Pagtatanghal sa paksang "ang pinakasimpleng pagbabago ng mga graph ng mga function". Ang pinakasimpleng pagbabago ng mga graph ng presentasyon ng mga function para sa isang aralin sa algebra sa paksa Ang pinakasimpleng pagbabago ng mga graph ng presentasyon ng mga function

28.12.2021 | pautang ng sasakyan

slide 2

Ang pag-alam sa uri ng graph ng isang tiyak na function, posible na bumuo ng isang graph ng isang mas kumplikadong function gamit ang geometric transformations. Isaalang-alang natin ang graph ng function na y=x2 at alamin kung paano ka makakagawa ng mga graph ng mga function ng form y=(x-m)2 at y=x2+n gamit ang mga shift sa mga coordinate axes.

slide 3

Halimbawa 1. Bumuo tayo ng graph ng function na y=(x- 2)2, batay sa graph ng function na y=x2 (mouse click). Ang graph ng function na y=x2 ay isang tiyak na hanay ng mga puntos sa coordinate plane, ang mga coordinate kung saan ginagawa ang equation na y=x2 sa tamang pagkakapantay-pantay ng numero. Tinutukoy namin ang hanay ng mga puntos na ito, iyon ay, ang graph ng function na y \u003d x2, sa pamamagitan ng titik F, at ang graph ng function na y \u003d (x-2)2, na hindi alam sa amin, ipapakita namin sa pamamagitan ng letrang G. Ihambing natin ang mga coordinate ng mga punto ng mga graph na F at G na may parehong mga ordinate. Upang gawin ito, gumawa kami ng isang talahanayan: Isinasaalang-alang ang talahanayan (na maaaring pahabain nang walang katiyakan pareho sa kanan at sa kaliwa), napansin namin na ang parehong mga ordinate ay may mga punto ng form (x0; y0) ng graph F at ( x0 + 2; y0) ng graph G, kung saan ang x0, y0 ay ilang mahusay na tinukoy na mga numero. Batay sa obserbasyon na ito, maaari nating tapusin na ang graph ng function na y=(x-2)2 ay maaaring makuha mula sa graph ng function na y=x2 sa pamamagitan ng paglilipat ng lahat ng mga punto nito sa kanan ng 2 units (mouse click).

slide 4

Kaya, ang graph ng function na y=(x- 2)2 ay maaaring makuha mula sa graph ng function na y=x2 sa pamamagitan ng paglilipat sa kanan ng 2 units. Sa parehong pagtatalo, maaari nating patunayan na ang graph ng function na y=(x + 3)2 ay maaari ding makuha mula sa graph ng function na y=x2, ngunit sa pamamagitan ng paglilipat hindi sa kanan, ngunit sa kaliwa ng 3 mga yunit. Malinaw na nakikita na ang mga axes ng symmetry ng mga graph ng mga function na y=(x- 2)2 at y=(x - 3)2 ay ang mga tuwid na linya x = 2 at x = - 3, ayon sa pagkakabanggit. Upang makita ang mga graph, i-click ang mouse

slide 5

Kung, sa halip na ang graph na y=(x- 2)2 o y=(x + 3)2, isasaalang-alang namin ang graph ng function na y=(x - m)2, kung saan ang m ay isang arbitrary na numero, kung gayon walang panimula mga pagbabago sa nakaraang pangangatwiran. Kaya, mula sa graph ng function na y \u003d x2, maaari mong makuha ang graph ng function na y \u003d (x - m) 2 sa pamamagitan ng paglilipat sa kanan ng m unit sa direksyon ng Ox axis, kung m> 0 , o sa kaliwa kung m 0, o sa kaliwa kung m

slide 6

Halimbawa 2. Bumuo tayo ng graph ng function na y=x2 + 1, batay sa graph ng function na y=x2 (mouse click). Ihambing natin ang mga coordinate ng mga punto ng mga graph na ito, na may parehong abscissa. Upang gawin ito, gumawa tayo ng isang talahanayan: Kung isasaalang-alang ang talahanayan, napansin natin na ang parehong abscissas ay may mga punto ng form (x0; y0) para sa graph ng function na y \u003d x2 at (x0; y0 + 1) para sa graph ng function na y \u003d x2 + 1. Batay sa obserbasyon na ito, maaari nating tapusin na ang graph ng function na y=x2 + 1 ay maaaring makuha mula sa graph ng function na y=x2 sa pamamagitan ng paglilipat ng lahat ng mga punto nito pataas (kasama ang Oy axis) sa pamamagitan ng 1 unit (mouse click).

Slide 7

Kaya, alam ang graph ng function na y=x2, maaari nating i-plot ang graph ng function na y=x2 + n sa pamamagitan ng paglilipat ng unang graph sa pamamagitan ng pedic kung n>0, o pababa ng | n | ang mga kung n ay 0, o pababa kung n

Slide 8

Ito ay sumusunod mula sa itaas na ang graph ng function na y=(x - m)2 + n ay isang parabola na may vertex sa punto (m; n). Makukuha ito mula sa parabola y=x2 gamit ang dalawang magkasunod na shift. Halimbawa 3. Patunayan natin na ang graph ng function na y \u003d x2 + 6x + 8 ay isang parabola, at bumuo ng isang graph. Solusyon. Katawanin natin ang trinomial x2 + 6x + 8 bilang (x - m)2 + n. Mayroon tayong x2 + 6x + 8= x2 + 2x*3 + 32 - 1 = (x + 3)2 - 1. Kaya y = (x + 3)2 - 1. Samakatuwid, ang graph ng function na y \u003d x2 + 6x + 8 ay isang parabola na may vertex sa punto (- 3; - 1). Isinasaalang-alang na ang axis ng symmetry ng parabola ay ang tuwid na linya x = - 3, kapag pinagsama-sama ang talahanayan, ang mga halaga ng argumento ng function ay dapat kunin nang simetriko na may paggalang sa tuwid na linya x = - 3: Ang pagkakaroon ng marka sa coordinate plane ang mga punto na ang mga coordinate ay ipinasok sa talahanayan (i-click gamit ang mouse), gumuhit ng parabola (sa pamamagitan ng pag-click ).

Upang gamitin ang preview ng mga presentasyon, lumikha ng isang account para sa iyong sarili ( account) Google at mag-sign in: https://accounts.google.com

Mga slide caption:

Ang pinakasimpleng pagbabago ng mga graph ng mga function

Alam ang anyo ng graph ng isang tiyak na function, posible na bumuo ng isang graph ng isang mas kumplikadong function gamit ang geometric transformations. Isaalang-alang ang graph ng function na y=x 2 at alamin kung paano ka makakabuo, gamit ang mga shift sa mga coordinate axes, mga graph ng mga function ng form na y=(x-m) 2 at y=x 2 +n.

Halimbawa 1. Bumuo tayo ng graph ng function na y=(x - 2) 2 , batay sa graph ng function na y=x 2 (mouse click) . Ang graph ng function na y=x 2 ay isang tiyak na hanay ng mga punto ng coordinate plane, ang mga coordinate kung saan ginagawa ang equation na y=x 2 sa tamang pagkakapantay-pantay ng numero. Tukuyin natin ang hanay ng mga puntong ito, iyon ay, ang graph ng function na y=x 2 , sa pamamagitan ng titik F, at ang graph ng function na y=(x - 2) 2, na hindi pa natin alam sa ngayon, ay tutukuyin ng ang titik G. Ihambing natin ang mga coordinate ng mga puntong iyon ng mga graph na F at G, na may parehong mga ordinate. Upang gawin ito, gagawa kami ng talahanayan: x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x 2 4 1 0 1 4 9 16 25 36 (x - 2) 2 16 9 4 1 0 1 4 9 16 Isinasaalang-alang ang talahanayan (na maaaring ipagpatuloy nang walang katiyakan at sa kanan at kaliwa), tandaan namin na ang mga punto ng form (x 0; y 0) ng graph F at (x 0 + 2; y 0) ng graph G ay may pareho ordinates, kung saan ang x 0, y 0 ay ilang mahusay na tinukoy na mga numero. Batay sa obserbasyon na ito, mahihinuha natin na ang graph ng function na y=(x - 2) 2 ay maaaring makuha mula sa graph ng function na y=x 2 sa pamamagitan ng paglilipat ng lahat ng mga punto nito sa kanan ng 2 units (mouse click) .

Kaya, ang graph ng function na y=(x - 2) 2 ay maaaring makuha mula sa graph ng function na y=x 2 sa pamamagitan ng paglilipat sa kanan ng 2 unit. Sa parehong pagtatalo, maaari nating patunayan na ang graph ng function na y=(x + 3) 2 ay maaari ding makuha mula sa graph ng function na y=x 2 , ngunit sa pamamagitan ng paglilipat hindi sa kanan, ngunit sa kaliwa ng 3 mga yunit . Malinaw na nakikita na ang mga axes ng symmetry ng mga graph ng mga function na y=(x - 2) 2 at y=(x - 3) 2 ay ang mga tuwid na linya x = 2 at x = - 3, ayon sa pagkakabanggit. I-click upang makita ang mga chart

Kung sa halip na ang graph y=(x - 2) 2 o y=(x + 3) 2 ay isasaalang-alang natin ang graph ng function na y=(x - m) 2 , kung saan ang m ay isang arbitrary na numero, kung gayon walang pagbabago sa panimula sa ang naunang pangangatwiran. Kaya, mula sa graph ng function na y \u003d x 2, maaari mong makuha ang graph ng function na y \u003d (x - m) 2 sa pamamagitan ng paglilipat sa kanan ng m unit sa direksyon ng Ox axis, kung m> 0, o sa kaliwa, kung m 0, o sa kaliwa, kung m

Halimbawa 2 . Bumuo tayo ng graph ng function na y = x 2 + 1 , batay sa graph ng function na y=x 2 (mouse click) . Ihambing natin ang mga coordinate ng mga punto ng mga graph na ito, na may parehong abscissas. Upang gawin ito, gagawa kami ng isang talahanayan: x -3 -2 -1 0 1 2 3 x 2 9 4 1 0 1 4 9 x 2 + 1 10 5 2 1 2 5 10 Sa pagtingin sa talahanayan, napansin namin na ang mga puntos ng form (x 0 ; y 0) para sa graph ng function na y \u003d x 2 at (x 0; y 0 + 1) para sa graph ng function na y \u003d x 2 + 1. Batay sa obserbasyon na ito, maaari nating tapusin na ang graph ng function na y \u003d x 2 + 1 ay maaaring makuha mula sa graph ng function na y \u003d x 2 sa pamamagitan ng paglilipat ng lahat ng mga punto nito pataas (kasama ang Oy axis) ng 1 unit (pag-click sa mouse).

Kaya, alam ang graph ng function y=x 2 , maaari nating i-plot ang graph ng function y=x 2 + n sa pamamagitan ng paglilipat ng unang graph pataas ng n unit, kung n>0, o pababa ng | n | ang mga kung n ay 0, o pababa kung n

Ito ay sumusunod mula sa itaas na ang graph ng function na y \u003d (x - m) 2 + p ay isang parabola na may vertex sa punto (m; p). Makukuha ito mula sa parabola y=x 2 gamit ang dalawang magkasunod na shift. Halimbawa 3. Patunayan natin na ang graph ng function na y \u003d x 2 + 6x + 8 ay isang parabola, at bumuo ng isang graph. Solusyon. Katawanin natin ang trinomial x 2 + 6x + 8 sa anyo (x - m) 2 + n. Mayroon tayong x 2 + 6x + 8 \u003d x 2 + 2x * 3 + 3 2 - 1 \u003d (x + 3) 2 - 1. Kaya y \u003d (x + 3) 2 - 1. Nangangahulugan ito na ang graph ng function na y \u003d x 2 + 6x + 8 ay isang parabola na may vertex sa punto (- 3; - 1). Ibinigay na ang axis ng symmetry ng parabola ay ang tuwid na linya x = - 3, kapag kino-compile ang talahanayan, ang mga halaga ng argumento ng function ay dapat kunin nang simetriko na may paggalang sa tuwid na linya x = - 3: x -6 - 5 -4 -3 -2 -1 0 y 8 3 0 -1 0 3 8 Kapag namarkahan sa coordinate plane ang mga puntos na ang mga coordinate ay ipinasok sa talahanayan (i-click gamit ang mouse), gumuhit ng parabola (sa pamamagitan ng pag-click).

2) Symmetry transformation tungkol sa y-axis f(x) f(-x) Ang graph ng function na y=f(-x) ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabago ng symmetry ng graph ng function na y=f(x) tungkol sa y-axis. Magkomento. Ang punto ng intersection ng graph na may y-axis ay nananatiling hindi nagbabago. Tandaan 1. Ang graph ng even function ay hindi nagbabago kapag ipinapakita ang tungkol sa y-axis, dahil para sa even function f(-x)=f(x). Halimbawa: (-x)²=x² Tandaan 2. Ang graph ng isang kakaibang function ay nagbabago sa parehong paraan kapag ipinapakita ang tungkol sa x-axis at kapag ipinapakita ang tungkol sa y-axis, dahil f(-x)=-f( x) para sa isang kakaibang function. Halimbawa: sin(-x)=-sinx.

3) Parallel translation along the x-axis f(x) f(x-a) Ang graph ng function na y=f(x-a) ay nakuha sa pamamagitan ng parallel translation ng graph ng function na y=f(x) kasama ang x-axis ni |a| kanan para sa a>0 at kaliwa para sa a 0 at kaliwa para sa a"> 0 at kaliwa para sa a"> 0 at kaliwa para sa isang" title="(!LANG:3) parallel translation ng graph ng function na y=f(x) kasama ang x-axis ng | isang| kanan para sa a>0 at kaliwa para sa a"> title="3) Parallel translation along the x-axis f(x) f(x-a) Ang graph ng function na y=f(x-a) ay nakuha sa pamamagitan ng parallel translation ng graph ng function na y=f(x) kasama ang x-axis ni |a| kanan para sa a>0 at kaliwa para sa a"> !}

4) Parallel translation sa kahabaan ng y-axis f(x) f(x)+b Ang graph ng function na y=f(x)+b ay nakuha sa pamamagitan ng parallel translation ng graph ng function na y=f(x) along ang y-axis ni |b| pataas para sa b>0 at pababa para sa b 0 at pababa sa b"> 0 at pababa sa b"> 0 at pababa sa b" title="(!LANG:4) Parallel translation sa kahabaan ng y axis f(x) f(x)+b Graph ng function na y =f(x )+b ay nakukuha sa pamamagitan ng parallel translation ng graph ng function na y=f(x) kasama ang y-axis ng |b| pataas para sa b>0 at pababa para sa b"> title="4) Parallel translation sa kahabaan ng y-axis f(x) f(x)+b Ang graph ng function na y=f(x)+b ay nakuha sa pamamagitan ng parallel translation ng graph ng function na y=f(x) along ang y-axis ni |b| pataas para sa b>0 at pababa para sa b"> !}

0 >1 Ang graph ng function na y=а(x) ay nakukuha sa pamamagitan ng pag-compress sa graph ng function na y=f(x) kasama ang x-axis sa pamamagitan ng factor na 1. Magkomento. Ang mga punto mula sa intersection ng graph na may y-axis ay nananatiling hindi nagbabago. 00 >1 Ang graph ng function na y=а(x) ay nakuha sa pamamagitan ng pag-compress sa graph ng function na y=f(x) kasama ang x-axis sa pamamagitan ng isang factor. Magkomento. Ang mga punto mula sa intersection ng graph na may y-axis ay nananatiling hindi nagbabago. 0 8 5) Pag-compress at pag-stretch sa kahabaan ng x-axis f(x) f(x), kung saan >0 >1 Ang graph ng function na y=a(x) ay nakukuha sa pamamagitan ng pag-compress sa graph ng function na y=f(x) kasama ang x-axis sa mga oras. Magkomento. Ang mga punto mula sa intersection ng graph na may y-axis ay nananatiling hindi nagbabago. 0 0 >1 Ang graph ng function na y=a(x) ay nakuha sa pamamagitan ng pag-compress sa graph ng function na y=f(x) kasama ang x-axis sa pamamagitan ng isang factor. Magkomento. Ang mga punto mula sa intersection ng graph na may y-axis ay nananatiling hindi nagbabago. 0 0 >1 Ang graph ng function na y=a(x) ay nakuha sa pamamagitan ng pag-compress sa graph ng function na y=f(x) kasama ang x-axis sa pamamagitan ng isang factor. Magkomento. Ang mga punto mula sa intersection ng graph na may y-axis ay nananatiling hindi nagbabago. 0 0 >1 Ang graph ng function na y=a(x) ay nakuha sa pamamagitan ng pag-compress sa graph ng function na y=f(x) kasama ang x-axis sa pamamagitan ng isang factor. Magkomento. Ang mga punto mula sa intersection ng graph na may y-axis ay nananatiling hindi nagbabago. 00 >1 Ang graph ng function na y=а(x) ay nakuha sa pamamagitan ng pag-compress sa graph ng function na y=f(x) kasama ang x-axis sa pamamagitan ng isang factor. Magkomento. Ang mga punto mula sa intersection ng graph na may y-axis ay nananatiling hindi nagbabago. 0 title="(!LANG:5) I-squeeze at iunat ang kahabaan ng x-axis f(x) f(x), kung saan >0 >1 Ang graph ng function na y=a(x) ay nakukuha sa pamamagitan ng pagliit ng graph ng ang function na y=f(x) kasama ang x-axis Tandaan: Ang mga punto mula sa intersection ng graph na may y-axis ay nananatiling hindi nagbabago.

6) Pag-compress at pag-stretch sa kahabaan ng y-axis f(x) kf(x), kung saan k>0 k>1 Ang graph ng function na y=kf(x) ay nakukuha sa pamamagitan ng pag-stretch ng graph ng function na y=f( x) kasama ang y-axis k beses. 0 0 k>1 Ang graph ng function na y=kf(x) ay nakuha sa pamamagitan ng pag-stretch ng graph ng function na y=f(x) kasama ang y-axis ng k beses. 0"> 0 k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз. 0"> 0 k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз. 0" title="6) Pag-compress at pag-stretch sa kahabaan ng y-axis f(x) kf(x), kung saan k>0 k>1 Ang graph ng function na y=kf(x) ay nakukuha sa pamamagitan ng pag-stretch ng graph ng function na y=f( x) kasama ang y-axis k beses."> title="6) Pag-compress at pag-stretch sa kahabaan ng y-axis f(x) kf(x), kung saan k>0 k>1 Ang graph ng function na y=kf(x) ay nakukuha sa pamamagitan ng pag-stretch ng graph ng function na y=f( x) kasama ang y-axis k beses."> !}

7) Pag-plot ng function na y=|f(x)| Ang mga bahagi ng graph ng function na y=f(x) na nasa itaas ng x-axis at sa x-axis ay nananatiling hindi nagbabago, habang ang mga nasa ibaba ng x-axis ay ipinapakita nang simetriko na nauugnay sa axis na ito (pataas). Magkomento. Function y=|f(x)| ay hindi negatibo (ang graph nito ay matatagpuan sa itaas na kalahating eroplano). Mga halimbawa:

8) Pag-plot ng function graph y=f(|x|) y (kaliwa). Ang graph point na nakalagay sa y-axis ay nananatiling hindi nagbabago. Magkomento. Ang function na y=f(|x|) ay pantay (ang graph nito ay simetriko tungkol sa y-axis). Mga halimbawa:

9) Pag-plot ng graph ng inverse function Ang graph ng function na y=g(x), ang inverse function na y=f(x), ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagbabago ng symmetry ng graph ng function na y=f(x) may kaugnayan sa tuwid na linya y=x. Magkomento. Ang inilarawan na konstruksiyon ay isinasagawa lamang para sa isang function na may kabaligtaran.

Lutasin ang sistema ng mga equation: Sa isang coordinate system, gagawa tayo ng mga graph ng mga function: a) Ang graph ng function na ito ay nakuha bilang resulta ng pagbuo ng graph sa isang bagong coordinate system xoy, kung saan O(1;0) b) Sa xoy system, kung saan o(4;3) gagawa tayo ng graph y=|x|. Ang solusyon ng system ay ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga graph at Pares ng mga numero: Suriin: (tama) Sagot: (2;5)..)5;2(y x

Lutasin ang equation: f(g(x))+g(f(x))=32, kung alam na at Solusyon: Ibahin natin ang function na f(x). Mula noon Pagkatapos g(f(x))=20. Palitan ang f(g(x))+g(f(x))=32 sa equation, makuha natin ang f(g(x))+20=32; f(g(x))=12 Hayaan g(x)=t, pagkatapos f(t)=12 o para sa o Mayroon kaming: g(x)=0 o g(x)=4 Dahil para sa x5 g(x )=20, pagkatapos ay ang mga solusyon ng mga equation: g(x)=0 at g(x)=4 ay hahanapin sa x

─ pagbuo ng mga praktikal na kasanayan

paglalagay ng mga elementarya function;

─ pag-unlad ng sinasadyang paggamit ng mga algorithm

paglalagay ng mga function;

─ pagbuo ng mga kasanayan sa pagsusuri ng gawain,

pag-unlad ng konstruksiyon, resulta;

─ pagbuo ng mga kasanayan sa pagbabasa ng mga graph ng mga function;

─ paglikha ng isang kapaligirang nagpapagana

para sa kaunlaran

"matagumpay na tao"

mag-aaral.

Ang mga pangunahing layunin ng elective course:

Kaugnayan ng paggamit pagtatanghal ng kompyuter sa paksang ito:

─ visibility at accessibility

teoretikal at praktikal na materyal;

─ paulit-ulit na pagkakataon upang tingnan ang dynamics

mga pagbabago sa tsart;

─ ang kakayahang indibidwal na pumili ng bilis at

ang antas ng proseso ng asimilasyon at pagsasama-sama ng pang-edukasyon

materyal;

─ makatwirang paggamit oras ng aralin;

─ ang posibilidad ng pag-aaral sa sarili;

─ pagpapanatili ng positibo

sikolohikal na saloobin sa pag-aaral.

Parallel na pagsasalin sa kahabaan ng Oy axis.

Parallel na pagsasalin sa kahabaan ng Ox axis.

Symmetric display tungkol sa x-axis.

Symmetric display tungkol sa Oy axis.

Mga graph ng mga function na naglalaman ng module.

Pag-igting (compression) sa kahabaan ng Oy axis.

Pag-igting (compression) sa kahabaan ng axis ng Ox.

Mga gawain.

Mga control button:─ pasulong, ─ pabalik,

T1. Parallel na pagsasalin sa kahabaan ng y-axis

y = f(x)

orihinal

mga function

y = f(x) + a

parallel

dalhin up

kasama ang y-axis

-a

y = f(x)

y = f(x) – a

parallel

dalhin pababa

kasama ang y-axis

y = f(x) - a

Pagbabago ng mga graph ng mga function. T2. Parallel na pagsasalin sa kahabaan ng x-axis

y = f(x)

orihinal

mga function

y = f(x+a )

- a

+ a

parallel

lumipat sa kaliwa

kasama ang x-axis

y = f(x +a )

y = f(x-a )

y = f(x)

y = f(x -a )

parallel

lumipat sa kanan

kasama ang x-axis

Pagbabago ng mga graph ng mga function. T3. Symmetric display nauugnay sa x-axis

y = f(x)

orihinal

mga function

y= - f(x)

simetriko

display

medyo

axis ng baka

-Kasama

y = f(x)

Pagbabago ng mga graph ng mga function. T4. Symmetric display tungkol sa y-axis

y = f(x)

orihinal

mga function

y= f( - x)

y = f( - x)

-a

simetriko

display

medyo

y-axis

-Kasama

y = f(x)

Pagbabago ng mga graph ng mga function. T5.1. Mga graph ng mga function na naglalaman ng module.

y=|f(x)|

y = f(x)

orihinal

mga function

y = f(x)

y=|f(x)|

bahagi ng tsart

nakahiga sa itaas ng axis Ox

napanatili, bahagi

nakahiga sa ibaba ng x-axis,

simetriko

ipinapakita

nauugnay sa x-axis

0 ay pinapanatili, ito ay ipinapakita din nang simetriko tungkol sa Oy axis y = f(| x|) "width="640"

Pagbabago ng mga graph ng mga function. T5.2 Mga graph ng mga function na naglalaman ng module.

y = f(x) -

orihinal

mga function

y = f(x)

y = f(|x|)

bahagi ng graph

sa x 0 ay pinananatili,

siya ay simetriko

ipinapakita

medyo

y-axis

y = f( | x|)

1 (sa figure k = 2) y = f(x) -1 - 2 11 "lapad="640"

Pagbabago ng mga graph ng mga function. T6.1. Pag-igting sa kahabaan ng y-axis

y = f(x)

orihinal

mga function

y= 2 f(x)

y = kf(x)

lumalawak kasama

y-axis sa k beses kung

k 1

( sa larawan k = 2)

y = f(x)

-1

- 2

Pagbabago ng mga graph ng mga function. T6.2. Compression sa kahabaan ng y-axis

y = f(x)

orihinal

mga function

y = 1/ 2 f(x)

1/ 2

y = kf(x)

kasama ang compression

y-axis sa 1 / k minsan

kung k 1

( sa larawan k = 1 / 2)

-1/ 2

y = f(x)

-1

Pagbabago ng mga graph ng mga function. T7.1. Pag-igting sa kahabaan ng axis ng Ox

y = f(x)

orihinal

mga function

y = f(x)

y = f(kx)

- 2

- 1

lumalawak kasama

axis ng baka 1 / k beses kung

k 1

( sa larawan k = 1/ 2)

y = f( 2x )

1 (sa figure k = 2) - 1 1 y = f(x) "width="640"

Pagbabago ng mga graph ng mga function. T7.2. Compression sa kahabaan ng Ox axis

y = f(x)

orihinal

mga function

y = f( 2x )

y = f(kx)

- 2

kasama ang compression

axis ng baka k beses kung

k 1

( sa larawan k = 2)

- 1

y = f(x)

Mga gawain

1. (parallel translation kasama ang Oy axis)

2. (parallel na pagsasalin sa kahabaan ng Ox axis)

1.,2. (parallel na pagsasalin kasama ang mga coordinate axes)

3. (symmetrical display tungkol sa x-axis)

4. (symmetrical display tungkol sa y-axis)

5.1

5.2 (mga graph ng mga function na naglalaman ng module)

6. ( pag-igting at compression sa kahabaan ng y-axis)

7. (tension at compression kasama ang Ox axis)

Paksa 1. Ehersisyo 1

Graph ng orihinal na function y = f(x) ibinigay ng mga tuldok

A(-5;-3) → B(-2;3) → C(1;3) → D(5;0). Mga Pag-andar ng Plot y= f(x) +3 at mga tampok y= f(x) ─2

sagot

tulong

Gawain 2

Pangalanan ang mga function na ang mga graph ay maaaring mabuo sa pamamagitan ng parallel transfer ng orihinal na graph sa kahabaan ng Oy axis : , sa = (X – 8) 2 , sa = X 3 + 3 , sa = X + 4 ,

, sa = X 2 – 2 ,

sagot

Gawain 3

I-plot ang mga function graph,

matatagpuan sa gawain 2.

sagot

Tulong. Paksa 1. Gawain 1.

Upang bumuo ng isang graph y= f(x) +3 y= f(x) 3 unit pataas sa kahabaan ng y-axis .

1 (-5;0), punto B(-2;3) → B 1 (-2;6) , punto С(1;3) → С 1 (1;6), tuldok

D(5;0) → D 1 (5;3)

Upang bumuo ng isang graph y= f(x) -2 kinakailangang magsagawa ng parallel transfer ng graph y= f(x) 2 unit pababa sa kahabaan ng y-axis .

Kaya ang point A(-5;-3) ay mapupunta sa point A 2 (-5;-5), punto B(-2;3) → B 2 (-2;1) , punto С(1;3) → С 2 (1;1), tuldok

D(5;0) → D 2 (5;-2)

Sagot 1.1.

Sagot 1.2.

Sa pamamagitan ng parallel na paglipat ng orihinal na graph kasama ang Oy axis

y = x 3 +3 ,

y = x + 4,

y = x 2 –2 ,

y = f(x) + 3

y = f(x) - 2

y = f(x)

y = x 3 +3

Sagot 1.3.

y = x + 4

y = x 2 –2

-2

Paksa 2 Ehersisyo 1

Graph ng orihinal na function y = f(x) ibinigay ng mga tuldok

A(-5;-3) → B(-2;3) → C(1;-2) → D(5;0). Mga Pag-andar ng Plot y= f(x +2 ) at mga tampok y= f(x ─3 )

sagot

tulong

Gawain 2

Pangalanan ang mga function na ang mga graph ay maaaring mabuo sa pamamagitan ng parallel na paglipat ng orihinal na graph sa kahabaan ng x-axis : , sa = (X – 4) 2 , sa = X 3 + 3 , sa = X + 4 ,

, sa = X 2 – 2 ,

sagot

Gawain 3

I-plot ang mga function graph,

matatagpuan sa gawain 2.

sagot

Tulong. Paksa 2. Gawain 1.

Upang bumuo ng isang graph y= f(x +2 ) kinakailangang magsagawa ng parallel transfer ng graph y= f(x) .

Kaya ang point A(-5;-3) ay mapupunta sa point A 1 (-7;-3), punto B(-2;3) → B 1 (-4;3) , punto С(1;-2) → С 1 (-1;-2), tuldok

D(5;0) → D 1 (3;0)

Upang bumuo ng isang graph y= f(x -3 ) kinakailangang magsagawa ng parallel transfer ng graph y= f(x) 3 unit sa kanan kasama ang x-axis .

Kaya ang point A(-5;-3) ay mapupunta sa point A 2 (-2;-3), punto B(-2;3) → B 2 (1;3), punto С(1;-2) → С 2 (4;-2), tuldok

D(5;0) → D 2 (8;0)

Sagot 2.2.

Sagot 2.1.

Sa pamamagitan ng parallel transfer ng orihinal na graph kasama ang Ox axis maaari mong i-plot ang mga sumusunod na function:

y \u003d (x - 4) 2 ,

y = (x +4),

y = f(x+ 2 )

y = f(x)

y = f(x– 3 )

Sagot 2.3.

y = (x –4) 2

-3

T 1.2. Parallel na pagsasalin sa mga coordinate axes kasama ang y-axis kasama ang x-axis

y = f(x) + a

- a

+ a

y = f(x +a )

-a

y = f(x)

y = f(x -a )

y = f(x) - a

Paksa 1, Paksa 2. Ehersisyo 1.

Gamit ang mga panuntunan ng parallel na pagsasalin kasama ang mga coordinate axes, magtatag ng isang pagsusulatan sa pagitan ng formula na tumutukoy sa function at ng panuntunan para sa pagbabago ng graph nito.

Ang graph ng function na ito ay binuo ng

parallel transfer ng function graph

y= f(x) :

- para sa 3 mga yunit. pababa sa y-axis;
- para sa 3 mga yunit. kanan sa Ox at 3 pababa sa Oy;
- para sa 3 mga yunit. pataas sa y-axis;
- 3 unit sa kaliwa sa kahabaan ng Ox axis at 3 unit pababa sa kahabaan ng Oy;
- para sa 3 mga yunit. sa kanan kasama ang x-axis;
- para sa 3 mga yunit. sa kaliwa sa Ox axis at 3 pataas sa Oy;
- para sa 3 mga yunit. pataas sa Oy axis at 3 sa kanan sa Ox

Paksa 1, Paksa 2. Gawain 2.

Gamit ang mga patakaran ng parallel na pagsasalin kasama ang mga coordinate axes, i-plot ang mga function graph:

1) y=(x+2) 2 – 3 , 2) ,

3) y=(x–3) 3 – 4 , 4)

tulong

-2

-3

y \u003d (x + 2) 2 –3

-4

y \u003d (x -3) 3 – 4

-3

-2

Tulong. Paksa 1. Paksa 2. Gawain 1.

1. Upang bumuo ng isang graph y = ( x +2 ) 2 –3 kinakailangang magsagawa ng parallel transfer ng graph y= x 2 2 unit sa kaliwa kasama ang x-axis , pagkatapos ay ilipat ang nagresultang graph 3 unit pababa sa kahabaan ng y-axis .

2. Ang graph na ito ay maaaring itayo sa pamamagitan ng parallel transfer ng mga coordinate axes: ang y-axis ay 2 unit sa kaliwa, at ang oh-axis ay 3 unit pababa. Pagkatapos ay bumuo ng isang graph y= x 2 sa bagong coordinate system.

Paksa 3. Ehersisyo 1

Graph ng orihinal na function y = f(x) ibinigay ng mga tuldok

A(-6;-3) → B(-3;2) → C(1;0) → D(3;3) → E(7;-4).

I-plot ang Function y = - f(x) .

sagot

tulong

Gawain 2

Pangalanan ang mga function na maaaring i-graph : sa = (4 – X) 2 , sa = – X 3 ,

, sa = – (x +2) 2 ,

sagot

Gawain 3

sagot

I-plot ang mga function graph,

matatagpuan sa gawain 2.

tulong

Tulong. Paksa 3. Gawain 1.

Upang bumuo ng isang graph y = - f(x)

y= f(x) nauugnay sa x-axis .

Kaya ang point A(-6;-3) ay mapupunta sa point A 1 (-6;3), punto B(-3;2) → B 1 (-3;-2) , punto С(1;0) → С 1 (1;0), tuldok

D(3;3) → D 1 (3;-3), punto E(7;-4) → E 1 (7;4)

Gawain 3.

Mga Function na Graph y \u003d - (x + 2) 2 at binuo gamit dalawang pagbabago : simetriko na pagpapakita tungkol sa Ox axis at parallel na pagsasalin sa kahabaan ng Oy axis. Dapat tandaan na ang mga pagbabagong ito maaaring gawin sa anumang pagkakasunud-sunod:

1. y=x 2 → y=(x+2) 2 → y \u003d - (x + 2) 2

orihinal na function → lumipat sa kaliwa ng 2 yunit. → display rel. Oh.

2. y=x 2 → y= -x 2 → y \u003d - (x + 2) 2 orihinal na function → display rel. Oh → lumipat sa kaliwa ng 2 yunit.

→

Sagot 3.1.

Sagot 3.2.

Sa pamamagitan ng pagpapakita ng orihinal na graph nang simetriko tungkol sa x-axis maaari mong i-plot ang mga sumusunod na function:

y = - x 3 ,

y \u003d - (x + 2) 2 ,

y= - f(x)

y = f(x)

Sagot 3.3.

y= – X 3

y = - (x +2) 2

Paksa 4. Ehersisyo 1

Graph ng orihinal na function y = f(x) ibinigay ng mga tuldok

A(-6;2) → B(-3;2) → C(0;-1) → D(3;3) → E(7;-4).

I-plot ang Function y= f( - x) .

sagot

tulong

Gawain 2

Pangalanan ang mga function na ang mga graph ay maaaring mabuo sa pamamagitan ng pagpapakita ng orihinal na graph nang simetriko tungkol sa y-axis : sa = (2 – X) 3 , sa = – X ,

, sa = – (x +2) 2 ,

sagot

Gawain 3

sagot

I-plot ang mga function graph,

matatagpuan sa gawain 2.

tulong

Tulong. Paksa 4. Gawain 1.

Upang bumuo ng isang graph y= f( - x) kinakailangang magsagawa ng simetriko na pagpapakita ng graph

y= f(x) tungkol sa y-axis .

Kaya, ang punto A (-6; 2) ay mapupunta sa puntong A 1 (6;2), punto B(-3;2) → B 1 (3;2), punto С(0;-1) → С 1 (0;-1), tuldok

D(3;3) → D 1 (-3;3), punto E(7;-4) → E 1 (-7;-4)

Gawain 3.

Mga Function na Graph y = (4–x) 3 at , binuo gamit dalawang pagbabago : simetriko display tungkol sa Oy axis at parallel na pagsasalin sa kahabaan ng Ox axis. Dapat tandaan na ang mga pagbabagong ito ay isinasagawa sa sumusunod na pagkakasunud-sunod:

1. y=x 3 → y=(2+x) 3 → y=(2-x) 3

orihinal na function → lumipat sa kaliwa ng 2 yunit. → display rel. OU.

2. → →

orihinal na function → lumipat sa kaliwa ng 4 na yunit. → display rel. OU

→

Sagot 4.1.

Sagot 4.2.

Sa pamamagitan ng pagpapakita ng orihinal na graph nang simetriko tungkol sa x-axis maaari mong i-plot ang mga sumusunod na function:

y \u003d - x,

y = (2-x) 3 ,

y = f( - x)

y = f(x)

Sagot 4.3.

y= – X

y \u003d (2 - x) 3

Paksa 5.1. Ehersisyo 1

Graph ng orihinal na function y = f(x) ibinigay ng mga tuldok

A(-6;1) → B(-3;4) → C(0;-2) → D(3;2) → E(7;-5).

I-plot ang Function y= | f(x) | .

sagot

Tulong.

Upang bumuo ng isang graph y= | f(x) | kinakailangang magsagawa ng simetriko na pagpapakita ng isang bahagi ng graph y= f(x) sa ibaba ng x-axis tungkol sa y-axis , ang bahagi ng graph na matatagpuan sa itaas ng Ox axis ganap na napanatili .

Kaya puntos A(-6;1) , B(-3;4) , Pananatilihin ng D(3;2) ang kanilang mga coordinate, at ang puntong C(0;-2) pupunta sa punto MULA SA 1 (0;2) , tuldok Ang E(7;-5) ay pupunta sa puntong E 1 (7;5).

Sagot 5.1.1.

y= | f(x) |

y = f(x)

Paksa 5.1. Gawain 2

i-plot ang mga function graph:

sagot

function

y= | X |

y = x → y= | X | -

y= | x+1 |

y = x → y = x+1 parallel shift up ng 1 unit. → y= | x+1 | - ang bahagi ng graph na nasa itaas ng axis ay nai-save, ang bahagi sa ibaba ng x-axis ay ipinapakita na may kaugnayan sa x-axis

y= | x–3 |

y = x → y = x–3 → y= | X – 3 | - ang bahagi ng graph na nasa itaas ng axis ay nai-save, ang bahagi sa ibaba ng x-axis ay ipinapakita na may kaugnayan sa x-axis

y= | 2-x |

y= || X | –4 |

y = x → y = -x display tungkol sa y-axis → y = 2–x parallel transfer up 2 units. → y= | 2 – X | - ang bahagi ng graph na nasa itaas ng axis ay nai-save, ang bahagi sa ibaba ng x-axis ay ipinapakita na may kaugnayan sa x-axis

y=x → y= | X | - ang bahagi ng graph na nasa itaas ng axis ay nai-save, ang bahagi sa ibaba ng x-axis ay ipinapakita na may kaugnayan sa x-axis → y= | X | –4 parallel transfer-nose pababa ng 4 units. → y= || X | –4 | - ang bahagi ng graph na nasa itaas ng axis ay nai-save, ang bahagi sa ibaba ng x-axis ay ipinapakita na may kaugnayan sa x-axis

Sagot 5.1.2.

y = |x +1 |

y = |x – 3 |

y= | x |

y= x +1

y=x – 3

y=x

y= || X | – 4 |

y=| 2 - x |

y= –x +2

y = |x| – 4

Paksa 5.1. Gawain 3

Gamit ang mga pangunahing panuntunan sa pagbabago ng tsart,

i-plot ang mga function graph:

sagot

function

y= | X 2 |

y=x 2 → y= | X 2 |

y= | X 2 – 4 |

y= | ( X- 2) 2 – 1 |

y = x 2 → y = x 2 – 4 parallel transfer pababa ng 4 units. → y= | X 2 – 4 | - ang bahagi ng graph na nasa itaas ng axis ay nai-save, ang bahagi sa ibaba ng x-axis ay ipinapakita na may kaugnayan sa x-axis

y = x 2 → y = (x -2) 2 parallel shift sa kanan ng 2 units. → y = (x - 2) 2 –1 →

y= | (X - 2) 2 –1 | - ang bahagi ng graph na nasa itaas ng axis ay nai-save, ang bahagi sa ibaba ng x-axis ay ipinapakita na may kaugnayan sa x-axis

y= || X 2 – 1 | – 3 |

y = x 2 → y = x 2 –1 parallel translation pababa ng 1 unit. → y= | X 2 –1 | - ang bahagi ng graph na nasa itaas ng axis ay nai-save, ang bahagi sa ibaba ng x-axis ay ipinapakita na may kaugnayan sa x-axis →

y= | X 2 –1 | – 3 parallel transfer pababa ng 3 units. →

y= || X 2 –1 | – 3 | ang bahagi ng graph na nasa itaas ng axis ay nai-save, ang bahagi sa ibaba ng x-axis ay ipinapakita na may kaugnayan sa x-axis

Sagot 5.1.3.

y= | (X – 2) 2 –1 |

y= | x 2 |

y=x 2

y = (x – 2) 2 –1

y= | X 2 – 1 |

y= | | X 2 – 1 | – 3 |

y= | x 2 – 4 |

y= | X 2 – 1 | – 3

y=x 2 – 4

Paksa 5.2. Ehersisyo 1.

Graph ng orihinal na function y = f(x) ibinigay ng mga tuldok

A(-8;2) → B(-4;2) → C(-2;-6) → D(6;6) → E(9;6) → K(11;9).

I-plot ang Function y= f( | x | ) .

sagot

tulong

Gawain 2.

Gamit ang mga panuntunan para sa pagbuo ng isang graph ng function y \u003d f( | x |) i-plot ang mga function graph:

1) y= | X | , 2) y= | X | 2 , 3) y= | X | 3 , 4) , 5)

sagot

Gawain 3.

1) y= | X | + 2 , 2) y=( | X | + 1) 2 , 3) y=( | X | – 1) 2 ,

4) , 5)

tulong

sagot

Tulong. Paksa 5.2. Ehersisyo 1.

Para sa gusali sining ng grapiko y= f(|x|) kailangan ng bahagi ng iskedyul

y= f(x) , pagsisinungaling sa kanan mula sa mga palakol OU iligtas at kanya pareho simetriko display medyo mga palakol OU .

Kaya paraan puntos A(-8;2) , B(-4;2) , C(-2;-6) sa isang ibinigay tsart hindi magiging; puntos D(6;6), E(9;6) at K(11;9) panatilihin kanilang mga coordinate, at sila ay ipapakita sa puntos D 1 (-6;6), E 1 (-9;6) at Upang 1 (-11;9).

Gawain 3.

function

Mga pamamaraan para sa pag-plot ng function graph

y= | X | +2

y = ( | X | +1) 2

y = ( | X | –1) 2

y = x → y = x + 2 → y = | X | + 2

pataas ng 2 display

y = x 2 → y = (x + 1) 2 → y = ( | X | + 1) 2

naiwan ng 1 display

y = x 2 → y \u003d (x - 1) 2 → y = ( | X | – 1) 2

kanang 1 display

naiwan ng 1 display

Sagot 5.2.1.

y = f( | x | )

y = f(x)

Sagot 5.2.2.

y = |x| 2

y = |x|

y = |x| 3

y=x 2

y=x 3

y=x

Sagot 5.2.3.

y= ( |x| +1) 2

y= ( x -1) 2

y= ( |x| -1) 2

y = |x| +2

y= ( x +1) 2

y=x +2

Paksa 6. Ehersisyo 1.

Graph ng orihinal na function y = f(x) binigay tuldok

A(-7;0) → B(-5;2) → C(-2;0) → D(0;-2) → E(3;-2) → K(4;0) → P(9 ;3).

Mga Pag-andar ng Plot y = 3 f(x) at y = 0.5 f(x)

sagot

tulong

Gawain 2.

Gamit ang mga patakaran para sa pagbuo ng isang graph ng function y \u003d k f(x ) i-plot ang mga function graph:

1) y= – 0.5x , 2) y= 3x 2 , 3) y= 0.5x 3 , 4) , 5)

sagot

Gawain 3.

Gamit ang lahat ng pinag-aralan na mga panuntunan sa pagbabago ng graph, bumuo ng mga graph ng mga sumusunod na function:

1) y= 3x + 3 , 2) y= 2(x+2) 2 , 3) y= – 0,5 (X – 1) 2 ,

4) , 5)

sagot

tulong

Tulong. Paksa 6. Gawain 1.

Upang bumuo ng isang graph y = 3 f(x) y= f(x) 3 beses sa kahabaan ng y-axis . Kaya, ang mga puntos A (-7; 0), C (-2; 0), at K (4; 0) ay mananatili sa kanilang mga coordinate, at ang punto B (-5; 2) ay mapupunta sa punto AT 1 (-5;6), punto D(0;-2) → D 1 (0;-6), punto E(3;-2) → E 1 (3;-6), punto Р(9;3) → Р 1 (9;9)

Upang bumuo ng isang graph y = 0.5 f(x) y= f(x) 2 beses sa kahabaan ng y-axis .

Kaya, ang mga puntos A (-7; 0), C (-2; 0), at K (4; 0) ay mananatili sa kanilang mga coordinate, at ang punto B (-5; 2) ay mapupunta sa punto AT 1 (-5;1), punto D(0;-2) → D 1 (0;-1), punto E(3;-2) → E 1 (3;-1), punto Р(9;3) → Р 1 (9;1,5)

Tulong. Paksa 6. Gawain 3.

function

y= 3x+3

Mga pamamaraan para sa pag-plot ng function graph

y = 2(x+2) 2

y \u003d -0.5 (x-1) 2

y = x → y = 3x → y = 3x + 3

Oy stretching move up ng 3

y = x 2 → y = (x + 2) 2 → y = 2(x + 2) 2

sa kaliwa sa pamamagitan ng 2 kahabaan sa Oy

y = x 2 → y = (x -1) 2 → y \u003d 0.5 (x -1) 2 → y \u003d - 0.5 (x -1) 2

sa kanan ng 1 Oy compression display rel. Oh

→ → →

pataas ng 1 ang stretch mapping

naiwan ng 1 oy stretch

Sagot 6.1.

y= 3 f(x)

y = f(x)

y= 0,5 f(x)

Sagot 6.2.

y= 3 x 2

y= 0,5 x 3

y= - x

y=x 2

y= -0,5 x

y=x 3

y= 0,5( x -1) 2

y= 2( x +2) 2

Sagot 6.3.

y= ( x +2) 2

y=x 2

y= ( x -1) 2

y=x 2

y= 3 x

y=x

y= 3 x +3

y= -0,5( x -1) 2

Paksa 7. Ehersisyo 1.

Graph ng orihinal na function y = f(x) ibinigay ng mga tuldok

A(-6;-2) → B(-3;0) → C(0;8) → D(3;3) → E(6;-4) → K(9;0) .

Mga Pag-andar ng Plot y= f( 3 x) at y= f( 0,5 x)

sagot

tulong

Gawain 2.

Gamit ang lahat ng pinag-aralan na mga panuntunan sa pagbabago ng graph, bumuo ng mga graph ng mga sumusunod na function:

1) y= 3x + 3 , 2) y= 2(x+2) 2 , 3) y= – 0,5 (X – 1) 2 ,

4) , 5)

Tulong. Paksa 7. Gawain 1.

Upang bumuo ng isang graph y= f( 3 x) kailangan mong i-compress ang graph y= f(x) 3 beses kasama ang x-axis 1 (-2;-2), punto B(-3;0) → B 1 (-1; 0), point C (0; 8) ay mananatili sa mga coordinate nito, point D (3; 3) → D 1 (1;3), tuldok E(6;-4) → E 1 (2;-4), punto K(9;0) → K 1 (3;0)

Upang bumuo ng isang graph y= f( 0.5x ) kailangan mong palawakin ang graph y= f(x) 2 beses kasama ang x-axis . Kaya, ang point A(-6;-2) ay mapupunta sa point A 1 (-12;-2), punto B(-3;0) → B 1 (-6;0), point C(0;8) ay mananatili sa mga coordinate nito, point D(3;3) → D 1 (6;3), tuldok E(6;-4) → E 1 (12;-4), punto K(9;0) → K 1 (18;0)