Differential equation at ang kanilang mga uri. Mga pangunahing uri ng differential equation

Pagkatapos ay dumating ang oras upang lumipat sa isang mas kumplikadong paksa, ibig sabihin, ang solusyon ng mga differential equation (DE, sa karaniwang parlance, diffurs). Ngunit hindi lahat ay nakakatakot gaya ng sa unang tingin.

Differential equation: ano ito?

Ang differential equation (DE) ay isang equation na, kasama ang mismong function (at ang mga argumento nito), ay naglalaman din ng derivative o ilang derivatives nito.

Differential equation: ano pa ang kailangan mong malaman?

Ang una (at pinakamahalagang) bagay na kakailanganin mo ay ang kakayahang matukoy nang tama ang uri ng differential equation. Pangalawa, ngunit hindi gaanong mahalaga, ay ang kakayahang pagsamahin at pag-iba-iba nang maayos.

Hindi lihim na ang mga differential equation ay may iba't ibang uri. Ngunit... una, tandaan natin na ang mga remote control ay may iba't ibang pagkakasunud-sunod. Ang pagkakasunud-sunod ng differential equation ay ang pagkakasunod-sunod ng pinakamataas na derivative na kasama sa differential equation. Ang pag-uuri ng mga sistema ng kontrol ayon sa pagkakasunud-sunod ng equation ay makikita sa sumusunod na talahanayan:

Pagkakasunod-sunod ng equation	Uri ng equation	Halimbawa
ako
II
…	…	…
n

Kadalasan kailangan nating harapin ang mga control system ng una at pangalawang order, mas madalas ang pangatlo. Sa 99% ng mga kaso, ang mga problema ay naglalaman ng tatlong uri ng first-order differential equation: mga equation na may separable variable, homogeneous equation, at linear inhomogeneous equation. Minsan mayroon ding mga mas bihirang uri ng differential equation: mga equation sa kabuuang differentials, Bernoulli equation, atbp. Sa mga second-order differential equation, kadalasang may mga equation na humahantong sa first-order differential equation, linear homogeneous at inhomogeneous equation na may pare-parehong coefficients.

Differential equation: solusyon - ano ang ibig sabihin nito at paano ito mahahanap?

Kapag nilulutas ang DE, hinihiling sa amin na hanapin ang alinman karaniwang desisyon(pangkalahatang integral), o isang partikular na solusyon. Karaniwang desisyon y = f(x, C) depende sa ilang pare-pareho ( SA— const), at ang partikular na solusyon ay hindi nakasalalay sa: y = f(x, C 0).

Differential equation (DE) - ito ang equation,
kung saan ang mga independiyenteng variable, y ang function at ang mga partial derivatives.

Ordinaryong differential equation ay isang differential equation na mayroon lamang isang independent variable, .

Partial differential equation ay isang differential equation na mayroong dalawa o higit pang independent variable.

Ang mga salitang "ordinaryo" at "mga partial derivatives" ay maaaring tanggalin kung malinaw kung aling equation ang isinasaalang-alang. Sa mga sumusunod, ang mga ordinaryong differential equation ay isinasaalang-alang.

Pagkakasunud-sunod ng differential equation ay ang pagkakasunod-sunod ng pinakamataas na derivative.

Narito ang isang halimbawa ng isang first order equation:

Narito ang isang halimbawa ng isang fourth order equation:

Minsan ang isang first order differential equation ay nakasulat sa mga tuntunin ng differentials:

Sa kasong ito, ang mga variable na x at y ay pantay. Ibig sabihin, ang independent variable ay maaaring maging x o y. Sa unang kaso, ang y ay isang function ng x. Sa pangalawang kaso, ang x ay isang function ng y. Kung kinakailangan, maaari nating bawasan ang equation na ito sa isang anyo na tahasang kinabibilangan ng derivative y′.
Ang paghahati ng equation na ito sa dx ay nakukuha natin:
.
Since and , kasunod niyan
.

Paglutas ng mga differential equation

Ang mga derivatives ng elementary functions ay ipinahayag sa pamamagitan ng elementary functions. Ang mga integral ng elementary function ay madalas na hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng elementary function. Sa mga differential equation ay mas malala pa ang sitwasyon. Bilang resulta ng solusyon maaari kang makakuha ng:

• tahasang pagdepende ng isang function sa isang variable;

  Paglutas ng differential equation ay ang function na y = u (x), na kung saan ay tinukoy, n beses differentiable, at .

• implicit dependence sa anyo ng isang equation ng uri Φ (x, y) = 0 o mga sistema ng mga equation;

  Integral ng isang differential equation ay isang solusyon sa isang differential equation na may implicit na anyo.

• pag-asa na ipinahayag sa pamamagitan ng mga elementarya na function at integral mula sa kanila;

  Paglutas ng differential equation sa mga quadrature - ito ay paghahanap ng solusyon sa anyo ng kumbinasyon ng mga elementary function at integral ng mga ito.

• ang solusyon ay maaaring hindi maipahayag sa pamamagitan ng elementarya na pag-andar.

Dahil ang paglutas ng mga differential equation ay bumaba sa pagkalkula ng mga integral, kasama sa solusyon ang isang set ng mga constant C 1, C 2, C 3, ... C n. Ang bilang ng mga constant ay katumbas ng pagkakasunud-sunod ng equation. Bahagyang integral ng isang differential equation ay ang pangkalahatang integral para sa mga ibinigay na halaga ng mga constants C 1, C 2, C 3, ..., C n.

Mga sanggunian:
V.V. Stepanov, Kurso ng mga differential equation, "LKI", 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Koleksyon ng mga problema sa mas mataas na matematika, "Lan", 2003.

Ang differential equation ay isang equation na nagsasangkot ng isang function at isa o higit pa sa mga derivatives nito. Sa karamihan ng mga praktikal na problema, ang mga function ay kumakatawan sa mga pisikal na dami, ang mga derivative ay tumutugma sa mga rate ng pagbabago ng mga dami na ito, at isang equation ang tumutukoy sa relasyon sa pagitan ng mga ito.

Tinatalakay ng artikulong ito ang mga pamamaraan para sa paglutas ng ilang uri ng mga ordinaryong equation ng kaugalian, ang mga solusyon na maaaring isulat sa anyo mga pag-andar ng elementarya, iyon ay, polynomial, exponential, logarithmic at trigonometric, pati na rin ang kanilang mga inverse function. Marami sa mga equation na ito ang lumilitaw sa totoong buhay, bagaman ang karamihan sa iba pang mga differential equation ay hindi malulutas ng mga pamamaraang ito, at para sa kanila ang sagot ay nakasulat sa anyo ng mga espesyal na function o power series, o matatagpuan sa pamamagitan ng mga numerical na pamamaraan.

Upang maunawaan ang artikulong ito, dapat ay bihasa ka sa differential at integral calculus, pati na rin magkaroon ng ilang pag-unawa sa mga partial derivatives. Inirerekomenda din na malaman ang mga pangunahing kaalaman ng linear algebra bilang inilapat sa mga differential equation, lalo na ang second-order differential equation, bagama't sapat na ang kaalaman sa differential at integral calculus upang malutas ang mga ito.

Paunang impormasyon

• Ang mga differential equation ay may malawak na klasipikasyon. Ang artikulong ito ay nagsasalita tungkol sa ordinaryong differential equation, iyon ay, tungkol sa mga equation na kinabibilangan ng function ng isang variable at mga derivatives nito. Ang mga ordinaryong differential equation ay mas madaling maunawaan at malutas kaysa partial differential equation, na kinabibilangan ng mga function ng ilang variable. Hindi tinatalakay ng artikulong ito ang mga partial differential equation, dahil ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito ay karaniwang tinutukoy ng kanilang partikular na anyo.
  • Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga ordinaryong differential equation.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng partial differential equation.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\partial y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Umorder ng isang differential equation ay tinutukoy ng pagkakasunud-sunod ng pinakamataas na derivative na kasama sa equation na ito. Ang una sa mga ordinaryong differential equation sa itaas ay nasa unang pagkakasunud-sunod, habang ang pangalawa ay pangalawang pagkakasunud-sunod na equation. Degree ng isang differential equation ay ang pinakamataas na kapangyarihan kung saan ang isa sa mga termino ng equation na ito ay nakataas.
  • Halimbawa, ang equation sa ibaba ay third order at second degree.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d)) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ kanan)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Ang differential equation ay linear differential equation kung sakaling ang function at lahat ng derivatives nito ay nasa unang antas. Kung hindi, ang equation ay nonlinear differential equation. Ang mga linear differential equation ay kapansin-pansin na ang kanilang mga solusyon ay maaaring gamitin upang bumuo ng mga linear na kumbinasyon na magiging mga solusyon din sa ibinigay na equation.
  • Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga linear differential equation.
    • d y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) )
    • x 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
  • Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng nonlinear differential equation. Ang unang equation ay nonlinear dahil sa sine term.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Karaniwang desisyon Ang ordinaryong differential equation ay hindi natatangi, kabilang dito arbitrary integration constants. Sa karamihan ng mga kaso, ang bilang ng mga arbitrary na constant ay katumbas ng pagkakasunud-sunod ng equation. Sa pagsasagawa, ang mga halaga ng mga constant na ito ay tinutukoy batay sa ibinigay paunang kondisyon, iyon ay, ayon sa mga halaga ng function at mga derivatives nito sa x = 0. (\displaystyle x=0.) Ang bilang ng mga paunang kundisyon na kailangang hanapin pribadong solusyon differential equation, sa karamihan ng mga kaso ay katumbas din ng pagkakasunud-sunod ng ibinigay na equation.
  • Halimbawa, titingnan ng artikulong ito ang paglutas ng equation sa ibaba. Ito ay isang pangalawang order na linear differential equation. Ang pangkalahatang solusyon nito ay naglalaman ng dalawang di-makatwirang mga pare-pareho. Upang mahanap ang mga constant na ito ay kinakailangan upang malaman ang mga paunang kondisyon sa x (0) (\displaystyle x(0)) At x ′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Karaniwan ang mga paunang kondisyon ay tinukoy sa punto x = 0 , (\displaystyle x=0,), bagama't hindi ito kinakailangan. Tatalakayin din ng artikulong ito kung paano maghanap ng mga partikular na solusyon para sa mga ibinigay na paunang kundisyon.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Mga hakbang

Bahagi 1

Mga equation ng unang order

Kapag ginagamit ang serbisyong ito, maaaring ilipat ang ilang impormasyon sa YouTube.

Ang pahinang ito ay tiningnan ng 69,354 beses.

Nakatulong ba ang artikulong ito?

Kahulugan. Equation ng form

, ang hindi kilalang function at ang mga derivatives nito ay tinatawag differential equation n-ika-utos.

Kahulugan. Equation ng form

pag-uugnay ng malayang baryabol , isang hindi kilalang function at ang derivative nito ay tinatawag first order differential equation.

Ang pagkakasunud-sunod ng isang differential equation ay ang pagkakasunud-sunod ng pinakamataas na derivative na kasama sa equation na ito.

Kahulugan. Pangkalahatang solusyon Ang differential equation (2) sa domain ay tinatawag na function , saan Sa– isang arbitrary na pare-pareho na tumutugon sa mga sumusunod na kondisyon:

1) para sa bawat numero Sa ang function ay isang solusyon sa equation (2);

2) kung , pagkatapos ay mayroong isang bilang na ang solusyon ay nakakatugon sa paunang kondisyon .

Kung ang pangkalahatang solusyon ay nakuha sa implicit form , pagkatapos ay tinatawag na pangkalahatang integral, at – bahagyang integral ng equation (8).

Kung mareresolba ang differential equation (8) na may kinalaman sa , pagkatapos ay kukuha ito ng form:

Tinatawag ang differential equation (9). nalutas na may kinalaman sa derivative.

Ang equation (9) ay minsan isinusulat bilang:

saan – mga function ng dalawang variable.

Ang teorama ni Cauchy. (Theorem of existence and uniqueness of a solution to the differential equation (9)). Kung sa equation (9) ang function at ang partial derivative nito na may kinalaman sa ay tinukoy at tuloy-tuloy sa rehiyon ng eroplano ( XOY) at isang di-makatwirang punto mula sa , pagkatapos ay mayroong isang natatanging solusyon sa equation na ito na nakakatugon sa paunang kondisyon .

Ang problema sa paghahanap ng solusyon sa equation (9) na may ibinigay paunang kondisyon tinawag Cauchy na problema.

Kahulugan. Pribadong desisyon differential equation (9) tumawag sa anumang function , na nakukuha mula sa pangkalahatang solusyon kung ang isang arbitrary na pare-pareho ay binibigyan ng isang tiyak na halaga.

Kahulugan. Ang isang differential equation ng unang order ay tinatawag na isang equation na may mapaghihiwalay na mga variable, kung maaari itong isulat sa anyo

o , (12)

saan – mga tinukoy na function.

Upang malutas ang equation (11), hinati namin ang mga variable:

O hatiin ang magkabilang panig (12) sa :

saan

Kahulugan. Ang equation o (13) ay tinatawag na equation na may pinaghiwalay na mga variable.

Kahulugan. Tinatawag ang function homogenous function ng zero na dimensyon, kung ito ay nakasalalay lamang sa ratio, i.e. .

Kahulugan. Ang homogenous differential equation ay isang equation ng form (14)

Ipakilala natin ang isang bagong hindi kilalang function sa pamamagitan ng paglalagay , o . Ang pagkakaiba-iba, nakukuha natin.

Ipalit natin sa equation (14), ibahin ito sa anyo . Ang paghihiwalay ng mga variable at pagsasama, nakita namin

Mula rito.

Pagkatapos isagawa ang pagsasama, kailangan mong bumalik sa function sa pamamagitan ng paglalagay ng .

Halimbawa. Lutasin ang equation.

Ang pagpapahayag ng derivative, nakukuha natin o .

Ilagay natin. Tapos , . Ang pagpapalit sa equation, nakukuha namin . saan .

Paghiwalayin natin ang mga variable.

Pagkatapos ng integration nahanap namin

o .

Sa wakas.

Kahulugan. Ang isang linear differential equation ay isang equation ng form

Ipakilala natin ang dalawang bagong hindi kilalang function at , paglalagay ng . Dahil mayroon na ngayong dalawang hindi kilalang function, at mayroon lamang isang kundisyon sa mga function na ito (dapat matugunan ng kanilang produkto ang equation (15)), maaari tayong mag-arbitraryong magpataw ng isa pang kundisyon sa mga function na ito, na gagamitin natin sa ibaba.

Palitan natin sa (15),

nakukuha namin

o (16)

Bilang isang function, pipili kami ng anumang function na nakakatugon sa kundisyon. (17)

Kumuha kami ng isang equation na may mga separable variable upang mahanap. Isama natin ang equation na ito, itakda ang integration constant na katumbas ng zero (ang huli ay legal, dahil nasiyahan tayo sa anumang solusyon sa equation (17)):

I-substitute natin ang nahanap na halaga sa equation (16):

Pagsasama, nakita namin ang function: . Sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga nahanap na function at , nakakakuha tayo ng pangkalahatang solusyon sa equation (15).

Kahulugan. Ang equation ni Bernoulli ay isang equation ng form

saan m– anumang tunay na numero. Ang equation na ito ay nalulutas gamit ang parehong pamamaraan bilang isang linear equation.

Kahulugan. Ang equation

ay tinatawag na total differential equation kung ang kaliwang bahagi nito ay ang kabuuang differential ng ilang function. Sa kasong ito, ang equation (18) ay maaaring muling isulat bilang . Ang pangkalahatang integral ng equation (18) ay magiging

Teorama. Hayaan ang mga function na magkaroon ng tuluy-tuloy na partial derivatives sa ilang domain ( D) eroplano ( XOY). Upang ang isang expression ay maging isang kumpletong pagkakaiba ng ilang function, ito ay kinakailangan at sapat na sa lahat ng mga punto ng rehiyon ( D) ang pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan

Hayaang ibigay ang equation (18) kung saan nasiyahan ang kundisyon (20). Ang huli ay nangangahulugan na mayroong isang function tulad na

Upang malutas ang equation (18), ito ay kinakailangan, batay sa equalities (21), upang mahanap ang function at isulat ang pangkalahatang integral ng equation (18) sa form (19).

Halimbawa. Maghanap ng solusyon sa equation na tumutugon sa kondisyon.

Meron kami: , .

Hanapin natin at:

Kaya, i.e. may function na ganyan

Upang mahanap, pinagsama-sama namin x ang una sa mga pagkakapantay-pantay (22):

Dito gumaganap ang hindi kilalang function ng integration constant. Upang mahanap, iniiba namin ang (23) na may paggalang sa y:

Sa kabilang banda, mula sa (22) mayroon tayo Mula sa dalawang pagkakapantay-pantay na ito ay nakukuha natin o .

Mula rito. (24)

Ang pagpapalit sa (24), nakukuha natin, ayon sa (19), ang pangkalahatang integral ng equation na ito sa anyo .

Magkomento. Dahil, ayon sa (19), ang function ay equated sa isang arbitrary na pare-pareho, at kapag nagsasagawa ng integration (24), ang integration constant ay hindi kailangang isulat.

Ang pinakasimpleng equation 1 ay isang equation ng form Gaya ng nalalaman mula sa kurso ng integral calculus, ang function y ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagsasama

Kahulugan. Ang equation ng form ay tinatawag na differential equation with pinaghiwalay na mga variable. Maaari itong isulat sa anyo

Isinasama natin ang magkabilang panig ng equation at makuha ang tinatawag na pangkalahatang integral (o pangkalahatang solusyon).

Halimbawa.

Solusyon. Isulat natin ang equation sa form
Pagsamahin natin ang magkabilang panig ng equation:

(pangkalahatang integral ng isang differential equation).

Kahulugan. Ang isang equation ng form ay tinatawag na isang equation na may mga separable variable, kung ang mga function ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga function

ibig sabihin, ang equation ay may anyo

Upang malutas ang naturang differential equation, kailangan nating bawasan ito sa anyo ng isang differential equation na may mga pinaghiwalay na variable, kung saan hinahati natin ang equation sa produkto
Sa katunayan, hinahati ang lahat ng termino ng equation sa produkto
,

–differential equation na may mga pinaghiwalay na variable.

Upang malutas ito, sapat na upang isama ang termino sa pamamagitan ng termino

Kapag nag-solve ng differential equation na may mga separable variable, maaari kang magabayan ng mga sumusunod algorithm (panuntunan) para sa paghihiwalay ng mga variable.

Unang hakbang. Kung ang isang differential equation ay naglalaman ng isang derivative , dapat itong isulat bilang isang ratio ng mga pagkakaiba:

Pangalawang hakbang. I-multiply ang equation sa pamamagitan ng
, pagkatapos ay pinapangkat namin ang mga terminong naglalaman ng kaugalian ng function at ang kaugalian ng malayang variable
.

Pangatlong hakbang. Mga ekspresyong nakuha sa
, kinakatawan ito bilang isang produkto ng dalawang salik, na ang bawat isa ay naglalaman lamang ng isang variable (
). Kung pagkatapos nito ay makikita ang equation, hinahati ito sa produkto
, nakakakuha tayo ng differential equation na may mga pinaghiwalay na variable.

Ikaapat na hakbang. Sa pamamagitan ng pagsasama ng termino ng equation sa pamamagitan ng termino, nakakakuha tayo ng pangkalahatang solusyon sa orihinal na equation (o ang pangkalahatang integral nito).

Isaalang-alang ang mga equation

№ 2.

№ 3.

Ang differential equation #1 ay isang separable differential equation, ayon sa kahulugan. Hatiin ang equation sa produkto
Nakukuha namin ang equation

Pagsasama, nakukuha namin

o

Ang huling kaugnayan ay ang pangkalahatang integral ng differential equation na ito.

Sa differential equation No. 2 pinapalitan namin
dumami sa
, nakukuha namin

pangkalahatang solusyon ng isang differential equation.

Ang differential equation No. 3 ay hindi isang equation na may mga separable variable, dahil, na naisulat ito sa anyo

o
,

nakikita natin na ang expression
sa anyo ng isang produkto ng dalawang salik (isa –

lamang Sa y, ang iba pa – kasama lamang X) ay imposibleng isipin. Tandaan na kung minsan ay kinakailangan na magsagawa ng algebraic transformations upang makita na ang isang ibinigay na differential equation ay may mga separable variable.

Halimbawa Blg. 4. Dahil sa isang equation, ibahin ang anyo ng equation sa pamamagitan ng paglipat ng common factor sa kaliwa
Hatiin ang kaliwa at kanang bahagi ng equation sa produkto
nakukuha namin

Pagsamahin natin ang magkabilang panig ng equation:

saan
ay ang pangkalahatang integral ng equation na ito. (A)

Tandaan na kung ang integration constant ay nakasulat sa form
, kung gayon ang pangkalahatang integral ng equation na ito ay maaaring magkaroon ng ibang anyo:

o
– pangkalahatang integral. (b)

Kaya, ang pangkalahatang integral ng parehong differential equation ay maaaring magkaroon ng iba't ibang anyo. Sa anumang kaso, mahalagang patunayan na ang nagreresultang pangkalahatang integral ay nakakatugon sa ibinigay na differential equation. Upang gawin ito, kailangan mong mag-iba sa pamamagitan ng X magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na tumutukoy sa pangkalahatang integral, na isinasaalang-alang iyon y mayroong isang function mula sa X. Pagkatapos ng elimination Sa nakakakuha tayo ng magkaparehong differential equation (orihinal). Kung ang pangkalahatang integral
, (tingnan ( A)), iyon

Kung ang pangkalahatang integral
(uri (b)), pagkatapos

Nakukuha namin ang parehong equation tulad ng sa nakaraang kaso (a).

Isaalang-alang natin ngayon ang simple at mahahalagang klase mga equation sa unang pagkakasunud-sunod na bumabawas sa mga equation na may mga mapaghihiwalay na variable.