprodukované neobmedzene veľakrát. Každé splnenie týchto podmienok sa nazýva test.
Skúškou je hádzanie kockou.
Udalosť – šestka hodená alebo získať párny počet bodov.
Každá strana kocky má rovnakú pravdepodobnosť vypadnutia pri viacnásobnom hodení kockou (kocka je pravidelná).
III. Ústne riešenie problémov.
1. Kocka (kocka) bola hodená raz. Aká je pravdepodobnosť, že padne 4?
Riešenie. Náhodný experiment – hádzanie kockou. Udalosť je číslo na valcovanom okraji. Existuje len šesť hrán. Vymenujme všetky udalosti: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Takže P= 6. Udalosť A = (4 hodené body) je zvýhodnená jednou udalosťou: 4. Preto t= 1. Udalosti sú rovnako pravdepodobné, pretože sa predpokladá, že kocka je spravodlivá. Preto P(A) = t/n= 1/6 = 0,17.
2. Kocka (kocka) bola hodená raz. Aká je pravdepodobnosť, že nezískate viac ako 4 body?
P= 6. Udalosť A = (nevypadli viac ako 4 body) uprednostňujú 4 udalosti: 1, 2, 3, 4. Preto t= 4. Preto P(A) = t/n= 4/6 = 0,67.
3. Kocka (kocka) bola hodená raz. Aká je pravdepodobnosť získania menej ako 4 bodov?
Riešenie. Náhodný experiment – hádzanie kockou. Udalosť je číslo na valcovanom okraji. Prostriedky P= 6. Udalosť A = (vypadlo menej ako 4 body) je uprednostňovaná 3 udalosťami: 1, 2, 3. Preto t= 3. P(A) = t/n= 3/6 = 0,5.
4. Kocka (kocka) bola hodená raz. Aká je pravdepodobnosť získania nepárneho počtu bodov?
Riešenie. Náhodný experiment – hádzanie kockou. Udalosť je číslo na valcovanom okraji. Prostriedky P= 6. Udalosť A = (vypadol nepárny počet bodov) je zvýhodnená 3 udalosťami: 1,3,5. Preto t= 3. P(A) = t/n= 3/6 = 0,5.
IV. Učenie nového
Dnes sa budeme zaoberať úlohami, keď sa v náhodnom experimente použijú dve kocky alebo sa vykonajú dva alebo tri hody.
1. V náhodnom pokuse sa hádžu dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet hodených bodov je 6. Svoju odpoveď zaokrúhlite na najbližšiu stotinu .
Riešenie. Výsledkom tohto experimentu je usporiadaná dvojica čísel. Prvé číslo padne na prvú kocku, druhé na druhú. Je vhodné znázorniť súbor výsledkov v tabuľke.
Riadky zodpovedajú počtu bodov na prvej kocke, stĺpce zodpovedajú počtu bodov na druhej kocke. Totálne elementárne udalosti P= 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Do každej bunky napíšeme súčet vypadnutých bodov a premaľujeme bunky, kde sa súčet rovná 6.
Takýchto buniek je 5. To znamená, že udalosť A = (súčet stratených bodov je 6) je zvýhodnená 5 výsledkami. v dôsledku toho t\u003d 5. Preto P (A) \u003d 5/36 \u003d 0,14.
2. V náhodnom pokuse sa hádžu dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bude 3. Výsledok zaokrúhlite na stotiny .
P= 36.
Udalosť A = (súčet je 3) je uprednostnená 2 výsledkami. v dôsledku toho t= 2.
Preto P(A) = 2/36 = 0,06.
3. V náhodnom pokuse sa hádžu dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že celkovo získate viac ako 10 bodov. Výsledok zaokrúhlite na stotiny .
Riešenie. Výsledkom tohto experimentu je usporiadaná dvojica čísel. Celkový počet udalostí P= 36.
Udalosť A = (celkovo viac ako 10 bodov) je uprednostnená 3 výsledkami.
v dôsledku toho t
4. Ľuba hodí kockou dvakrát. Celkovo získala 9 bodov. Nájdite pravdepodobnosť, že jeden z hodov hodí 5. .
Riešenie Výsledkom tohto experimentu je usporiadaná dvojica čísel. Prvé číslo padne pri prvom hode, druhé pri druhom. Je vhodné znázorniť súbor výsledkov v tabuľke.
Riadky zodpovedajú výsledku prvého hodu, stĺpce zodpovedajú výsledku druhého hodu.
Celkový počet udalostí, v ktorých bude súčet bodov 9 P= 4. Udalosť A = (jeden z hodov získal 5 bodov) je zvýhodnený 2 výsledkami. v dôsledku toho t= 2.
Preto P(A) = 2/4 = 0,5.
5. Sveta hodí kockou dvakrát. Celkovo získala 6 bodov. Nájdite pravdepodobnosť, že jeden z hodov hodil 1.
Prvý hod |
Druhý hod |
Súčet bodov |
||
Ekvivalentné výsledky - 5.
Pravdepodobnosť udalosti p = 2/5 = 0,4.
6. Olya hodí kockou dvakrát. Celkovo získala 5 bodov. Nájdite pravdepodobnosť, že dostanete 3 pri prvom hode.
Prvý hod |
Druhý hod |
Súčet bodov |
||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = |
Ekvivalentné výsledky - 4.
Priaznivé výsledky - 1.
Pravdepodobnosť udalosti R= 1/4 = 0,25.
7. Natasha a Vitya hrajú kocky. Raz hodia kockou.
Vyhráva ten, kto má najviac bodov. Ak sú body rovnaké, nasleduje remíza. Celkovo vypadlo 8 bodov. Nájdite pravdepodobnosť, že vyhrala Nataša.
Súčet bodov |
||||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = |
Ekvivalentné výsledky - 5.
Priaznivé výsledky - 2.
Pravdepodobnosť udalosti R= 2/5 = 0,4.
8. Tanya a Natasha hrajú kocky. Raz hodia kockou. Vyhráva ten, kto má najviac bodov. Ak sú body rovnaké, nasleduje remíza. Celkovo vypadlo 6 bodov. Nájdite pravdepodobnosť, že Tanya prehrala.
| Tanya | Nataša | Súčet bodov | ||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = |
Ekvivalentné výsledky - 5.
Priaznivé výsledky - 2.
Pravdepodobnosť udalosti R= 2/5 = 0,4.
9. Kolja a Lena hrajú kocky. Raz hodia kockou. Vyhráva ten, kto má najviac bodov. Ak sú body rovnaké, nasleduje remíza. Ako prvý hádzal Kolja, získal 3 body. Nájdite pravdepodobnosť, že Lena nevyhrá.
Kolja získal 3 body.
Lena má 6 rovnako možných výsledkov.
Pri prehre sú 3 priaznivé výsledky (pri 1, 2 a 3).
Pravdepodobnosť udalosti R= 3/6 = 0,5.
10. Máša trikrát hodí kockou. Aká je pravdepodobnosť, že dostaneme všetky tri párne číslo?
Máša má 6 6 6 = 216 rovnako pravdepodobných výsledkov.
Priaznivé výsledky pre prehry - 3 3 3 = 27.
Pravdepodobnosť udalosti R= 27/216 = 1/8 = 0,125.
11. V náhodnom pokuse sa hádžu tri kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bude 16. Výsledok zaokrúhlite na stotiny.
Riešenie.
| Po druhé | Po tretie | Súčet bodov | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = |
Ekvivalentné výsledky – 6 6 6 = 216.
Priaznivé výsledky - 6.
Pravdepodobnosť udalosti R\u003d 6/216 \u003d 1/36 \u003d 0,277 ... \u003d 0,28. v dôsledku toho t\u003d 3. Preto P (A) \u003d 3/36 \u003d 0,08.
V. Samostatná práca.
Možnosť 1.
- Kocka (kocka) je hodená raz. Aká je pravdepodobnosť získania aspoň 4 bodov? (Odpoveď: 0,5)
- V náhodnom experimente sa hádžu dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že celkovo získate 5 bodov. Výsledok zaokrúhlite na stotiny. (Odpoveď: 0,11)
- Anya hodí kockou dvakrát. Celkovo získala 3 body. Nájdite pravdepodobnosť, že dostanete 1 pri prvom hode. (Odpoveď: 0,5)
- Káťa a Ira hrajú kocky. Raz hodia kockou. Vyhráva ten, kto má najviac bodov. Ak sú body rovnaké, nasleduje remíza. Celkovo vypadlo 9 bodov. Nájdite pravdepodobnosť, že Ira prehral. (Odpoveď: 0,5)
- V náhodnom pokuse sa hádžu tri kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že celkovo získate 15 bodov. Výsledok zaokrúhlite na stotiny. (Odpoveď: 0,05)
Možnosť 2.
- Kocka (kocka) je hodená raz. Aká je pravdepodobnosť, že nezískate viac ako 3 body? (Odpoveď: 0,5)
- V náhodnom experimente sa hádžu dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bude 10. Výsledok zaokrúhlite na stotiny. (Odpoveď: 0,08)
- Zhenya hodí kockou dvakrát. Celkovo získala 5 bodov. Nájdite pravdepodobnosť, že dostanete 2 pri prvom hode. (Odpoveď: 0,25)
- Máša a Dáša hrajú kocky. Raz hodia kockou. Vyhráva ten, kto má najviac bodov. Ak sú body rovnaké, nasleduje remíza. Celkovo vypadlo 11 bodov. Nájdite pravdepodobnosť, že Masha vyhrala. (Odpoveď: 0,5)
- V náhodnom pokuse sa hádžu tri kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bude 17. Výsledok zaokrúhlite
VI. Domáca úloha
- V náhodnom pokuse sa hádžu tri kocky. Celkovo vypadlo 12 bodov. Nájdite pravdepodobnosť, že pri prvom hode dostanete 5. Výsledok zaokrúhlite na najbližšiu stotinu.
- Káťa hodí kockou trikrát. Aká je pravdepodobnosť, že trikrát padne rovnaké číslo?
VII. Zhrnutie lekcie
Čo potrebujete vedieť, aby ste našli pravdepodobnosť náhodnej udalosti?
Na výpočet klasickej pravdepodobnosti potrebujete poznať všetky možné výsledky udalosti a priaznivé výsledky.
Klasická definícia pravdepodobnosti je použiteľná len na udalosti s rovnako pravdepodobnými výsledkami, čo obmedzuje jej rozsah.
Prečo v škole študujeme teóriu pravdepodobnosti?
Mnohé javy sveta okolo nás možno opísať len pomocou teórie pravdepodobnosti.
Literatúra
- Algebra a začiatok matematickej analýzy 10-11 ročník: učebnica. pre vzdelávacie inštitúcie: základná úroveň / [Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva a ďalší]. - 16. vydanie, prepracované. – M.: Osveta, 2010. – 464 s.
- Semenov A.L. POUŽITIE: 3000 úloh s odpoveďami z matematiky. Všetky úlohy skupiny B / - 3. vyd., Prepracované. a dodatočné - M .: Vydavateľstvo "Skúška", 2012. - 543 s.
- Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. POUŽITIE 2012. Matematika. Úloha B10. Teória pravdepodobnosti. Pracovný zošit / Ed. A.L. Semenova a I.V. Yashchenko. - M.: MTsShMO, 2012. - 48 s.
