Ang konsepto ng epektibong masa sa mga metal. Quasimomentum at epektibong mass of charge carrier

28.11.2023 | Mana

). Ang mabisang masa ng isang elektron sa isang kristal, sa pangkalahatan, ay iba sa masa ng isang elektron sa isang vacuum.

Encyclopedic YouTube

1 / 5

NEGATIVE MASS [Balita sa Agham at Teknolohiya]

Mga electric lawn mower mula sa Germany -Wolf Garten

Ang pinakakapaki-pakinabang na produkto!!! Inverter Dnipro-M SAB-260DPA

FAQ: Paano pumili ng isang mahabang nasusunog na kalan para sa pagpainit ng isang silid mula 100 hanggang 150 metro kubiko?

Mga subtitle

Ngayon sa isyu: ang mga siyentipiko ay nakabuo ng isang aparato na kumukuha ng tubig mula sa tuyong hangin, at ang mga physicist mula sa USA ay lumikha ng isang sangkap na may negatibong epektibong masa. Walang hanggang kalusugan sa lahat! Kasama mo Alexander Smirnov, Tamang Katotohanan at Balita sa Agham at Teknolohiya. Ang problema sa pag-access sa tubig ay lalong nagiging talamak para sa Earth - ayon sa mga pagtatantya ng UN, sa pamamagitan ng 2025 ay makakaapekto ito sa higit sa 14% ng mga naninirahan sa ating planeta. Sa ngayon, maraming mga pamamaraan para sa pag-desalinate ng tubig-dagat, ngunit ang mga teknolohiyang ito ay may dalawang pangunahing disbentaha - ang mga ito ay masyadong mahal at nakakaubos ng enerhiya, o ang mga sistema ng paglilinis ay mabilis na nagiging barado at hindi na magagamit. Kaya, ang teknolohiyang ito ay nagiging hindi magagawa sa ekonomiya. Anong gagawin? Ang mga Amerikanong siyentipiko mula sa Massachusetts Institute of Technology at sa Unibersidad ng California sa Berkeley ay nakabuo ng isang aparato na maaaring direktang kumuha ng tubig mula sa hangin. Ang prototype na nilikha ng mga siyentipiko ay gumagana kahit na sa mga kondisyon ng disyerto at sa kalaunan ay maaaring magbigay sa mga sambahayan ng malinis na inuming tubig na kailangan nila - sa pamamagitan ng pagkuha ng moisture mula sa nakapalibot na kapaligiran. Hindi ka makakapag-ipit ng juice mula sa isang bato, ngunit maaari kang kumuha ng tubig mula sa isang disyerto na kalangitan, salamat sa isang bagong aparato na gumagamit ng sikat ng araw upang sumipsip ng singaw ng tubig mula sa hangin, kahit na sa mababang kahalumigmigan. Ang aparato ay tinawag na solar-powered harvester. Ito ay tumatakbo sa mga solar panel. Ang aparato ay maaaring magbigay ng tubig sa isang relatibong halumigmig na 20%. Kapag lumilikha ng aparato, ginamit ang mga organometallic compound (MOC). Ang mga ito ay kumplikadong mga polymer na materyales, katulad ng istraktura sa mga pulot-pukyutan at may napakataas na porosity at lakas. Ngayon ay ginagamit ang mga ito upang lumikha ng mga filter na maaaring kumuha ng carbon dioxide o hydrogen at humawak ng malaking dami ng mga gas na ito. Sa kaso ng xArvester na ito, ginamit ang MOS na may zirconium at adipic acid, na nakagapos sa bola ng tubig. Ang istraktura na ito ay durog sa alikabok. Gumagana ito sa isang napaka-primitive na paraan - ang "buhangin" na gawa sa mga particle ng MOF ay sumisipsip ng tubig mula sa hangin, at ang liwanag at init ng Araw, na itinuro dito ng isang sistema ng mga salamin, ay pinipilit ang singaw ng tubig na umalis sa kanila at lumaki sa isang sisidlan. nakakonekta sa desalination device na ito. Ang istraktura ng sala-sala ng polymer ay nakakakuha ng mga molekula ng singaw ng tubig sa hangin, at ang sikat ng araw na pumapasok sa bintana ay nagpapainit sa MOF at nagdidirekta ng nauugnay na kahalumigmigan sa condenser, na may temperatura ng hangin sa labas. Siya ang sa wakas ay nagiging likidong tubig ang singaw, na tumutulo sa kolektor. Ang nasabing aparato, na naglalaman ng isang kilo ng MOF, ay maaaring makagawa ng halos tatlong litro ng tubig sa kalahating araw, kahit na mula sa medyo tuyo na hangin na may 20-30% na kahalumigmigan. Sa prinsipyo, ito ay sapat na upang magbigay ng isang tao ng kinakailangang halaga ng inuming tubig para sa isang araw. Ito ay nagkakahalaga ng noting na ang pag-install ay mayroon pa ring silid upang lumago. Una, ang zirconium ay nagkakahalaga ng $150 kada kilo, na ginagawang masyadong mahal ang mga kagamitan sa pag-aani ng tubig para mass produce at ibenta sa katamtamang halaga. Gayunpaman, sinasabi ng mga siyentipiko na matagumpay na nilang nadisenyo ang isang kagamitan sa pagkolekta ng tubig kung saan ang zirconium ay pinalitan ng 100 beses na mas murang aluminyo. Ito ay maaaring gawing angkop ang mga umaani ng tubig sa hinaharap hindi lamang para sa pawi ng uhaw ng mga tao sa mga tuyong lugar, ngunit marahil kahit para sa pagbibigay ng tubig sa mga magsasaka sa disyerto. Ang gawaing ito ay nagmumungkahi ng isang bagong paraan upang mag-ani ng tubig mula sa hangin na hindi nangangailangan ng mataas na relatibong halumigmig at mas mahusay sa enerhiya kaysa sa iba pang umiiral na mga teknolohiya. Plano ng team na pagbutihin ang harvester para makasipsip ito ng mas maraming hangin at makagawa ng mas maraming tubig. Ang prototype na kanilang nilikha ay sumisipsip lamang ng 20% ng sarili nitong timbang sa tubig, ngunit sa teoryang ang figure na ito ay maaaring tumaas sa 40%. Gagawin din ng mga physicist ang device na mas mahusay sa mga kondisyon ng mataas at mababang kahalumigmigan. Nais ipakita ng mga siyentipiko na kung ang isang tao ay natigil sa isang lugar sa disyerto, maaari siyang mabuhay sa tulong ng aparatong ito. Ang isang tao ay nangangailangan ng halos isang lata ng cola water bawat araw. Sa sistemang ito maaari itong tipunin nang wala pang isang oras. Maaari ka ring kumuha ng tubig mula sa hangin gamit ang mga wind turbine at ground-based filtration plants. Ngunit hindi tulad ng pag-unlad ng mga siyentipikong Amerikano, ang mga sistemang ito ay gumagawa ng tubig sa pamamagitan ng pagbuo ng condensation, kaya hindi sila epektibo sa mga tuyong klima. Mahusay na deal. Kung maaari itong dalhin sa pang-industriya na produksyon, malulutas nito ang problema ng inuming tubig hindi lamang sa mga tuyong lugar sa Earth, ngunit kahit na sa Mars, siyempre, kung ito ay napanatili sa mga labi ng kapaligiran nito. Ngunit ang aparato mismo ay mahusay, na talagang gumagawa ng tubig at pera mula sa hangin. At kung ise-set up mo ito sa Biyernes ng gabi sa ilang bar, maaari kang magsama ng cocktail. Kung maaari lamang matutong makakuha ng pagkain ang naturang device... Sa anumang kaso, binabati kita sa mga siyentipiko at hinihintay namin silang maihatid sa Aliexpress. Isipin ang isang bagay - isang panulat, isang telepono, isang pambura. Ngayon sa isip pindutin ang iyong daliri dito. Kung pinindot mo nang husto, ang bagay ay lilipat sa direksyon ng inilapat na presyon. Alinsunod sa Newtonian physics, ang acceleration ng isang katawan sa direksyon ay tumutugma sa puwersa na inilapat dito at inversely proportional sa masa. Gayunpaman, sa microcosm ang batas na ito ay hindi palaging nalalapat. Inihayag ng mga siyentipiko mula sa Washington State University na nakagawa sila ng substance na may negatibong masa. Sa teoretikal na pisika, ang negatibong masa ay ang konsepto ng isang hypothetical na sangkap na ang masa ay may kabaligtaran na halaga ng masa ng isang normal na sangkap (tulad ng isang electric charge ay maaaring maging positibo at negatibo). Halimbawa, −2 kg. Ang nasabing sangkap, kung ito ay umiiral, ay lalabag sa isa o higit pang mga kondisyon ng enerhiya at magpapakita ng ilang kakaibang katangian. Ayon sa ilang haka-haka na teorya, ang bagay na may negatibong masa ay maaaring gamitin upang lumikha ng mga wormhole sa espasyo-oras. Ito ay parang ganap na science fiction, ngunit ngayon isang grupo ng mga physicist mula sa Washington State University, University of Washington, OIST University (Okinawa, Japan) at Shanghai University ang nagtagumpay sa paggawa ng isang substance na nagpapakita ng ilan sa mga katangian ng hypothetical negative mass materyal. Halimbawa, kung itulak mo ang sangkap na ito, ito ay magpapabilis hindi sa direksyon ng puwersa na inilapat, ngunit sa kabaligtaran na direksyon. Ibig sabihin, bumibilis ito sa kabilang direksyon. Upang lumikha ng isang sangkap na may mga katangian ng isang negatibong masa, ang mga siyentipiko ay naghanda ng isang Bose-Einstein condensate. Sa ganitong estado, ang mga particle ay gumagalaw nang napakabagal, at ang mga quantum effect ay nagsisimulang lumitaw sa antas ng macroscopic. Iyon ay, alinsunod sa mga prinsipyo ng quantum mechanics, ang mga particle ay nagsisimulang kumilos tulad ng mga alon. Halimbawa, nag-synchronize sila sa isa't isa at dumadaloy sa mga capillary nang walang alitan, iyon ay, nang hindi nawawala ang enerhiya - ang epekto ng tinatawag na superfluidity. Sa aming kaso, inilagay ng mga eksperimento ang nagresultang condensate sa isang field na may hawak nito. Ang mga particle ay pinabagal ng isang laser at naghintay hanggang ang pinaka-energetic sa kanila ay umalis sa lakas ng tunog, na lalong nagpalamig sa materyal. Sa isang "tasa" na may diameter na humigit-kumulang 100 microns, ang microdroplet ay kumikilos tulad ng isang ordinaryong sangkap na may positibong masa. Kung masira ang selyo ng sisidlan, ang mga atomo ng rubidium ay lilipad sa iba't ibang direksyon, dahil itutulak ng mga gitnang atomo ang mga pinakalabas na atomo palabas, at sila ay magpapabilis sa direksyon ng inilapat na puwersa. Upang lumikha ng negatibong epektibong masa, gumamit ang mga physicist ng isa pang hanay ng mga laser, na nagbago sa pag-ikot ng ilan sa mga atomo, habang ang mga condensate na particle, na nagtagumpay sa hadlang ng enerhiya, ay umalis sa "tasa" sa kabaligtaran na direksyon. Kaya, ang mga pisiko ay nagawang matugunan sa matematika ang kondisyon ng ikalawang batas ni Newton - isang katawan kung saan kumikilos ang isang puwersa ay nakakakuha ng pagbilis sa direksyon patungo sa puwersang ito, at hindi sa kabaligtaran na direksyon, gaya ng dati, ibig sabihin, ito ay kumikilos na parang nakikipag-ugnayan tayo sa. isang negatibong masa. Totoo, ang batas na ito mismo ay hindi nalalapat sa mundo ng quantum, at ang mga kalahok sa eksperimento sa kanilang artikulo ay sumulat tungkol sa negatibong epektibong masa, na hindi masyadong pareho. Gayunpaman, ang eksperimento at ang mga resulta nito ay nagbibigay ng mga batayan para sa pag-iisip tungkol sa uniberso at sa bagay na nasa loob nito. Ang mga pisikal na teorya ay walang nakikitang imposible sa pagkakaroon ng mga negatibong masa at kahit na subukang gamitin ang mga ito upang ipaliwanag ang ilang mga aspeto ng nakikitang mundo, sa partikular na mga kaganapan na nagaganap sa kailaliman ng mga black hole o neutron star. Sa pangkalahatan, mahirap i-wrap ang aking ulo sa kahulugan ng negatibong masa. Marahil dahil pinag-uusapan natin ang tungkol sa epektibong masa - sa katunayan, isang virtual na parameter. Ang mga particle mismo ay karaniwan, ngunit ang mga siyentipiko ay lumikha ng mga kondisyon kung saan ang mga particle na ito ay naging mga particle na may negatibong masa. Parang loan na may negative rate. Tinatawag itong deposito. At pagkatapos ay mayroong social negatibong masa. Kung nilalamig ka at gusto mo ng yakap, ipapadala ka nila sa kabilang direksyon. Gayunpaman, umaasa ako na ang pananaliksik na ito ay maglalapit sa mga siyentipiko sa paglikha ng isang gravity cap. Salamat sa lahat ng nanonood! Kasama mo si Alexander Smirnov, Correct Truth at Science and Technology News. Huwag kalimutang i-like ang cinematograph na ito, mag-subscribe sa channel, at ibahagi ang video sa iyong mga kaibigan. Lechaim, boyars!

Kahulugan

Ang mabisang masa ay natutukoy sa pamamagitan ng pagkakatulad sa ikalawang batas ni Newton F → = m a → . (\displaystyle (\vec (F))=m(\vec (a)).) Gamit ang quantum mechanics, maipapakita na para sa isang electron sa isang panlabas na electric field E → (\displaystyle (\vec (E)))

a → = q ℏ 2 ⋅ d 2 ε d k 2 E → , (\displaystyle (\vec (a))=((q) \over (\hbar ^(2)))\cdot ((d^(2) \varepsilon ) \over (dk^(2)))(\vec (E)),)

saan a → (\displaystyle (\vec (a)))- pagbilis, q- singil ng butil, ℏ (\displaystyle \hbar ) ay ang pinababang Planck constant, ay ang wave vector, na tinutukoy mula sa momentum bilang k → = p → / ℏ , (\displaystyle (\vec (k))=(\vec (p))/\hbar ,) enerhiya ng butil ε (k) (\displaystyle \varepsilon (k)) nauugnay sa wave vector k (\displaystyle k) batas ng pagpapakalat. Sa pagkakaroon ng isang electric field, isang puwersa ang kumikilos sa elektron F → = q E → . (\displaystyle (\vec (F))=q(\vec (E)).). Mula dito makakakuha tayo ng isang ekspresyon para sa mabisang masa m ∗ : (\displaystyle m^(*):)

m ∗ = ℏ 2 ⋅ [ d 2 ε d k 2 ] − 1 . (\displaystyle m^(*)=\hbar ^(2)\cdot \left[((d^(2)\varepsilon ) \over (dk^(2)))\kanan]^(-1.)

Ang epektibong masa ay nakasalalay sa direksyon sa kristal at, sa pangkalahatan, isang tensor.

Epektibong mass tensor- isang termino mula sa solid-state physics na nagpapakilala sa kumplikadong kalikasan mabisang mass quasiparticle (mga electron, butas) sa isang solid. Ang likas na katangian ng tensor ng epektibong masa ay inilalarawan ng katotohanan na sa isang kristal na sala-sala ang isang elektron ay gumagalaw hindi bilang isang particle na may mass ng pahinga, ngunit bilang isang quasiparticle na ang masa ay nakasalalay sa direksyon ng paggalaw na may kaugnayan sa mga crystallographic axes ng kristal. Ang epektibong masa ay ipinakilala kapag mayroong isang parabolic dispersion law, kung hindi man ang masa ay magsisimulang umasa sa enerhiya. Sa bagay na ito, posible negatibong epektibong masa.

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang mabisang masa ay matatagpuan mula sa batas ng pagpapakalat ε = ε (k →) (\displaystyle \varepsilon =\varepsilon ((\vec (k))))

m i j − 1 = 1 ℏ 2 k ∂ ε ∂ k δ i j + 1 ℏ 2 (∂ 2 ε ∂ k 2 − 1 k ∂ ε ∂ k) k i k j k 2 , (1)(-1j)style )=(\frac (1)(\hbar ^(2)k))(\frac (\partial \varepsilon )(\partial k))\delta _(ij)+(\frac (1)(\hbar ^ (2)))\left((\frac (\partial ^(2)\varepsilon )(\partial k^(2)))-(\frac (1)(k))(\frac (\partial \varepsilon )(\partial k))\right)(\frac (k_(i)k_(j))(k^(2))),\qquad (1))

saan k → (\displaystyle (\vec (k)))- wave vector, δ i j (\displaystyle \delta _(ij))- Simbolo ng Kronecker, ℏ (\displaystyle \hbar )- pare-pareho ni Planck.

Epektibong masa para sa ilang semiconductors

Ang talahanayan sa ibaba ay nagpapakita ng epektibong masa ng mga electron at butas para sa semiconductors - mga simpleng sangkap ng pangkat IV at binary compound

Ang konsepto ng epektibong masa ng isang elektron ay isang maginhawang paraan lamang ng paglalarawan ng paggalaw ng isang elektron na matatagpuan sa isang pana-panahong larangan ng isang kristal sa ilalim ng impluwensya ng isang panlabas na larangan ng kuryente. Ang mabisang masa mismo ay hindi masa sa karaniwang kahulugan ng salita. Hindi nito tinutukoy ang alinman sa reserbang enerhiya, o ang mga inertial o gravitational na katangian ng elektron. Sa laki maaari itong maging mas malaki o mas mababa kaysa sa tunay na masa ng elektron. Bukod dito, m* maaaring maging positibo o negatibo. Ang epektibong masa ay isang koepisyent lamang ng proporsyonalidad na may kaugnayan (5.15), na nagkokonekta sa panlabas na puwersa sa pagpabilis ng elektron. Makatuwiran lamang ito hangga't ang enerhiya ng elektron ε ay maaaring ipahayag bilang isang quadratic function ng wavenumber. Sa kasong ito m* nananatiling pare-pareho. Mula sa Fig. 5.7 ito ay malinaw na ito ay nangyayari kapag k, naaayon sa ibaba at itaas ng energy zone. Sa unang kaso m* 7 ito ay malinaw na ito ay nangyayari kapag k, naaayon sa ibaba at itaas ng energy zone. >0, sa pangalawa m* <0. Вблизи же точек перегиба m* tumigil sa pagiging isang analogue ng masa. Sa kabutihang palad, halos palaging kailangan mong harapin ang mga electron na matatagpuan alinman sa ibaba ng zone o sa tuktok nito. Ang konsepto ng epektibong masa ay lubos na naaangkop sa mga electron na ito, na nagbibigay-katwiran sa pagpapakilala ng konseptong ito.

Ang isang tampok na katangian ng epektibong masa sa isang kristal ay ang halaga nito ay nakasalalay hindi lamang sa estado ng elektron (posisyon sa banda ng enerhiya), kundi pati na rin sa direksyon ng paggalaw ng elektron. Ang pag-asa ng epektibong masa sa direksyon ng paggalaw ng elektron ay ipinaliwanag ng anisotropy ng kristal: kapag ang isang elektron ay gumagalaw, ang mga puwersa ng pakikipag-ugnayan nito sa kristal na sala-sala ay naiiba sa iba't ibang direksyon ng crystallographic. Bukod dito, sa isang solid na may mataas na anisotropic na istraktura ng kristal m* maaaring positibo para sa ilang direksyon at negatibo para sa iba.

Ang konsepto ng mga butas

Ipagpalagay natin na ang energy band na ito ay ganap na puno ng mga electron (Larawan 5.8 A). Ang mga electron na matatagpuan sa itaas na antas ng zone ay may negatibong epektibong masa (pabilis sila sa direksyon na kabaligtaran sa pagkilos ng panlabas na puwersa) at isang negatibong singil - e. Alisin natin ang isang electron mula sa isa sa mga antas na ito (5.8, b). Dahil ang banda ay ganap na napuno ng mga negatibong sisingilin na mga electron, ang inilabas na antas, na hindi pinagtatrabahuhan ng isang elektron, ay kikilos tulad ng isang particle na may positibong singil, numerical na katumbas ng electron charge + e. Bilang karagdagan, dahil ang mga electron sa itaas na mga antas ng banda ay may negatibong epektibong masa, ang pinakawalan na antas ay kikilos tulad ng isang particle na may positibong epektibong masa, ayon sa bilang na katumbas ng epektibong masa ng elektron na sumasakop sa antas na ito. Kaya, ang paglabas ng isa sa mga itaas na antas ng isang sinasakop na banda ng enerhiya ay katumbas ng hitsura sa loob nito ng isang particle na may positibong singil at positibong epektibong masa. Ang ganitong kathang-isip na butil ay tinatawag butas.

Ang mga butas ay gumaganap ng isang napakahalagang papel sa pagtukoy ng mga de-koryenteng katangian ng mga solido. Sa mga katawan na may halos ganap na puno ng mga zone ng enerhiya, ang electric current ay lumitaw bilang isang resulta ng direktang paggalaw ng mga butas. Sa partikular, ang isang bilang ng mga metal ay nagpapakita ng gayong kondaktibiti ng butas. Ngunit ang mekanismo ng butas ng pagpapadaloy ay lalong mahalaga sa semiconductors.

Pagpuno ng mga banda na may mga electron

Ang bawat zone ng enerhiya ay naglalaman, tulad ng nalaman namin, ng isang limitadong bilang ng mga antas ng enerhiya. Alinsunod sa prinsipyo ng Pauli, ang bawat antas ay maaaring tumanggap ng hindi hihigit sa dalawang electron na may magkasalungat na direksyon ng mga spin. Sa isang limitadong bilang ng mga electron na nakapaloob sa isang solid, ilan lamang sa karamihan mababa mga zone ng enerhiya.

Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang proseso ng pagpuno ng mga banda ng mga electron kapag ang mga banda na ito huwag mag-overlap. Ang pag-asa ng enerhiya ng elektron sa numero ng alon para sa kasong ito ay ipinapakita sa Fig. 5. 6. Para sa maliliit na halaga k(malapit sa pinanggalingan) kurba ε (k) ay isang parabola :

Bilang resulta, ang mga electron filling energy level na matatagpuan sa ilalim ng banda ay kumikilos tulad ng mga libreng electron na may mabisang masa. m*. Samakatuwid, ang kanilang pamamahagi ng enerhiya, tulad ng pamamahagi ng mga libreng electron, ay sumusunod sa mga istatistika ng Fermi-Dirac. Ito ay ang bilang ng mga electron sa bawat yunit ng dami ng isang solid dP, na ang enerhiya ay nakapaloob sa hanay mula sa ε dati ε + dε katumbas

(5.18)

saan - Fermi-Dirac function, µ - potensyal na kemikal bawat butil, kB– Boltzmann pare-pareho, T- ganap na temperatura.

Ang Fermi–Dirac distribution function ay tatalakayin nang mas detalyado sa ibang pagkakataon. Sa ngayon, napapansin na lang natin sa system mga electron ng isang metal sa absolute zero ito ay tumutugma sa antas ng Fermi(µ = ε F). Ngunit hindi tama na isaalang-alang ang antas ng potensyal na kemikal na maging antas ng Fermi sa lahat ng iba pang mga kaso. Ang antas ng Fermi ay isang tunay na one-electron na estado na nagtatapos sa pagpuno ng mga estado ng enerhiya sa absolute zero. Sa isang purong semiconductor, ang antas ng Fermi ay tumutugma sa tuktok ng valence band. At ang potensyal na kemikal sa mababang temperatura ay malapit sa gitna ng mga ipinagbabawal na enerhiya sa pagitan ng valence band at ng conduction band.

Sa ganap na zero para sa mga estado na may ε < µ f(ε ) = 1 at

(5.19)

Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 5.9 ang pag-asa ng bilang ng mga electron sa zone sa enerhiya ε . Plot TUNGKOL SAd ang kurba na ito ay tumutugma sa formula (5.19) at tumutugma sa pamamahagi ng enerhiya ng mga libreng electron na may mabisang masa T*.

Habang napuno ang zone, ang parisukat na pag-asa ng enerhiya ng elektron sa numero ng alon, na katangian ng mga libreng electron, ay lalong lumalala (Larawan 5.6), at ang dependence curve P mula sa ε umaalis sa parabola na ipinahayag ng equation (5.19).

2.1. Ang paggalaw ng mga electron sa isang pana-panahong larangan ng isang kristal.

Schrödinger equation para sa kristal

Tinalakay ng unang kabanata ang quantum mechanical na paglalarawan ng mga libreng microparticle o mga particle na matatagpuan sa isang panlabas na patlang ng puwersa. Gayunpaman, ang mga pangunahing tagumpay ng quantum mechanics ay nauugnay sa pag-aaral ng mga sistema ng mga nakikipag-ugnayan na microparticle (mga electron, nuclei, atoms, molecule) na bumubuo sa bagay. Sa kabanatang ito, ilalapat namin ang quantum mechanics upang ilarawan ang pag-uugali ng mga electron sa mga kristal na solido, na isinasaalang-alang ang kristal bilang isang sistema ng mga microparticle.

Sa pangkalahatan, ang problemang ito ay nangangailangan ng paglutas ng Schrödinger equation para sa isang sistema ng mga particle (mga electron at nuclei) na bumubuo ng isang kristal. Sa equation na ito, kinakailangang isaalang-alang ang kinetic energy ng lahat ng electron at nuclei, ang potensyal na enerhiya ng interaksyon sa pagitan ng mga electron, nuclei sa kanilang mga sarili, at mga electron na may nuclei. Malinaw na sa pangkalahatan ay hindi posible na malutas ang gayong equation, dahil naglalaman ito ng mga 10 22 variable. Samakatuwid, ang mga problema na nauugnay sa pag-uugali ng mga electron sa isang kristal ay malulutas sa ilalim ng ilang mga pagpapasimple na pagpapalagay (approximations), ang bisa nito ay tinutukoy ng mga tiyak na katangian ng kristal. Isaalang-alang natin ang pangunahing mga pagpapalagay na ito.

Adiabatic approximation. Sa pagtatantya na ito, ipinapalagay na ang mga electron ay gumagalaw sa field nakatigil mga core. Ang ibig sabihin ng nuclei dito ay ang aktwal na nuclei ng mga atomo na may lahat ng mga electron, hindi kasama ang mga valence. Ang bisa ng palagay na ito ay natutukoy sa pamamagitan ng katotohanan na ang mga bilis ng mga electron ay humigit-kumulang dalawang order ng magnitude na mas malaki kaysa sa mga bilis ng nuclei, samakatuwid, para sa anumang pagsasaayos ng nuclei, kahit na isang nonequilibrium, ang kaukulang electronic equilibrium ay palaging magkakaroon ng oras upang maitatag. Sa representasyong ito, ang pagpapalitan ng enerhiya sa pagitan ng mga electronic at nuclear system ay hindi kasama, samakatuwid ang approximation na ito ay tinatawag na adiabatic. Naturally, sa adiabatic approximation imposibleng isaalang-alang ang mga naturang phenomena tulad ng pagsasabog, ionic conductivity, atbp., Na nauugnay sa paggalaw ng mga atom o ions.

Pagtatantya ng single-electron. Sa pagtatantya na ito, sa halip na ang pakikipag-ugnayan ng isang binigay na electron sa ibang mga electron at nuclei, ang paggalaw nito sa isang partikular na nagreresultang average na larangan ng natitirang mga electron at nuclei ay itinuturing na hiwalay. Ang patlang na ito ay tinatawag na self-consistent. Sa isang-electron approximation, samakatuwid, ang problema ay nabawasan sa isang independiyenteng paglalarawan ng bawat electron sa isang average na panlabas na field na may potensyal na enerhiya U(r). Uri ng function U(r) ay tinutukoy ng mga katangian ng simetrya ng kristal. Ang pangunahing pag-aari ng isang patlang na pare-pareho sa sarili ay ang pagkakaroon nito ng parehong panahon sa larangan ng nuclei.

Kaya, ang adiabatic at one-electron approximation ay humahantong sa problema ng electron motion sa isang tiyak na periodic potential field na mayroong period na katumbas ng crystal lattice constant. Ang Schrödinger equation sa kasong ito ay magkakaroon ng form

. (2.1)

Dito y(r) - function ng electron wave, D - Operator ng Laplace, m e- mass ng elektron, E- enerhiya ng isang electron sa isang kristal.

Ang sumusunod na dalawang pagpapalagay ay nauugnay sa imposibilidad ng tumpak na pagtukoy sa uri ng pag-andar U(r). Samakatuwid, kapag inilalarawan ang mga katangian ng mga electron sa isang kristal, ang dalawang paglilimita ng mga kaso ng pakikipag-ugnayan ng mga electron sa sala-sala ay karaniwang isinasaalang-alang.

Mahinang pagtatantya ng pagkakabit. Sa pagtatantya na ito, ang mga electron sa isang kristal ay itinuturing na halos libreng mga particle, ang paggalaw nito ay mahinang nababagabag ng larangan ng kristal na sala-sala. Ang pagpapalagay na ito ay naaangkop kapag ang potensyal na enerhiya ng pakikipag-ugnayan ng isang electron sa sala-sala ay mas mababa kaysa sa kinetic energy nito. Ang pamamaraang ito kung minsan ay tinatawag na " diskarte ng halos libreng mga electron", ay nagbibigay-daan sa amin upang makakuha ng solusyon sa ilang mga problema na nauugnay sa pag-uugali ng mga valence electron sa mga metal.

Sa semiconductors, mas katanggap-tanggap na pag-aralan ang kanilang mga pisikal na katangian lumalapit sa malakas na pagkabit. Sa pagtatantya na ito, ang estado ng isang electron sa isang kristal ay bahagyang naiiba mula sa estado nito sa isang nakahiwalay na atom. Naaangkop ang tight-binding approximation kapag ang potensyal na enerhiya ng isang electron ay mas malaki kaysa sa kinetic energy nito.

Ang katangian ng parehong mahina at malakas na pagtatantya ng pagkabit ay pareho silang humahantong sa isang pangunahing katangian ng pamamahagi ng enerhiya ng mga electron sa isang kristal - ang paglitaw ng pinahihintulutan at ipinagbabawal na mga zone ng enerhiya.

2.2. Mga banda ng enerhiya sa malakas na pagtatantya ng pagkakabit

Sa kabila ng katotohanan na ito ay naaangkop para sa mga electron ng malalim na antas ng enerhiya, mahusay na inilalarawan nito ang pangkalahatang mga prinsipyo ng pagbuo ng mga banda ng enerhiya kapag ang mga nakahiwalay na atom ay lumalapit sa isa't isa at ang pagbuo ng isang kristal na sala-sala mula sa kanila. Isaalang-alang natin nang husay ang larawan ng paglitaw ng mga banda ng enerhiya gamit ang halimbawa ng pagbuo ng isang kristal na sala-sala mula sa nakahiwalay na mga atomo ng sodium. Elektronikong istraktura ng Na 11 (1s 2 2s 2 2p 6 3s): mayroong kabuuang 11 electron sa atom, dalawang electron bawat isa sa 1s at 2s na antas, 6 na electron sa antas ng 2p, ang huling napunong antas sa sodium atom ay 3s, na naglalaman ng isang valence electron . Dahil sa strong-binding approximation, ipinapalagay na ang estado ng isang electron sa isang kristal ay bahagyang naiiba sa estado nito sa isang nakahiwalay na atom, sa pagtatasa ng impluwensya ng kristal na larangan ng mga kalapit na atomo sa estadong ito, magpapatuloy tayo mula sa enerhiya. istraktura ng nakahiwalay na atom. Sa Fig. Ang Figure 2.1a ay nagpapakita ng eskematiko ng mga antas ng enerhiya at ang pamamahagi ng mga electron sa kanila para sa mga atomo ng sodium na matatagpuan sa isang sapat na malaking distansya mula sa isa't isa upang ang mga potensyal na kurba ng elektron ay hindi magkakapatong (ang pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga atom ay bale-wala). Ang mga estado ng mga electron sa kasong ito ay inilalarawan ng mga pag-andar ng alon ng isang nakahiwalay na atom, ang pinapayagang mga antas ng enerhiya ay discrete at tinutukoy ng mga quantum number n, l, m- pangunahing, orbital, magnetic, ayon sa pagkakabanggit. Ang bawat antas na hindi nabubulok sa enerhiya ay maaaring maglaman ng dalawang electron, na isinasaalang-alang ang pag-ikot, at ang bawat antas na bumababa sa orbital quantum number ay maaaring maglaman ng 2(2). l+1) mga electron.

Ilapit natin ngayon ang mga atomo na ito sa isang distansya na katumbas ng parameter ng sodium crystal lattice (Larawan 2.1b). Ang mga pakikipag-ugnayan sa mga kalapit na atom ay makakaapekto sa orihinal na mga antas ng enerhiya ng atom. Sa masikip na nagbubuklod na approximation, ipinapalagay na ang potensyal na enerhiya ng isang elektron sa isang kristal U(r) ay maaaring katawanin ng kabuuan

, (2.2)

saan Ua- potensyal na enerhiya ng isang electron sa isang nakahiwalay na atom; D U(r) ay isang pagwawasto na isinasaalang-alang ang impluwensya ng mga kalapit na atomo. Ipinapalagay na ang mga kalapit na atomo ay nagdudulot ng mahinang kaguluhan sa Ua( D U(r) << Ua). Ang pagpapabaya sa pag-amyenda D U(r) humahantong sa Schrödinger equation para sa isang nakahiwalay na atom.

Dahil sa isang kristal ang bawat antas ng isang nakahiwalay na atom ay inuulit ng N beses, ito ay nagiging N-fold degenerate. Ito ay kilala na ang electric field ay nag-aalis ng pagkabulok at ang bawat antas ng isang nakahiwalay na atom ay nahahati sa N malapit na pagitan (sa mga tuntunin ng mga halaga ng enerhiya) na mga antas ng enerhiya. Mayroong isang pagkakatulad dito sa mga pinagsamang oscillator. Kung mayroon tayong dalawang ganap na magkaparehong mga oscillator na hindi konektado sa bawat isa sa pamamagitan ng anumang pakikipag-ugnayan (matematika na mga pendulum, mga de-koryenteng oscillatory circuit, atbp.), Kung gayon ang mga frequency ng kanilang mga natural na oscillations ay nag-tutugma. Ang pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga oscillator ay humahantong sa paghahati ng isang frequency sa dalawang magkatulad na frequency (sa kondisyon na ang enerhiya ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga oscillator ay mas mababa kaysa sa enerhiya ng mga natural na oscillations). Para sa N interconnected oscillators, nakakakuha kami ng isang banda ng N malapit na pagitan ng mga frequency. Ang isang katulad na resulta ay nakuha para sa isang sistema ng nakikipag-ugnayan na mga atomo. Ang bilang ng mga antas ng enerhiya kung saan nahahati ang bawat antas ng enerhiya ng isang nakahiwalay na atom ay katumbas ng bilang ng mga atomo sa kristal. Ang magnitude ng paghahati ay mas malaki, mas malakas ang pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga atomo, i.e. mas maliit ang distansya sa pagitan nila. Sa Fig. Ang 2.2 ay nagpapakita ng isang eskematiko na paghahatidalawang antas ng enerhiya ng isang atom sa ilalim ng impluwensya ng mga larangan ng mga kalapit na atomo. Ang diagram ay ipinapakita para sa walong atoms.

Ang paglutas ng Schrödinger equation sa tight coupling approximation ay humahantong sa sumusunod na expression para sa electron energy sa periodic field ng isang three-dimensional cubic lattice

, (2.3)

Dito C- ilang pare-parehong halaga na maaaring tumagal ng positibo at negatibong mga halaga; A- exchange integral, depende sa overlap ng wave functions ng atoms; k x, k y, k z- mga bahagi ng electron wave vector; A- parameter ng kristal na sala-sala.

Mga matinding halaga ng enerhiya ng elektron E magaganap sa cos k i a= ± 1 ( i = x, y, z) at tukuyin ang lapad ng energy band na nabuo ng split level ng isang nakahiwalay na atom. Para sa isang simpleng cubic lattice, ang lapad ng energy band ay D E= 12A . Ang lapad ng banda ng enerhiya para sa mas mataas na antas ay mas malaki, dahil para sa mga estado ng elektron na ito, ang mga function ng electron wave ay mas malakas na nagsasapawan at, samakatuwid, ang exchange integral ay mas malaki A. Ang gitna ng zone ay inilipat kaugnay sa posisyon ng antas ng enerhiya ng isang nakahiwalay na atom sa pamamagitan ng halaga SA. Ang direksyon ng paglilipat ay nakasalalay sa tanda SA. Ang mga zone ng enerhiya ay karaniwang pinaghihiwalay ng mga pagitan ng enerhiya D Eg, tinawag mga lugar na ipinagbabawal. Minsan maaaring mag-overlap ang mga energy zone.

Ang mga tunay na kristal na may sukat na humigit-kumulang 1 cm 3 ay naglalaman~ 10 22 atoms. Ang lapad ng energy band ay karaniwang ~1 eV. Sa kasong ito, ang distansya sa pagitan ng mga antas sa zone ay~ 10 -22 eV. Dahil dito, ang spectrum ng mga electron sa loob ng energy band ay maaaring ituring na halos tuloy-tuloy.

2.3. Pangkalahatang katangian ng pag-andar ng electron wave sa isang pana-panahong potensyal. Ang teorama ni Bloch

Upang tumpak na malutas ang problema ng paggalaw ng elektron sa isang kristal sa isang-electron approximation, kinakailangan upang malutas ang Schrödinger equation ng form (2.1), kung saan ang potensyal U(r) ay may periodicity ng crystal lattice, i.e.

, (2.3)

Dito R- anumang vector ng isang tuwid na kristal na sala-sala.

Ang pangangailangan upang malutas ang problema sa mekanikal na dami ay dahil sa ang katunayan na ang haba ng daluyong ng de Broglie ng electron ay tumutugma sa pagkakasunud-sunod ng magnitude sa panahon ng potensyal. U(~ 10 -8 cm). Posibleng makakuha ng ilang pangkalahatang katangian ng wave function ng isang electron sa isang kristal gamit lamang ang periodicity property ng crystal field potential, nang hindi nilulutas ang Schrödinger equation. Isasaalang-alang namin dito ang idealized na kaso ng isang hypothetical na kristal na may ganap na perpektong potensyal na periodicity. Nakuha namin ang isang tipikal na pagtingin sa potensyal sa isang linya na nagkokonekta sa isang kadena ng mga atomo (one-dimensional na kaso) nang mas maaga sa pamamagitan ng husay na pagsusuri sa epekto ng pakikipag-ugnayan ng mga atomo sa spectrum ng mga electron kapag ang mga nakahiwalay na atom ay lumalapit sa isa't isa (Fig. 2.1b) . Eksaktong kahulugan ng function U(r) ay isang napakahirap na gawain.

Ang mga pangunahing katangian ng nakatigil na estado ng pag-andar ng alon ay tinutukoy ng Ang teorama ni Bloch: Ang eigenfunctions ng isang stationary wave equation na may periodic potential ay may anyo ng produkto ng plane wave function at isang function na may periodic potential:

. (2.4)

Index k y ng wave function ay nagpapahiwatig na ang function na ito ay depende sa wave number. Ang hitsura ng index n ay dahil sa ang katunayan na kapagmga nakapirming halaga k ang function ng wave ay hindi pareho para sa mga electron ng iba't ibang mga banda na nabuo mula sa mga antas ng atom, n madalas na tinatawag na zone number. Multiplier u n ,k (r) ay tinatawag kay Bloch multiplier . Isinasaalang-alang nito ang impluwensya ng patlang ng kristal at sinasalamin ang katotohanan na ang posibilidad na makahanap ng isang elektron sa isang partikular na rehiyon ng kristal ay paulit-ulit mula sa cell hanggang sa cell.

Ang isang eskematiko na representasyon ng electronic wave function na kinakatawan sa Bloch's theorem ay ipinapakita para sa one-dimensional na kaso sa Fig. 2.3. Sa tuktok (Larawan 2.3, a) ang potensyal ay ipinakita U(x) kasama ang isang hanay ng mga atomo. Sa ibaba (Larawan 2.3b) ay isang halimbawa ng eigenfunction (tunay na bahagi nito). Ang function na ito ay katumbas ng produkto ng Bloch multiplier u(x), pagkakaroon ng lattice periodicity (Fig. 2.3, c) at ang wave function ng isang libreng electron sa anyo ng plane wave (Fig. 2.3, d), ang haba nito ay tinutukoy ng wave number k. Ang representasyon ng wave function sa anyo (2.4) ay maaaring gawin sa iba't ibang paraan. Ipakita natin ito para sa one-dimensional na kaso. Ayon sa teorama ni Bloch, ang one-dimensional wave function ay maaaring isulat bilang

. (2.5)

I-multiply at hatiin natin ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (2.5) sa function, Saan

A- parameter ng sala-sala. Pagkatapos makuha namin

. (2.6)

Sa mga square bracket ng formula (2.6) mayroong isang function na nakakatugon sa mga kinakailangan ng theorem ni Bloch: ito ay panaka-nakang may period A, kasi ay katumbas ng produkto ng dalawang periodic function na may parehong period. Function naglalarawan ng plane wave, ngunit may ibang wave vector, na nag-iiba ayon sa halaga . Kaya, ang parehong nakatigil na estado ng isang electron sa isang mala-kristal na periodic field ay maaaring ilarawan bilang isang function ng alon may wave number k, at ang function ng wave may wave number at isa pang Bloch multiplier. Katulad na mga resulta ay makukuha kung k pagbabago ayon sa halaga , Saan n- anumang integer.

Para sa isang one-dimensional na kadena ng mga atom, ang dami coincides sa laki ng unang Brillouin zone sa reciprocal space. Kung nililimitahan natin ang ating sarili sa pagsasaalang-alang ng mga numero ng wave sa loob ng unang Brillouin zone, i.e. sa saklaw mula sa dati , pagkatapos ang set na ito k ay mauubos ang lahat ng pisikal na magkakaibang mga halaga ng wavenumber sa kristal.

2.4. Kronig-Penny na modelo

Ang teorama ni Bloch ay nagpapahintulot sa amin na analytically na lutasin ang problema ng isang elektron sa isang pana-panahong larangan ng isang kristal na sala-sala sa mahinang pagtatantya ng pagkakabit sa ilalim ng ilang mga pagpapasimpleng pagpapalagay. Ang pangunahing kahirapan sa paglutas ng equation (2.1) ay nauugnay sa kawalan ng kakayahang tumpak na isulat ang anyo ng function. U(r). Samakatuwid, madalas ang pana-panahong pag-asa ng function U(r) ay pinalitan ng isang mas simpleng function na may eksaktong parehong panahon. Ang modelo ng Kronig-Penney ay limitado sa pagsasaalang-alang sa isang one-dimensional na problema kung saan ang pana-panahong potensyal ay pinapalitan ng isang chain ng mga rectangular potential well (Larawan 2.4). Lapad ng bawat hukay A, sila ay pinaghihiwalay mula sa isa't isa sa pamamagitan ng hugis-parihaba na potensyal na mga hadlang ng taas U 0 at lapad b. Panahon ng pag-uulit ng hukay Sa= A+ b.

Ang nakatigil na Schrödinger equation sa kasong ito ay magkakaroon ng form

. (2.7)

Ang pinagmulan ng coordinate system (point X= 0) pipiliin namin upang ito ay tumutugma sa kaliwang gilid ng potensyal na balon, tulad ng ipinapakita sa Fig. 2.4, b. Pagkatapos ay ang potensyal na pag-andar

. (2.8)

Alinsunod sa theorem ni Bloch, ang function ng electron wavey(x) ay maaaring katawanin sa anyo

. (2.9)

Mga index n At k inalis para sa kadalian ng pag-record. Function u(x) (Bloch multiplier) ay may tuldokc

Ang pagpapalit ng (2.9) sa equation (2.7), makakakuha tayo ng differential equation para sa Bloch multiplier

(2.10a)

para sa mga electron na matatagpuan sa loob ng mga potensyal na balon, at

(2.10b)

para sa mga electron na matatagpuan sa labas ng mga potensyal na balon. Sa mga equation na ito E k - electron kinetic energy

Ang pangkalahatang solusyon sa equation (2.10a) para sa mga electron sa loob ng mga potensyal na balon ay maaaring isulat sa anyo

, (2.11a)

saan a - ilang parameter na maaaring matagpuan sa pamamagitan ng pagpapalit ng solusyon sa anyo (2.11a) sa orihinal na equation (2.10a). Ang pagpapalit na ito ay nagreresulta sa sumusunod na halagaa:

Sa lugar sa labas ng mga potensyal na balon, sa kondisyon na ang taas ng potensyal na hadlang U 0 sa itaas ng kabuuang enerhiya ng elektron E, ang solusyon sa equation (2.10b) ay may anyo

, (2.11b)

saan

Permanente A, B, C At D sa mga formula (2.11a) at (2.11b) ay matatagpuan, gaya ng dati, mula sa mga kundisyon ng hangganan. Ang mga kondisyon ng hangganan ay nangangailangan na ang function u(x) at ang unang hinalaw nito sa mga lugar ng potensyal na pagtalon, ibig sabihin, sa mga dingding ng mga potensyal na balon, ay tuloy-tuloy. Ang mga kinakailangang ito ay humahantong sa sumusunod na sistema ng mga equation:

(2.12)

System of equation (2.12) pagkatapos palitan ang mga function dito At , ayon sa pagkakapantay-pantay (2.10a) at (2.10b), ay binago sa isang sistema ng linear homogeneous algebraic equation kung saan ang mga coefficient ay hindi alam A, B, C At D. Ang determinant ng sistemang ito ay magiging katumbas ng zero (sa ilalim lamang ng kundisyong ito ang isang sistema ng linear homogeneous equation ay may mga non-zero na solusyon) kung ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay nasiyahan:

. (2.13)

Ang expression (2.13) ay maaaring maging makabuluhang pinasimple kung ipagpalagay natin na ang lapad ng hadlang ay nagiging zero. , at ang taas nito ay napupunta sa infinity , ngunit sa paraang ang produkto U 0 b nagpatuloy pa rin . Sa ilalim ng mga kundisyong ito, ang expression (2.13) ay binago sa anyo:

, (2.14)

saan

Dahil ang a- parameter na tinutukoy ng enerhiya E elektron, at k ay ang electron wave vector, pagkatapos ay ang expression (2.14) ay kumakatawan sa dependence E(k), ibig sabihin, ang relasyon sa pagpapakalat para sa isang electron sa isang kristal na sala-sala. Ang ugnayang pagpapakalat na ito ay maaaring isulat nang tahasan sa pamamagitan ng paglutas ng equation (2.14) para saasa isang nakapirming halaga ng parameter p.

2.5. Mga zone ng enerhiya sa modelong Kronig-Penney

Hanapin natin sa tahasang anyo ang ugnayan ng pagpapakalat para sa isang elektron sa isang panaka-nakang patlang na kristal. Pagsusuri ng expression (2.14) nalaman namin na ang wave number k ay maaaring maging totoo lamang sa ilalim ng kondisyon na ang mga halaga ng kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito ay nasa hanay mula -1 hanggang +1. Depende sa kaliwang bahagi ng equation (2.14) sa a para sa parameter p= 2 ay ipinapakita sa Fig. 2.5. Ang mga may kulay na lugar ay tumutugma sa mga ipinagbabawal na halaga ng parameter a at, samakatuwid, ang enerhiya ng elektron sa kristal. Ang resulta na ito ay nakuha lamang sa batayan ng teorama ni Bloch, ang kundisyon ng pagkakalapat nito ay ang tanging kinakailangan para sa periodicity ng potensyal sa nakatigil na Schrödinger equation para sa isang electron sa isang kristal. kaya, ang pagkakaroon ng isang pana-panahong potensyal ay humahantong sa paglitaw ng mga agwat para sa enerhiya ng elektron kung saan walang solusyon sa alon na naaayon sa mga tunay na halaga ng numero ng electron wave. Ang resulta nito ay isang kahalili ng pinapayagan at ipinagbabawal na mga banda ng enerhiya para sa elektron sa kristal.

Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 2.6 ang dispersion relation para sa enerhiya ng isang electron sa isang kristal. Ito ay malinaw na ang pagtitiwala E(k) sumasailalim sa mga discontinuities sa mga punto kung saan atbp.

Kung ang parameter p = 0 , ayon sa pagkakapantay-pantay (2.14) At

Ang huling pagkakapantay-pantay ay tumutugma sa ugnayan ng pagpapakalat para sa isang libreng elektron. Sa Fig. 2.6 ang ugnayan ng pagpapakalat na ito ay inilalarawan ng isang putol-putol na linya.

Dahil, tulad ng binibigyang-diin sa itaas, ang lahat ng pisikal na nakikilalang mga halaga ng wave number ay nasa loob ng unang Brillouin zone, na sa one-dimensional na kaso ay limitado sa hanay ng mga halaga ng wave number mula sa dati , ipinapayong lumipat mula sa representasyon ng pinalawig na mga zone ng Brillouin (Larawan 2.6) patungo sa representasyon ng mga pinababang sonang Brillouin (Larawan 2.7). Mga function ng wave na tumutugma sa real k, ay maaaring itayo lamang para sa mga may kulay na rehiyon ng enerhiya ng elektron. Ang mga rehiyong ito ay kumakatawan sa mga pinapayagang zone ng enerhiya, na pinaghihiwalay sa bawat isa ng mga zone (gaps) ng mga ipinagbabawal na enerhiya.

Limitahan P ® ¥ nagbibigay ng isang discrete na serye ng mga antas

na tumutugma sa mga resulta na nakuha sa unang kabanata para sa isang particle sa isang one-dimensional na rectangular potential well (tingnan ang equation (1.34)). , para sa . Ang pisikal na katangian ng mga rupture ay nauugnay sa

pagmuni-muni ng mga electron wave mula sa mga atomic na eroplano ng isang kristal na sala-sala. Sa katunayan, ibinigay ang katotohanan na , isang kondisyon kung saan nagkakaroon ng discontinuity ng function E(k), ay maaaring isulat bilang , na kasabay ng kondisyon ng Wulf-Bragg sa isang anggulo ng saklaw ng mga alon na 90 0.

2.6. Pagpuno ng mga banda ng enerhiya ng mga electron.

Mga metal, dielectric at semiconductor

Ang mga solid ay nahahati sa mga metal, dielectric at semiconductors pangunahin na batay sa kanilang electrical conductivity. Para sa karaniwang mga metal ang halagang ito ay 10 8 ...10 6 (Ohm m) -1 . Sa dielectrics, ang electrical conductivity ay bale-wala: s< 10 -8 (Ом m) -1 . Para sa mahusay na dielectrics, ang tiyak na electrical conductivity ay umabot sa 10 -11 (Ohm m) -1 . Ang mga solid na may intermediate electrical conductivity ay inuri bilang semiconductor. Ito ay lumiliko na ang gayong malalaking pagkakaiba sa mga de-koryenteng katangian ng mga solid ay nauugnay sa istraktura at antas ng pagpuno ng mga banda ng enerhiya sa mga katawan na ito na may mga electron.

Sa kabila ng katotohanan na ang mga banda ng enerhiya ay parang tuluy-tuloy, binubuo sila ng napakalaki ngunit may hangganang bilang ng mga antas ng enerhiya. Ang bilang ng mga antas na ito ay tinutukoy ng bilang ng mga atomo N na pinagsama sa isang kristal at ang orbital na quantum number l:

(2.15)

Sa bawat sona ng enerhiya, alinsunod sa prinsipyo ng Pauli, hindi hihigit sa 2(2 l+ 1) mga electron - dalawa na may magkasalungat na pag-ikot sa bawat antas. Ang bilang ng mga electron sa isang kristal ay may hangganan din at depende sa bilang ng mga atomo N, at sa bilang ng mga electron sa atom. Dahil ang mga electron ay may posibilidad na sumasakop sa mga antas ng enerhiya na may pinakamababang enerhiya, ang mas mababang mga sona ng enerhiya sa kristal ay ganap na napuno, at ang mga nasa itaas ay maaaring bahagyang napuno o ganap na walang laman.

Ang isang bahagyang napunong zone ay bumubuo, halimbawa, malapit sa isang sodium crystal. Ang elementong ito ay ganap na napuno ng 1s, 2s at 2p na antas, na naglalaman ng kabuuang 10 electron. Sa isang kristal na Na, ang katumbas na 1s, 2s at 2p band ay ganap ding mapupuno. Ang ikalabing-isang valence electron sa Na atom ay matatagpuan sa 3s level, na kayang tumanggap ng 2 electron. Dahil dito, ang 3s band ng crystalline sodium ay mapupuno lamang ng kalahati. Ang istraktura ng banda ng Na ay ipinapakita sa Fig. 2.8a. Ang mga electron-filled na banda at bahagi ng 3s band ay may kulay. E g - banda gap.

Kadalasan ang isang bahagyang napunong zone ay nagreresulta mula sa overlap ng isang ganap na napuno na sona sa susunod na ganap na walang laman. Ang isang halimbawa ng naturang istraktura ng banda ay ipinapakita sa Fig. 2.8b para sa beryllium, kung saan nagsasapawan ang napunong 2s at libreng 2p band.

Ang isang malaking grupo ay binubuo ng mga kristal kung saan ang mga ganap na walang laman na zone ay matatagpuan sa itaas ng ganap na napuno na mga zone, at ang lapad ng band gap ay nag-iiba mula sa ilang sampu ng electron volts hanggang sa ilang electron volts. Ang mga karaniwang halimbawa ng pangkat na ito ng mga kristal ay ipinapakita sa Fig. 2.8, c, d. Ito ay carbon sa diamond modification at silicon.

Ang istraktura ng mga banda ng enerhiya ng isang kristal ay may mapagpasyang impluwensya sa halaga ng electrical conductivity nito. Dahil ang electric current ay ang direksyon ng paggalaw ng mga singil (sa mga metal - mga electron), ang paglitaw ng electric current ay nauugnay sa isang pagtaas sa momentum ng mga electron kasama ang direksyon ng puwersa na kumikilos dito. Kasama ng momentum ng electron, nagbabago ang wave vector nito. Dahil ang enerhiya at wave vector ng isang electron ay dalawang magkakaugnay na dami, ang ugnayan sa pagitan ng kung saan ay tinutukoy ng dispersion relation, ang pagtaas ng wave number ay dapat na sinamahan ng pagtaas ng electron energy. Hindi mahirap tantiyahin kung ano ang pagtaas ng enerhiya ng elektron dahil sa acceleration nito sa isang electric field, na nagiging sanhi ng electric current sa mga conductor. Kung ang lakas ng electric field ay 10 4 V/m, pagkatapos ay sa layo na katumbas ng ibig sabihin ng libreng landas ng isang electron sa isang kristal, na karaniwang ~10 -8 m, ang electron ay nakakakuha ng enerhiya na humigit-kumulang 10 -4 eV. Malinaw na ang mga halaga ng enerhiya na ito ay nagpapahintulot sa isang elektron na lumipat mula sa antas hanggang sa antas lamang sa loob ng isang banda ng enerhiya. Para sa paglipat sa pagitan ng mga banda, kinakailangan ang enerhiya na mas malaki kaysa sa band gap na E g, na, gaya ng nabanggit sa itaas, ay 0.1 ... 10 eV.

Ang mga pagsasaalang-alang na ito ay humantong sa konklusyon na para sa mga katawan na magpakita ng mataas na kondaktibiti, kinakailangan na ang kanilang spectrum ng enerhiya ay naglalaman ng mga zone na bahagyang napuno. Ang mga electron na nagpapataas ng kanilang enerhiya sa ilalim ng impluwensya ng isang panlabas na electric field ay maaaring lumipat sa mga libreng antas ng mga zone na ito (Larawan 2.9). Samakatuwid, ang mga katawan na may bahagyang napuno na mga sona ng enerhiya ay mga konduktor. Ang mga partially filled zone ay mayroong lahat mga metal.

Ngayon isaalang-alang natin ang mga kristal na ang itaas na banda ng enerhiya ay ganap na puno ng mga electron (Larawan 2.8, c, d). Ang isang panlabas na electric field ay hindi maaaring baguhin ang likas na katangian ng paggalaw ng mga electron, dahil hindi nito kayang iangat ang mga electron sa nakapatong na libreng zone. Sa loob ng ganap na napunong zone mismo, na hindi naglalaman ng isang solong libreng antas, maaari lamang itong maging sanhi ng muling pagsasaayos ng mga electron, na hindi lumalabag sa simetrya ng kanilang pamamahagi ng bilis. Hindi ito humahantong sa pagbuo ng electric current sa naturang mga kristal.

Kaya, ang mga solid na may mga banda ng enerhiya na ganap na puno ng mga electron ay hindi konduktor. Batay sa kanilang banda gap, ang mga nonconductor ay nahahati sa dielectrics At semiconductor.

Kasama sa mga dielectric ang mga katawan na may medyo malawak na agwat ng banda. Para sa mga karaniwang dielectric, E g > 3 eV. Kaya, para sa brilyante E g = 5.2 eV; para sa boron nitride E g = 4.6 eV; para sa Al 2 O 3 E g = 7 eV.

Ang mga karaniwang semiconductor ay may band gap na mas mababa sa 3 eV. Halimbawa, para sa germanium E g = 0.66 eV; para sa silikon E g = 1.12 eV; para sa indium antimonide E g = 0.17 eV.

Ang upper filled zone ng semiconductors at dielectrics ay tinatawag bandang valence, ang libreng zone na sumusunod dito ay tinatawag conduction zone. Sa mga metal, ang bahagyang napuno na banda ay tinatawag na parehong valence band at ang conduction band.

2.7. Epektibong masa ng isang electron sa isang kristal at ang pisikal na kahulugan nito

Ang mga kakaiba ng paggalaw ng mga electron sa isang kristal ay tinutukoy ng kanilang pakikipag-ugnayan sa kristal na sala-sala. Ito ay lumiliko na ang paggalaw ng isang indibidwal na elektron sa isang kristal ay maaaring ilarawan ng parehong equation tulad ng para sa isang libreng particle, i.e. sa anyo ng pangalawang batas ni Newton, na isinasaalang-alang lamang ang mga puwersang panlabas sa kristal.

Isaalang-alang natin ang paggalaw ng isang electron sa isang kristal sa ilalim ng impluwensya ng isang panlabas na electric field. Ang isang panlabas na electric field ay humahantong sa isang pagtaas sa bilis ng elektron at, dahil dito, ang enerhiya nito. Dahil ang isang electron sa isang kristal ay isang microparticle na inilarawan ng isang function ng wave, ang enerhiya ng electron ay nakasalalay sa wave vector nito. Ang ugnayan sa pagitan ng dalawang katangiang ito ng isang elektron sa isang kristal ay tinutukoy ng ugnayan ng pagpapakalat, na kung saan ay nakasalalay sa istraktura ng mga banda ng enerhiya. Samakatuwid, kapag kinakalkula ang paggalaw ng isang elektron sa isang kristal, kinakailangan na magpatuloy mula sa batas ng pagpapakalat.

Ang isang libreng electron ay inilalarawan ng isang monochromatic de Broglie wave at ang electron sa estadong ito ay hindi naisalokal kahit saan. Sa isang kristal, ang isang elektron ay dapat ihambing pangkat de Broglie waves na may iba't ibang frequency w at mga wave vector k. Ang gitna ng naturang grupo ng mga alon ay gumagalaw sa kalawakan na may bilis ng grupo

Ang bilis ng pangkat na ito ay tumutugma sa bilis ng paggalaw ng elektron sa kristal.

Lutasin natin ang problema ng electron motion para sa one-dimensional case. Pagtaas ng enerhiya ng elektron dE sa ilalim ng impluwensya ng panlabas na puwersa F katumbas ng gawaing elementarya dA, na nagagawa ng isang panlabas na puwersa sa isang napakaliit na yugto ng panahon dt:

(2.16)

Isinasaalang-alang iyon para sa isang elektron bilang isang microparticle , mayroon kaming sumusunod na expression para sa bilis ng pangkat

Ang pagpapalit ng resultang expression para sa bilis ng pangkat sa formula (2.16), nakuha namin

Mula rito

Ang pagpapalawak ng resultang ito sa three-dimensional na kaso, nakuha namin ang pagkakapantay-pantay ng vector

(2.17)

Tulad ng makikita mula sa pagkakapantay-pantay na ito, ang dami ћ kpara sa isang electron sa isang kristal ay nagbabago sa paglipas ng panahon sa ilalim ng impluwensya ng isang panlabas na puwersa sa eksaktong parehong paraan tulad ng momentum ng isang particle sa klasikal na mekanika Sa kabila nito, ћ kay hindi maaaring makilala sa momentum ng isang electron sa isang kristal, dahil ang mga bahagi ng vector k tinukoy hanggang sa pare-pareho ang mga tuntunin ng form (Dito a- parameter ng kristal na sala-sala, n i =1, 2, 3, ...). Gayunpaman, sa loob ng unang Brillouin zone ћ kay may lahat ng mga katangian ng isang salpok. Para sa kadahilanang ito, ang halaga ћ ktinawag parang salpok elektron sa isang kristal.

Kalkulahin natin ngayon ang acceleration a, nakuha ng isang elektron sa ilalim ng impluwensya ng isang panlabas na puwersa F. Limitahan natin ang ating sarili, tulad ng sa nakaraang kaso, sa isang one-dimensional na problema. Pagkatapos

Kapag kinakalkula ang acceleration, isinasaalang-alang na ang enerhiya ng elektron ay isang function ng oras. Isinasaalang-alang na , nakukuha namin

(2.18)

Ang paghahambing ng expression (2.18) sa pangalawang batas ni Newton, makikita natin na ang electron

sa isang kristal ito ay gumagalaw sa ilalim ng impluwensya ng isang panlabas na puwersa sa parehong paraan tulad ng isang libreng elektron ay gumagalaw sa ilalim ng impluwensya ng parehong puwersa kung ito ay may masa

(2.19)

Sukat m*tawag epektibong masa ng isang elektron sa isang kristal .

Sa mahigpit na pagsasalita, ang mabisang masa ng isang elektron ay walang kinalaman sa masa ng isang libreng elektron. Siya nga pala katangian ng sistema ng elektron sa kristal sa kabuuan. Ipinapakilala ang konsepto ng epektibong masa, inihambing namin sa isang tunay na elektron sa isang kristal, na nakatali sa mga pakikipag-ugnayan sa kristal na sala-sala at iba pang mga electron, isang tiyak na bagong libreng "microarticle" na mayroon lamang dalawang pisikal na mga parameter ng isang tunay na elektron - ang singil at pag-ikot nito . Lahat ng iba pang mga parameter - quasi-momentum, epektibong masa, kinetic energy, atbp. - tinutukoy ng mga katangian ng kristal na sala-sala. Ang particle na ito ay madalas na tinatawag parang electron , electron-quasiparticle , negatibong charge carrier o n-type charge carrier upang bigyang-diin ang pagkakaiba nito mula sa isang tunay na elektron.

Ang mga tampok ng epektibong masa ng elektron ay nauugnay sa uri ng pagpapakalat na relasyon ng elektron sa kristal (Larawan 2.10). Para sa mga electron na matatagpuan sa ilalim ng energy band, ang dispersion relation ay maaaring humigit-kumulang na inilarawan ng parabolic law.

Pangalawang derivative , samakatuwid, ang epektibong masa ay positibo. Ang ganitong mga electron ay kumikilos sa isang panlabas na electric field tulad ng mga libreng electron: sila ay pinabilis sa ilalim ng impluwensya ng isang panlabas na electric field. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga electron at libre ay ang kanilang epektibong masa ay maaaring mag-iba nang malaki mula sa masa ng isang libreng elektron. Para sa maraming mga metal, kung saan ang konsentrasyon ng mga electron sa isang bahagyang napuno na zone ay mababa at sila ay matatagpuan malapit sa ilalim nito, ang mga conduction electron ay kumikilos sa katulad na paraan. Kung, bukod dito, ang mga electron na ito ay mahinang nakagapos sa kristal, kung gayon ang kanilang epektibong masa ay bahagyang naiiba sa natitirang masa ng isang tunay na elektron.

Para sa mga electron na matatagpuan sa tuktok ng energy band (Fig. 2.10), ang dispersion relation ay maaaring humigit-kumulang na inilarawan ng isang parabola ng form.

at ang mabisang masa ay negatibong dami. Ang pag-uugali na ito ng epektibong masa ng isang electron ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na sa panahon ng paggalaw nito sa isang kristal na ito ay hindi lamang ang kinetic energy ng translational motion. E k, ngunit din ang potensyal na enerhiya ng pakikipag-ugnayan nito sa kristal na sala-sala U. Samakatuwid bahagi ng trabaho A ang panlabas na puwersa ay maaaring maging kinetic energy at baguhin ito sa damiDE sa, ang iba pang bahagi - sa potensyalDU:

Kung, kapag gumagalaw ang isang elektron, hindi lamang ang buong gawain ng isang panlabas na puwersa, kundi pati na rin ang bahagi ng kinetic energy na magagamit ng elektron ay na-convert sa potensyal na enerhiya (DE sa < 0 ), pagkatapos ay bababa ang bilis nito. Sa kasong ito, ang elektron ay kumikilos tulad ng isang butil na may negatibong epektibong masa. Sa kaso kapag ang lahat ng gawain ng isang panlabas na puwersa ay na-convert sa potensyal na enerhiya (DEk = 0), pagkatapos ay walang pagtaas sa kinetic energy at bilis. Ang isang elektron ay kumikilos tulad ng isang butil na may walang katapusang malaking epektibong masa.Ang isang elektron ay may walang katapusang malaking epektibong masa sa mga inflection point ng dispersion curve, na ipinapakita sa Fig. Ang 2.10 ay ipinahiwatig ng mga putol-putol na linya. Ang pag-asa ng epektibong masa ng isang elektron sa numero ng alon nito ay ipinapakita sa eskematiko sa Fig. 2.11.

2.8. Pagmamay-ari na semiconductors. Ang konsepto ng mga butas

Mula sa istraktura ng mga banda ng enerhiya ng mga semiconductor ay sumusunod na sa ganap na zero ay hindi sila nagsasagawa ng electric current. Ang pag-init ng mga ito ay humahantong sa katotohanan na ang ilan sa mga electron sa valence band ay nakakakuha ng sapat na enerhiya para sa kanilang paglipat sa conduction band, bilang isang resulta kung saan lumilitaw ang kapansin-pansin na kondaktibiti ng kuryente. Sa pagtaas ng temperatura, ang bilang ng mga electron sa conduction band ay tumataas at, sa parehong oras, ang electrical conductivity ng semiconductor ay tumataas. Ang thermal excitation ng conduction electron ay inilalarawan sa Fig. 2.12. E s At E v tukuyin ang ibaba ng conduction band at ang tuktok ng valence band, ayon sa pagkakabanggit. Bilang karagdagan sa temperatura, ang paggulo ng mga electron ng pagpapadaloy ay maaari ding mangyari sa ilalim ng impluwensya ng iba pang mga kadahilanan na maaaring magbigay ng enerhiya sa mga electron na sapat para sa kanilang paglipat sa banda ng pagpapadaloy. Ang mga salik na ito ay maaaring maging light exposure, ionizing radiation, atbp.

Ang mekanismo para sa paglitaw ng electrical conductivity sa semiconductor crystals na tinalakay sa itaas ay wasto para sa ganap na purong mga materyales na hindi naglalaman ng mga impurities na nakakaapekto sa electrical conductivity. Ang ganitong mga semiconductor ay tinatawag sariling, at ang kanilang electrical conductivity sariling electrical conductivity. Kasama sa mga intrinsic semiconductors ang mga kristal ng purong kemikal na elemento tulad ng germanium (Ge), silicon (Si), selenium (Se), tellurium (Te), atbp., pati na rin ang ilang mga kemikal na compound: gallium arsenide (GaAs), indium arsenide (InAs ), indium antimonide (InSb), silicon carbide (SiC) at marami pang iba.
Ipinapakita ng Seksyon 2.8 na ang mga electron na matatagpuan sa tuktok ng energy band ay may negatibong mabisang masa. Ito ang mga electron na ito, na matatagpuan sa tuktok ng valence band, na lumipat sa conduction band at lumahok sa electrical conductivity ng semiconductor. Ang bawat electron na dumaan sa conduction band ay tumutugma sa isang walang tao (bakante) na estado sa valence band, na tinatawag na butas kundisyon. Ang mga estado ng butas ay ipinapakita sa Fig. 2.12 na may magaan na bilog. Ang pagkakaroon ng mga bakante sa valence band ay nagpapahintulot sa mga electron ng banda na ito na baguhin ang kanilang estado ng enerhiya sa ilalim ng impluwensya ng isang panlabas na electric field. Isaalang-alang natin ang prosesong ito nang mas detalyado gamit ang halimbawa ng isang kristal kung saan mayroong isang bakanteng estado. Sa kawalan ng isang electric field, ang estado na ito ay nasa tuktok ng zone, dahil ang mga electron ay may posibilidad na hanapin ang kanilang mga sarili sa mga antas na may pinakamababang enerhiya (Larawan 2.13a). Ang mga estado na inookupahan ng mga electron ay ipinapakita sa Fig. 2.13 puntos at matatagpuan sa dispersion curve na naglalarawan ng pag-asa ng electron energy sa wave vector componentk x . Sa tuktok ng energy band, ang curve na ito ay tinatayang inilalarawan ng isang parabola. Kung ang isang panlabas na electric field ay inilapat sa isang semiconductor E(para sa katiyakan, hayaan itong idirekta sa positibong direksyon ng axis X, bigas. 2.13,b), pagkatapos ay para sa bawat elektron X-wave vector component k x sabay-sabay na makakatanggap ng negatibong pagtaas. Ang konklusyong ito ay sumusunod mula sa equation ng paggalaw, na pareho para sa bawat elektron:

. (2.20)

Dahil dito, ang mga electron ng valence band ay lilipat sa direksyon na ipinahiwatig ng arrow sa Fig. 2.13, b. Ang bakanteng estado bilang resulta ng paggalaw na ito ng mga electron ay unang lilipat sa punto E, at pagkatapos - sa punto D atbp. Kaya, ang sunud-sunod na paggalaw ng mga electron sa mga antas ng enerhiya sa ilalim ng impluwensya ng isang electric field ay katumbas ng paggalaw ng isang bakanteng estado. Ang isang quantum state na hindi inookupahan ng isang electron sa energy band ay tinatawag butas . Ang kabuuang wave vector ng mga electron sa isang ganap na puno ng energy band ay katumbas ng zero, dahil ang dispersion curve ay simetriko tungkol sa punto k= 0 at bawat elektron na may wave vector k palaging mayroong isang electron na may wave vector ng kabaligtaran na tanda- k. Kung mula sa isang estado na may wave vector k e electron ay tinanggal, pagkatapos ay ang kabuuang wave vector ng system ay magiging katumbas ng- k e . Kaya, ang butas ay dapat italaga ng wave vector

. (2.21)

Isinasaalang-alang ang (2.20) at (2.21), ang equation ng paggalaw ng butas ay magkakaroon ng anyo

. (2.22)

Ito ang equation ng paggalaw positibo singilin sa isang electric field. Dahil ang butas ay gumagalaw sa direksyon ng puwersa na kumikilos dito, dapat italaga ang particle na ito positibo epektibong masa, katumbas ng ganap na halaga sa negatibong epektibong masa ng electron na umalis sa bakanteng estado sa tuktok ng valence band.

Kalkulahin natin ang kasalukuyang nilikha ng mga electron ng isang ganap na napuno na banda ng enerhiya. Kontribusyon sa kasalukuyang density mula sa isang elektron na gumagalaw sa bilis v j ay pantay

Ang kasalukuyang ng lahat ng mga electron sa valence band ay katumbas ng kabuuan ng mga alon ng mga indibidwal na electron:

Ang pagsusuma ay ginaganap sa lahat ng estado na inookupahan ng mga electron. Dahil simetriko ang mga curve ng dispersion, para sa bawat electron na may non-zero velocity sa positibong direksyon, palaging mayroong electron na may katumbas na absolute value, ngunit kabaligtaran ang direksyon ng velocity. Dahil dito, ang kasalukuyang nilikha ng mga electron ng isang ganap na napuno na zone ay magiging katumbas ng zero.

Kung ang lahat ng mga estado ay inookupahan sa valence band maliban sa isa, na nailalarawan sa pamamagitan ng wave vector k s at bilis v s(Larawan 2.13d), kung gayon ang kabuuang kasalukuyang density sa kasong ito ay maaaring katawanin sa sumusunod na anyo:

Isinasaalang-alang ng formula na ito na ang unang termino, dahil sa simetrya ng mga estado ng elektron, ay katumbas ng zero.

Kaya, ang paggalaw ng mga electron sa valence band, kung saan mayroong isang bakanteng estado, ay katumbas ng paggalaw ng isang particle na may positibong mabisang masa at isang positibong electric charge na inilagay sa estadong ito.

2.9. Impurity semiconductors

Ang mga tunay na kristal na semiconductor ay laging naglalaman, kahit na sa maliit na dami, mga depekto at mga dumi, na ang ilan ay may malaking epekto sa kanilang electrical conductivity. Halimbawa, ang pagdaragdag ng boron sa silicon sa halagang isang atom sa bawat 10 5 silicon atoms ay nagpapataas ng electrical conductivity nito sa room temperature ng 1000 beses. Ang mga semiconductor na naglalaman ng mga impurities na makabuluhang nakakaapekto sa electrical conductivity nito ay tinatawag impurity semiconductors, at ang kanilang electrical conductivity - impurity electrical conductivity.

Isaalang-alang natin ang mekanismo ng kondaktibiti ng karumihan gamit ang halimbawa ng isang semiconductor na silikon na kristal na may mga atomo ng posporus na karumihan. Sa isang chemically pure crystal, apat na valence electron ng silicon ang bumubuo ng mga covalent bond sa kanilang apat na pinakamalapit na kapitbahay (Fig. 2.14a). Pinapalitan ng impurity phosphorus atom ang isa sa mga silicon atoms sa isang site ng crystal lattice. Ang phosphorus atom ay may limang valence electron, apat sa mga ito ay nagpapanatili ng mga bono sa mga kalapit na atomo ng silikon, at ang ikalima ay nananatiling libre (Larawan 2.14b). Ang sobrang elektron na ito ay maaaring lumipat sa conduction band ng silikon at "lumahok" sa paglikha ng isang electric current. Ang mga impurities na nagbibigay ng karagdagang mga electron sa conduction band ay tinatawag mga dumi ng donor, at mga semiconductor na may ganitong mga dumi - donor semiconductor o n-type na mga semiconductor. Ang pinakakaraniwang donor impurities sa silicon at germanium crystals ay mga atomo ng ikalimang pangkat ng periodic table ng mga elemento ng D.I. Mendeleev: phosphorus (P), arsenic (As), antimony (Sb), bismuth (Bi). Ang enerhiya na dapat gamitin upang ilipat ang isang electron mula sa isang impurity donor atom patungo sa conduction band ay tinatawag nagbubuklod na enerhiya ng karumihan ng donor. Ang nagbubuklod na enerhiya ng isang donor impurity ay maaaring matantya mula sa isang simpleng modelo na katulad ng Bohr model ng hydrogen atom. Ayon sa modelong ito, ang isang impurity electron ay gumagalaw sa isang circular orbit sa Coulomb force field ng phosphorus ion, katulad ng isang electron sa field ng nucleus ng isang hydrogen atom. Ang pagkakaiba ay ang larangan ng impurity ion ay pinahina ng mga dielectric na katangian ng semiconductor crystal. Ang impluwensyang ito ay isinasaalang-alang ng dielectric constant ng medium, na para sa tipikal na semiconductors ay 5 ... 2000. Kinakailangan din na isaalang-alang ang katotohanan na ang epektibong masa ng isang elektron sa isang kristal ay naiiba sa masa ng isang libreng elektron. Para sa mga quantitative estima, gagamitin namin ang mga resultang nakuha sa teorya ni Bohr para sa hydrogen atom. Ang nagbubuklod na enerhiya ng isang electron sa isang hydrogen atom ay . Isinasaalang-alang ang dielectric constant ng semiconductoreat pinapalitan ang masa ng libreng elektron m sa mabisang masa nito sa kristal m*, nakukuha namin ang sumusunod na expression para sa ionization energy ng donor impurity:

. (2.23)

Ang enerhiya ng ionization ng isang libreng hydrogen atom ay 13.6 eV. Alinsunod sa formula (2.23), ang halagang ito ay dapat na i-multiply sa coefficient , para makuha ang halaga E d. Sa silikon e = 11.7; m*/m » 0.2. Bilang resulta nakukuha namin E d » 0.02 eV.

Ang pang-eksperimentong halaga ng enerhiya ng ionization ng phosphorus sa silicon ay 0.044 eV. Ang iba pang mga donor impurities sa silicon at germanium ay may ionization energies ng parehong pagkakasunud-sunod ng magnitude (tingnan ang talahanayan).

mesa

mga dumi	Enerhiya ng ionization, eV
	Germanium	Silicon
Mga donor
	0,0120	0,044
	0,0127	0,049
	0,0096	0,039
		0,069
Mga Acceptor
	0,0104	0,045
	0,0102	0,057
	0,0108	0,065
	0,0112	0,16

Mula sa punto ng view ng teorya ng banda, ang isang impurity phosphorus atom ay tumutugma sa isang lokal na antas ng enerhiya na matatagpuan sa band gap ng silikon sa pamamagitan ng halaga. E d sa ibaba ng ilalim ng banda ng pagpapadaloy (Larawan 2.14, c). Dahil ang mga antas na ito ay naisalokal malapit sa mga atomo ng karumihan, inilalarawan ang mga ito bilang mga putol-putol na linya sa diagram ng banda.

Iba ang pag-uugali ng mga impurity atoms ng mga elemento ng ikatlong pangkat ng periodic system ng mga elemento, tulad ng B, Al, Ga, In. Halimbawa, ang pagpapalit ng isang Si atom sa isang silicon na sala-sala ng isang boron atom ay nagreresulta sa isa sa mga bono na nananatiling hindi napuno. Ang bono na ito ay maaaring maibalik kung ang boron atom ay "kumuha" ng isang elektron mula sa valence band ng silikon, na bumubuo (Larawan 2.15, a) ng isang butas dito. Sa band diagram, tumutugma ito sa hitsura ng mga lokal na antas ng karumihan sa band gap ng silicon malapit sa tuktok ng valence band. Ang antas na ito ay libre; ang mga electron mula sa valence band ng silikon ay maaaring lumipat dito. Ang mga butas na nabuo sa valence band ay mga carrier ng electric current sa ganitong uri ng impurity semiconductors.

Ang mga impurities na kumukuha ng mga electron mula sa valence band ng semiconductors ay tinatawag mga impurities ng acceptor, at ang mga antas ng enerhiya ng mga impurities na ito ay mga antas ng acceptor. Ang pagkakaiba sa pagitan ng enerhiya ng antas ng acceptor at ang enerhiya ng kisame ng conduction band E a ay tinatawag activation energy ng acceptor impurity. Semiconductor na naglalaman ng acceptor impurities ay tinatawag na acceptor semiconductors o mga semiconductor na uri ng p. Madalas silang tinatawag butas na semiconductor.

Ang pakikipag-ugnayan ng mga electron sa kristal na sala-sala ay napakasalimuot na ang direktang pagsasaalang-alang sa pakikipag-ugnayan na ito ay nagpapakita ng mga malubhang kahirapan. Gayunpaman, maaari silang ma-bypass sa pamamagitan ng pagpapakilala ng tinatawag na mabisang masa ng elektron m*.

Pag-uugnay ng masa sa isang elektron na matatagpuan sa isang kristal m*, maaari nating ituring itong libre. Sa kasong ito, ang paggalaw nito sa kristal ay maaaring ilarawan nang katulad ng paggalaw ng isang libreng elektron. Pagkakaiba sa pagitan ng m* At m ay sanhi ng pakikipag-ugnayan ng isang electron sa periodic field ng crystal lattice. Sa pamamagitan ng pagtatalaga ng isang epektibong masa sa isang elektron, isinasaalang-alang namin ang pakikipag-ugnayang ito.

Magsagawa tayo ng graphical-analytical analysis ng pag-uugali ng isang electron sa loob ng kakaibang pinapayagang energy band para sa isang one-dimensional na kristal.

Sa Fig. ibinibigay ang dispersion dependence ( E=f(k)) para sa isang elektron. Sa kasong isinasaalang-alang, maaari itong katawanin ng isang function na katulad ng . Sa Fig. nagpapakita ng pag-asa ng bilis ng elektron sa numero ng alon ( v~dE/dk ). Ang graph nito ay madaling mabuo kung naaalala mo ang geometric na kahulugan ng unang derivative. Sa mga punto -p/A, 0, p/A bilis v = 0. Sa mga punto - p/2a At p/2a ang bilis ay maximum sa unang kaso v <0 во втором v >0. Nakukuha namin ang iskedyul v~dE / dk , katulad ng isang segment ng isang sinusoid. Graph sa Fig. w ~ d 2 E / dk 2 ay itinayo sa katulad na paraan, dahil kinakatawan nito ang unang derivative ng graph sa Fig.

Ngayon ang graph sa Fig., na nagpapakita ng epektibong masa ng electron:

Sa k= 0 na halaga d 2 E / dk 2 ay maximum at positibo, kaya ang epektibong masa m* minimal at >0. Habang tumataas ang ganap na halaga k tumataas ang epektibong masa habang nananatiling positibo. Nang lumalapit k sa mga puntos -p/2a At p/2a magnitude d 2 E/dk 2 ay positibo at bumababa sa zero. Samakatuwid ang mabisang masa m* may posibilidad na +¥ at sa mga punto -p/2a At p/2a sumasailalim sa isang rupture.

Sa mga punto -p/A At p/A magnitude d 2 E / dk 2 sa ganap na halaga ito ay pinakamataas at negatibo. Samakatuwid, sa mga gilid ng Brillouin zone, sa tuktok ng energy zone sa kaso na isinasaalang-alang, ang epektibong masa ng electron m* minimal at negatibo. Habang bumababa ang absolute value k magnitude m* tumataas ang ganap na halaga habang nananatiling negatibo. Nang lumalapit k sa mga puntos -p/2a At p/2a function m* = f( k) may posibilidad na -¥, iyon ay, ito ay sumasailalim sa isang discontinuity.

Ang resultang graph ay nagpapahiwatig na ang epektibong masa ng electron ay nasa ilalim ng energy band m* minimal at positibo. Ang ganitong mga electron, sa ilalim ng naaangkop na mga kondisyon, ay tumutugon sa isang panlabas na electric field at bumibilis sa direksyon na kabaligtaran sa vector ng lakas ng field (Larawan 3.10). Habang tumataas ang enerhiya ng elektron at ito ay gumagalaw patungo sa gitna ng pinapayagang banda ng enerhiya, ang halaga m* tumataas at humihina ang tugon nito sa electric field. Kung ang isang electron ay nasa gitna ng energy band, ang mabisang masa nito ay may posibilidad na infinity, ang naturang electron ay hindi tutugon sa isang panlabas na electric field.

Sa solid state physics, ang epektibong masa ng isang particle ay ang dynamic na masa na lumilitaw kapag ang particle ay gumagalaw sa pana-panahong potensyal ng isang kristal. Maipapakita na ang mga electron at butas sa isang kristal ay tumutugon sa isang electric field na parang malayang gumagalaw sa isang vacuum, ngunit may isang tiyak na mabisang masa, na karaniwang tinutukoy sa mga yunit ng electron rest mass me (9.11 × 10− 31 kg). Ito ay naiiba sa natitirang masa ng elektron. Ang mabisang masa ay natutukoy sa pamamagitan ng pagkakatulad sa ikalawang batas ni Newton, gamit ang quantum mechanics maipapakita na para sa isang electron sa isang panlabas na electric field E: kung saan ang a ay ang acceleration, ay ang pare-pareho ng Planck, ang k ay ang wave vector, na tinutukoy mula sa momentum bilang k =, ε(k) ay ang dispersion law na nag-uugnay ng enerhiya sa wave vector k. Sa pagkakaroon ng isang electric field, ang isang puwersa ay ibinibigay sa elektron, kung saan ang singil ay tinutukoy ng q. Mula dito makakakuha tayo ng isang expression para sa epektibong masa m *:

Para sa isang libreng butil, ang batas ng pagpapakalat ay parisukat, at sa gayon ang epektibong masa ay pare-pareho at katumbas ng natitirang masa. Sa isang kristal ang sitwasyon ay mas kumplikado at ang batas ng pagpapakalat ay naiiba sa parisukat. Sa kasong ito, tanging sa sukdulan ng curve ng dispersion law, kung saan ito ay maaaring tantiyahin ng isang parabola, magagamit ang konsepto ng masa. Ang epektibong masa ay nakasalalay sa direksyon sa kristal at, sa pangkalahatan, isang tensor. Ang epektibong mass tensor ay isang termino sa solid state physics na nagpapakilala sa kumplikadong katangian ng epektibong masa ng isang quasiparticle (electron, hole) sa isang solid. Ang likas na katangian ng tensor ng epektibong masa ay inilalarawan ng katotohanan na sa isang kristal na sala-sala ang isang elektron ay gumagalaw hindi bilang isang particle na may mass ng pahinga, ngunit bilang isang quasiparticle na ang masa ay nakasalalay sa direksyon ng paggalaw na may kaugnayan sa mga crystallographic axes ng kristal. Ang epektibong masa ay ipinakilala kapag mayroong isang parabolic dispersion law, kung hindi man ang masa ay magsisimulang umasa sa enerhiya. Sa bagay na ito, posible ang isang negatibong epektibong masa. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang mabisang masa ay matatagpuan mula sa dispersion law. Nasaan ang wave vector, ang simbolo ng Kronecker, at ang pare-pareho ng Planck. Elektron. Ang isang electron ay isang matatag, negatibong sisingilin ng elementarya, isa sa mga pangunahing istrukturang yunit ng bagay. Ito ay isang fermion (ibig sabihin, mayroon itong half-integer spin). Tumutukoy sa mga lepton (ang tanging matatag na particle sa mga naka-charge na lepton). Binubuo ng mga electron ang mga electronic shell ng mga atomo, kung saan tinutukoy ng kanilang numero at posisyon ang halos lahat ng mga kemikal na katangian ng mga sangkap. Ang paggalaw ng mga libreng electron ay nagdudulot ng mga phenomena tulad ng electric current sa conductors at vacuum. Electron bilang isang quasiparticle. Kung ang isang electron ay nasa isang pana-panahong potensyal, ang paggalaw nito ay itinuturing na paggalaw ng isang quasiparticle. Ang mga estado nito ay inilalarawan ng isang quasi-wave vector. Ang pangunahing dynamic na katangian sa kaso ng isang quadratic dispersion law ay ang epektibong masa, na maaaring mag-iba nang malaki mula sa masa ng isang libreng electron at sa pangkalahatang kaso ay isang tensor. Mga Katangian Ang singil ng isang elektron ay hindi mahahati at katumbas ng −1.602176487(40)×10−19 Klkg ay ang masa ng elektron.Ang Kl ay ang singil ng elektron. Ang C/kg ay ang tiyak na singil ng isang elektron. electron spin in units Ayon sa mga modernong konsepto ng elementarya na particle physics, ang electron ay hindi mahahati at walang istruktura (kahit sa mga distansyang 10−17 cm). Ang electron ay nakikilahok sa mahina, electromagnetic at gravitational na pakikipag-ugnayan. Ito ay kabilang sa pangkat ng mga lepton at (kasama ang antiparticle nito, ang positron) ang pinakamagaan sa mga sinisingil na lepton. Bago ang pagtuklas ng neutrino mass, ang electron ay itinuturing na pinakamagaan sa napakalaking particle - ang masa nito ay humigit-kumulang 1836 beses na mas mababa kaysa sa masa ng proton. Ang electron spin ay 1/2, at sa gayon ang electron ay isang fermion. Tulad ng anumang sisingilin na particle na may spin, ang isang electron ay may magnetic moment, at ang magnetic moment ay nahahati sa isang normal na bahagi at isang maanomalyang magnetic moment. Minsan ang parehong mga electron mismo at mga positron ay itinuturing na mga electron (halimbawa, isinasaalang-alang ang mga ito bilang isang pangkalahatang electron-positron field, isang solusyon sa Dirac equation). Sa kasong ito, ang negatibong sisingilin na elektron ay tinatawag na isang negatron, at ang positibong sisingilin na elektron ay tinatawag na isang positron. Ang pagiging nasa pana-panahong potensyal ng kristal, ang elektron ay itinuturing bilang isang quasiparticle, ang epektibong masa na maaaring mag-iba nang malaki mula sa masa ng elektron. Ang isang libreng elektron ay hindi maaaring sumipsip ng isang photon, bagaman maaari itong ikalat (tingnan ang Compton effect). butas. Ang isang butas ay isang quasiparticle, isang carrier ng isang positibong singil na katumbas ng elementarya na singil sa semiconductors. Kahulugan ayon sa GOST 22622-77: Isang unfilled valence bond, na nagpapakita ng sarili bilang isang positibong singil, ayon sa bilang na katumbas ng singil ng isang elektron. Ang konsepto ng isang butas ay ipinakilala sa teorya ng banda upang ilarawan ang mga electronic phenomena sa valence band, na hindi ganap na puno ng mga electron. Sa electronic spectrum ng valence band, madalas na lumilitaw ang ilang mga zone na naiiba sa epektibong posisyon ng masa at enerhiya (mga zone ng magaan at mabibigat na butas, zone ng mga split hole ng spin-orbit).