Дифференциальные уравнения и их типы. Основные типы дифференциальных уравнений

Тогда настало самое время, чтобы перейти к более сложной теме, а именно, решению дифференциальных уравнений (ДУ, в простонародье диффуров). Но не все так страшно, как кажется на первый взгляд.

Дифференциальное уравнение: что это такое?

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, которое вместе с самой функцией (и ее аргументами), содержит еще и ее производную или несколько производных.

Дифференциальное уравнение: что нужно знать еще?

Первое (и главное), что понадобится, это умение правильно определять тип дифференциального уравнения. Второе, но не менее важное, это умение хорошо интегрировать и дифференцировать.

Не секрет, что дифференциальные уравнения бывают разных типов. Но… для начала отметим, что ДУ бывают разных порядков. Порядок ДУ — это порядок высшей производной, входящей в дифференциальное уравнение. Классификацию ДУ согласно порядку уравнения можно посмотреть в следующей таблице:

Порядок уравнения	Вид уравнения	Пример
I
II
…	…	…
n

Наиболее часто приходится иметь дело с ДУ первого и второго порядка, реже третьего. В 99% случаев в задачах встречаются три типа ДУ первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения и линейные неоднородные уравнения. Иногда еще встречаются более редкие типы ДУ: уравнения в полных дифференциалах, уравнения Бернулли и др. Среди ДУ второго порядка часто встречаются уравнения, приводящиеся к ДУ первого порядка, линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Дифференциальное уравнение: решение – что это значит и как его найти?

При решении ДУ нам предлагается найти либо общее решение (общий интеграл), либо частное решение. Общее решение y = f(x, C) зависит от некоторой постоянной (С — const), а частное решение не зависит: y = f(x, C 0) .

Дифференциальное уравнение (ДУ) - это уравнение ,
где - независимые переменные, y - функция и - частные производные.

Обыкновенное дифференциальное уравнение - это дифференциальное уравнение, которое имеет только одну независимую переменную, .

Дифференциальное уравнение в частных производных - это дифференциальное уравнение, которое имеет две и более независимых переменных.

Слова “обыкновенные“ и "в частных производных" могут опускаться, если ясно, какое уравнение рассматривается. В дальнейшем рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядок дифференциального уравнения - это порядок старшей производной.

Вот пример уравнения первого порядка:

Вот пример уравнения четвертого порядка:

Иногда дифференциальное уравнение первого порядка записывается через дифференциалы:

В этом случае переменные x и y являются равноправными. То есть независимой переменной может быть как x так и y . В первом случае y является функцией от x . Во втором случае x является функцией от y . Если необходимо, мы можем привести это уравнение к виду, в котором явно входит производная y′ .
Разделив это уравнение на dx , мы получим:
.
Поскольку и , то отсюда следует, что
.

Решение дифференциальных уравнений

Производные от элементарных функций выражаются через элементарные функции. Интегралы от элементарных функций часто не выражаются через элементарные функции. С дифференциальными уравнениями дело обстоит еще хуже. В результате решения можно получить:

• явную зависимость функции от переменной;

  Решение дифференциального уравнения - это функция y = u(x) , которая определена, n раз дифференцируема, и .

• неявную зависимость в виде уравнения типа Φ(x, y) = 0 или системы уравнений;

  Интеграл дифференциального уравнения - это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид.

• зависимость, выраженную через элементарные функции и интегралы от них;

  Решение дифференциального уравнения в квадратурах - это нахождение решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.

• решение может не выражается через элементарные функции.

Поскольку решение дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных C 1 , C 2 , C 3 , ... C n . Количество постоянных равно порядку уравнения.Частный интеграл дифференциального уравнения - это общий интеграл при заданных значениях постоянных C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n .

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Дифференциальное уравнение - это уравнение, в которое входят функция и одна или несколько ее производных. В большинстве практических задач функции представляют собой физические величины, производные соответствуют скоростям изменения этих величин, а уравнение определяет связь между ними.

В данной статье рассмотрены методы решения некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых могут быть записаны в виде элементарных функций , то есть полиномиальных, экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических, а также обратных им функций. Многие из этих уравнений встречаются в реальной жизни, хотя большинство других дифференциальных уравнений нельзя решить данными методами, и для них ответ записывается в виде специальных функций или степенных рядов, либо находится численными методами.

Для понимания данной статьи необходимо владеть дифференциальным и интегральным исчислением, а также иметь некоторое представление о частных производных. Рекомендуется также знать основы линейной алгебры в применении к дифференциальным уравнениям, особенно к дифференциальным уравнениям второго порядка, хотя для их решения достаточно знания дифференциального и интегрального исчисления.

Предварительные сведения

• Дифференциальные уравнения имеют обширную классификацию. В настоящей статье рассказывается об обыкновенных дифференциальных уравнениях , то есть об уравнениях, в которые входит функция одной переменной и ее производные. Обыкновенные дифференциальные уравнения намного легче понять и решить, чем дифференциальные уравнения в частных производных , в которые входят функции нескольких переменных. В данной статье не рассматриваются дифференциальные уравнения в частных производных, поскольку методы решения этих уравнений обычно определяются их конкретным видом.
  • Ниже приведены несколько примеров обыкновенных дифференциальных уравнений.
    • d y d x = k y {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=ky}
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+kx=0}
  • Ниже приведены несколько примеров дифференциальных уравнений в частных производных.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=0}
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}
• Порядок дифференциального уравнения определяется по порядку старшей производной, входящей в данное уравнение. Первое из приведенных выше обыкновенных дифференциальных уравнений имеет первый порядок, в то время как второе относится к уравнениям второго порядка. Степенью дифференциального уравнения называется наивысшая степень, в которую возводится один из членов этого уравнения.
  • Например, приведенное ниже уравнение имеет третий порядок и вторую степень.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 {\displaystyle \left({\frac {{\mathrm {d} }^{3}y}{{\mathrm {d} }x^{3}}}\right)^{2}+{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=0}
• Дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением в том случае, если функция и все ее производные стоят в первой степени. В противном случае уравнение является нелинейным дифференциальным уравнением . Линейные дифференциальные уравнения примечательны тем, что из их решений можно составить линейные комбинации, которые также будут решениями данного уравнения.
  • Ниже приведены несколько примеров линейных дифференциальных уравнений.
    • d y d x + p (x) y = q (x) {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+p(x)y=q(x)}
    • x 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+ax{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+by=0}
  • Ниже приведены несколько примеров нелинейных дифференциальных уравнений. Первое уравнение является нелинейным из-за слагаемого с синусом.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}\theta }{{\mathrm {d} }t^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0}
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+\left({\frac {{\mathrm {d} }x}{{\mathrm {d} }t}}\right)^{2}+tx^{2}=0}
• Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения не является единственным, оно включает в себя произвольные постоянные интегрирования . В большинстве случаев число произвольных постоянных равно порядку уравнения. На практике значения этих констант определяются по заданным начальным условиям , то есть по значениям функции и ее производных при x = 0. {\displaystyle x=0.} Число начальных условий, которые необходимы для нахождения частного решения дифференциального уравнения, в большинстве случаев также равно порядку данного уравнения.
  • Например, в данной статье будет рассмотрено решение приведенного ниже уравнения. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение содержит две произвольные постоянные. Для нахождения этих постоянных необходимо знать начальные условия при x (0) {\displaystyle x(0)} и x ′ (0) . {\displaystyle x"(0).} Обычно начальные условия задаются в точке x = 0 , {\displaystyle x=0,} , хотя это и не обязательно. В данной статье будет рассмотрено также, как найти частные решения при заданных начальных условиях.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+k^{2}x=0}
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x {\displaystyle x(t)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx}

Шаги

Часть 1

Уравнения первого порядка

При использовании этого сервиса некоторая информация может быть передана YouTube.

Эту страницу просматривали 69 354 раз.

Была ли эта статья полезной?

Определение. Уравнение вида

, неизвестную функцию и ее производные называютдифференциальным уравнением n -го порядка.

Определение. Уравнение вида

связывающее независимую переменную , неизвестную функцию и ее производную называется дифференциальным уравнением первого порядка .

Порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (2) в области называют функцию , где с – произвольная постоянная, удовлетворяющая следующим условиям:

1) для каждого числа с функция является решением уравнения (2);

2) если , то существует такое число, что решение удовлетворяет начальному условию .

Если общее решение получено в неявном виде , то называют общим интегралом, а – частным интегралом уравнения (8).

Если дифференциальное уравнение (8) можно разрешить относительно , то оно примет вид:

Дифференциальное уравнение (9) называют разрешенным относительно производной .

Уравнение (9) записывают иногда в виде:

где – функции двух переменных.

Теорема Коши. (Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (9)). Если в уравнении (9) функция и ее частная производная по определены и непрерывны в области плоскости (XOY ) и – произвольная точка из , то существует, причем единственное, решение этого уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Задачу нахождения решения уравнения (9) с заданным начальным условием называют задачей Коши .

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (9) называют любую функцию , которая получается из общего решения, если произвольной постоянной придать определенное значение .

Определение. Дифференциальное уравнение I порядка называют уравнением сразделяющимися переменными , если его можно записать в виде

или , (12)

где – заданные функции.

Для решения уравнения (11) разделим переменные:

Или разделим обе части (12) на :

откуда

Определение. Уравнение или (13) называют уравнением с разделенными переменными .

Определение. Функция называетсяоднородной функцией нулевого измерения, если она зависит только от отношения , т.е. .

Определение. Однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида (14)

Введем новую неизвестную функцию, положив , или . Дифференцируя, получим .

Подставим в уравнение (14), преобразуем его к виду . Разделяя переменные и интегрируя, найдем

Отсюда .

После выполнения интегрирования нужно вернуться к функции , положив .

Пример . Решить уравнение .

Выражая производную, получим или .

Положим . Тогда , . Подставив в уравнение, получаем . Откуда .

Разделим переменные .

После интегрирования находим

или .

Окончательно .

Определение. Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

Введем две новые неизвестные функции и , положив . Поскольку неизвестных функций стало две, а условий на эти функции только одно (их произведение должно удовлетворять уравнению (15)), то еще одно условие на эти функции мы можем наложить произвольно, чем мы и воспользуемся ниже.

Подставим в (15),

получим

или (16)

В качестве функции выберем любую функцию, удовлетворяющую условию . (17)

Получим уравнение с разделяющимися переменными для нахождения . Проинтегрируем это уравнение, полагая постоянную интегрирования равной нулю (последнее законно, так как нас устраивает любое решение уравнения (17)):

Подставим найденное значение в уравнение (16):

Интегрируя, найдем функцию : . Перемножив найденные функции и , получим общее решение уравнения (15).

Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида

где m – любое действительное число. Решается это уравнение с помощью того же приема, что и линейное уравнение.

Определение. Уравнение

называется уравнением полного дифференциала, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции . В этом случае уравнение (18) можно переписать в виде . Общий интеграл уравнения (18) будет

Теорема. Пусть функции имеют непрерывные частные производные в некоторой области (D ) плоскости (XOY ). Для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области (D ) выполнялось равенство

Пусть дано уравнение (18), для которого выполняется условие (20). Последнее означает, что существует функция такая, что

Чтобы решить уравнение (18), нужно, исходя из равенств (21), найти функцию и записать общий интеграл уравнения (18) в форме (19).

Пример . Найти решение уравнения , удовлетворяющее условию .

Имеем: , .

Найдем и :

Таким образом, , т.е. существует такая функция , что

Для нахождения проинтегрируем по x первое из равенств (22):

Здесь неизвестная функция играет роль постоянной интегрирования. Для нахождения продифференцируем (23) по y :

С другой стороны, из (22) имеем Из этих двух равенств получаем или .

Отсюда . (24)

Подставляя в (24), получаем, согласно (19), общий интеграл данного уравнения в виде .

Замечание. Так как, согласно (19), функция приравнивается произвольной постоянной, то при выполнении интегрирования (24) постоянную интегрирования можно не писать.

Простейшим д.у.1 является уравнение вида Как известно из курса интегрального исчисления, функцияy находится интегрированием

Определение. Уравнение вида называется дифференциальным уравнением сразделенными переменными. Его можно записать в виде

Проинтегрируем обе части уравнения, получим так называемый общий интеграл (или общее решение).

Пример.

Решение. Запишем уравнение в виде
Проинтегрируем обе части уравнения:

(общий интеграл дифференциального уравнения).

Определение. Уравнение вида называется уравнениемс разделяющимися переменными, если функции можно представить в виде произведения функций

т. е. есть уравнение имеет вид

Чтобы решить такое дифференциальное уравнение, нужно привести его к виду дифференциального уравнения с разделенными переменными, для чего разделим уравнение на произведение
Действительно, разделив все члены уравненияна произведение
,

–дифференциальное уравнение с разделенными переменными.

Для решения его достаточно почленно проинтегрировать

При решении дифференциального уравнения с разделяющимися переменными можно руководствоваться следующим алгоритмом (правилом) разделения переменных.

Первый шаг. Если дифференциальное уравнение содержит производную , ее следует записать в виде отношения дифференциалов:

Второй шаг. Умножим уравнение на
, затем сгруппируем слагаемые, содержащие дифференциал функции и дифференциал независимой переменной
.

Третий шаг. Выражения, полученные при
, представить в виде произведения двух множителей, каждый из которых содержит только одну переменную (
). Если после этого уравнение примет видто, разделив его на произведение
, получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными.

Четвертый шаг. Интегрируя почленно уравнение, получим общее решение исходного уравнения (или его общий интеграл).

Рассмотрим уравнения

№ 2.

№ 3.

Дифференциальное уравнение № 1 является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, по определению. Разделим уравнение на произведение
Получим уравнение

Интегрируя, получим

или

Последнее соотношение есть общий интеграл данного дифференциального уравнения.

В дифференциальном уравнении № 2 заменим
умножим на
, получим

общее решение дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение № 3 не является уравнением с разделяющимися переменными, т. к., записав его в виде

или
,

видим, что выражение
в виде произведения двух множителей (один –

только с y, другой – только с х ) представить невозможно. Заметим, что иногда нужно выполнить алгебраические преобразования, чтобы видеть, что данное дифференциальное уравнение – с разделяющимися переменными.

Пример № 4 . Дано уравнение Преобразуем уравнение, вынося общий множитель слева
Разделим левую и правую части уравнения на произведение
получим

Проинтегрируем обе части уравнения:

откуда
– общий интеграл данного уравнения. (а)

Заметим, что если постоянную интегрирования записать в виде
, то общий интеграл данного уравнения может иметь другую форму:

или
– общий интеграл. (б)

Таким образом, общий интеграл одного и того же дифференциального уравнения может иметь различную форму. Важно в любом случае доказать, что полученный общий интеграл удовлетворяет данному дифференциальному уравнению. Для этого нужно продифференцировать по х обе части равенства, задающего общий интеграл, учитывая, что y есть функция от х . После исключения с получим одинаковые дифференциальные уравнения (исходное). Если общий интеграл
, (вид (а )), то

Если общий интеграл
(вид (б)), то

Получим то же уравнение, что и в предыдущем случае (а).

Рассмотрим теперь простые и важные классы уравнений первого порядка, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.