Paglutas ng halimbawa ng simplex simplex method. Simplex na paraan para sa paglutas ng mga problema sa linear programming
Layunin ng serbisyo... Online na calculator na ginagamit upang malutas ang mga problema sa linear programming P-paraan sa mga sumusunod na anyo ng notasyon: pangunahing notasyon ng simplex na paraan, sa anyo ng isang simplex na talahanayan, binagong simplex na paraan.
Mga tagubilin para sa paglutas ng mga problema dual simplex na pamamaraan... Piliin ang bilang ng mga variable at ang bilang ng mga linya (bilang ng mga hadlang), i-click ang Susunod. Ang resultang solusyon ay nai-save sa isang Word file. Bukod dito, ang mga paghihigpit ng uri x i ≥0 huwag magbilang.
Ang mga sumusunod ay ginagamit din sa calculator na ito:
Graphical na paraan para sa paglutas ng LPP
Solusyon sa problema sa transportasyon
Matrix na solusyon sa laro
Gamit ang serbisyo sa online, maaari mong matukoy ang presyo ng isang laro ng matrix (mababa at itaas na mga hangganan), suriin ang pagkakaroon ng isang saddle point, maghanap ng solusyon sa isang halo-halong diskarte gamit ang mga sumusunod na pamamaraan: minimax, simplex na pamamaraan, graphical (geometric) pamamaraan, pamamaraan ni Brown.
Extremum ng isang function ng dalawang variable
Mga problema sa dinamikong programming
Ipamahagi ang 5 homogenous lots ng mga kalakal sa pagitan ng tatlong pamilihan upang makuha ang pinakamataas na kita mula sa kanilang pagbebenta. Ang kita mula sa mga benta sa bawat merkado G (X) ay depende sa bilang ng mga naibentang maraming produkto X at ipinakita sa talahanayan.
| Dami ng mga kalakal X (sa mga lot) | Kita G (X) | ||
| 1 | 2 | 3 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 28 | 30 | 32 |
| 2 | 41 | 42 | 45 |
| 3 | 50 | 55 | 48 |
| 4 | 62 | 64 | 60 |
| 5 | 76 | 76 | 72 |
Sa P-paraan, ang pinakamainam na plano ay nakuha sa pamamagitan ng paglipat kasama ang pseudo-eroplano. Pseudoplane- isang plano kung saan nasiyahan ang mga kondisyon ng pinakamainam, at kabilang sa mga halaga ng mga pangunahing variable x i mayroong mga negatibong numero. Algorithm ng dual simplex na pamamaraan kasama ang mga sumusunod na hakbang:
- Pag-drawing ng isang pseudo plan... Ang sistema ng mga hadlang para sa orihinal na problema ay humahantong sa isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ng kahulugang "≤".
- Sinusuri ang plano para sa pinakamainam... Kung ang kondisyon ng pinakamainam ay hindi nasiyahan sa nakuha na reference plan, kung gayon ang problema ay malulutas sa pamamagitan ng simplex na paraan.
- Pagpili ng nangungunang row at column... Kabilang sa mga negatibong halaga ng mga pangunahing variable, ang pinakamalaki sa ganap na halaga ay pinili. Ang linya na tumutugma sa halagang ito ay ang nangunguna.
- Pagkalkula ng bagong baseline plan... Ang bagong disenyo ay nakuha sa pamamagitan ng muling pagkalkula ng simplex table gamit ang Jordan-Gauss method. Susunod, pumunta sa stage 2.
Algorithm ng dual simplex na pamamaraan
1) piliin ang linya ng pagresolba ayon sa pinakamalaki sa absolute value na negatibong elemento ng column ng mga libreng miyembro;
2) piliin ang permissive column ayon sa pinakamaliit na absolute value ng ratio ng mga elemento ng L row sa mga negatibong elemento ng permissive row;
3) muling kalkulahin ang talahanayan ng simplex ayon sa mga patakaran ng karaniwang paraan ng simplex;
4) ang solusyon ay nasuri para sa pinakamainam. Ang isang tanda ng pagkuha ng isang magagawa na pinakamainam na solusyon ay ang kawalan ng mga negatibong elemento sa hanay ng mga libreng termino.
Remarks
1. Kung walang mga negatibong elemento sa linya ng paglutas, ang problema ay hindi malulutas.
2. Kung ang mga hadlang ng problema ay ibinibigay sa pamamagitan ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng uri na "≥", ang dual simplex na pamamaraan ay nag-aalis ng pangangailangan na magpakilala ng mga artipisyal na variable.
Mga tampok ng dual simplex na paraan Ginagamit kapag nilulutas ng pamamaraang Gomori.
Halimbawa # 1. Lutasin ang problema gamit ang dual simplex method algorithm
L = x 1 + 4x 2 → min
2x 1 + 3x 2 + 4x 3 ≥ 20
5x 1 -x 2 + 2x 3 ≥ 12
x 1 + 2x 2 -x 3 ≤ 2
x 1 + 4x 2 -2x 3 ≤ 1
x 1, x 2, x 3 ≥ 0
Pinagsasama-sama ang orihinal na talahanayan ng simplex.
| Base. | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 | St. |
| x 4 | -2 | -3 | -4 | 1 | 0 | 0 | 0 | -20 |
| x 5 | -5 | 1 | -2 | 0 | 1 | 0 | 0 | -12 |
| x 6 | 1 | 2 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 2 |
| x 7 | -1 | 4 | -2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| L | -1 | -4 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Ang kawalan ng mga positibong pagsusuri sa hilera L ay nagpapahiwatig ng pinakamainam ng orihinal na solusyon, at ang pagkakaroon ng mga negatibong elemento sa hanay ng mga libreng termino ay nagpapahiwatig ng hindi pagkakatanggap nito. Ayon sa algorithm ng dual simplex na pamamaraan, pipiliin namin ang row ng paglutas batay sa pinakamalaking negatibong elemento sa column ng mga libreng elemento sa ganap na halaga. Sa aming halimbawa, ang linya ng paglutas ay ang una. Pinili ang permissive column alinsunod sa panuntunang itinakda sa clause 2 ng algorithm diagram. Ang elemento ng paglutas ay (-4). Pagkatapos ng muling pagkalkula, nakukuha namin ang sumusunod na talahanayan
| Base. | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 | St. |
| x 3 | 1/2 | 3/4 | 1 | -1/4 | 0 | 0 | 0 | 5 |
| x 5 | -4 | 5/2 | 0 | -1/2 | 1 | 0 | 0 | -2 |
| x 6 | 3/2 | 11/4 | 0 | -1/4 | 0 | 1 | 0 | 7 |
| x 7 | 0 | 11/2 | 0 | -1/2 | 0 | 0 | 1 | 11 |
| L | -1/2 | -13/4 | 0 | -1/4 | 0 | 0 | 0 | 5 |
Nangangatuwiran din, nakakakuha kami ng isa pang talahanayan
| Base. | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 | St. |
| x 3 | 0 | 17/16 | 1 | -5/16 | 1/8 | 0 | 0 | 19/4 |
| x 1 | 1 | -5/8 | 0 | 1/8 | -1/4 | 0 | 0 | 1/2 |
| x 6 | 0 | 59/16 | 0 | -7/16 | 3/8 | 1 | 0 | 25/4 |
| x 7 | 0 | 11/2 | 0 | -1/2 | 0 | 0 | 1 | 11 |
| L | 0 | -57/16 | 0 | -3/16 | -1/8 | 0 | 0 | 21/4 |
Ang kawalan ng mga negatibong elemento sa column ng mga libreng miyembro ay nagpapahiwatig na pinakamainam na solusyon Lmin = 21/4, X min (1/2; 0; 19/4; 0; 25/4; 11).
Magkomento... Kung ang solusyon ng LPP ay parehong hindi katanggap-tanggap at hindi pinakamainam, pagkatapos ay kumuha muna kami ng isang magagawa na solusyon gamit ang algorithm ng dual simplex na pamamaraan, at pagkatapos, ayon sa mga patakaran ng ordinaryong simplex na paraan, nakuha namin ang pinakamainam na solusyon.
Isang halimbawa.
L = 5x 1 - x 2 - x 3 → max
o 
Buuin ang orihinal na talahanayan ng simplex
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 | St. | |
| x 4 | 0 | -1 | -2 | 1 | 0 | 0 | 0 | -9 |
| x 5 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | -1 |
| x 6 | -1 | -1 | 3 | 0 | 0 | 1 | 0 | -8 |
| x 7 | 1 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 4 |
| L | -5 | 1 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Ang solusyon ay hindi katanggap-tanggap, dahil ang column ng mga libreng miyembro ay naglalaman ng mga negatibong elemento at hindi pinakamainam, dahil may negatibong marka (-5) sa hilera L. Una, kumuha kami ng isang magagawa na solusyon gamit ang algorithm ng dual simplex na pamamaraan. Pagkatapos ng muling pagkalkula, nakukuha namin ang sumusunod na talahanayan ng simplex
| Base. | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 | St. |
| x 2 | 0 | 1 | 2 | -1 | 0 | 0 | 0 | 9 |
| x 5 | 1 | 0 | 2 | -1 | 1 | 0 | 0 | 8 |
| x 6 | -1 | 0 | 5 | -1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| x 7 | -1 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 4 |
| L | -5 | 0 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | -9 |
Ginagamit namin ang karaniwang paraan ng simplex at makuha ang mga sumusunod na talahanayan
| Base. | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 | St. |
| x 2 | 0 | 1 | 2 | -1 | 0 | 0 | 0 | 9 |
| x 5 | 0 | 0 | 3 | -1 | 1 | 0 | -1 | 4 |
| x 6 | 0 | 0 | -4 | -1 | 0 | 1 | 1 | 5 |
| x 1 | 1 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 4 |
| L | 0 | 0 | -3 | 1 | 0 | 0 | 5 | 11 |
| Base. | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 | St. |
| x 2 | 0 | 1 | 0 | -1/2 | 0 | -1/2 | -1/2 | 13/2 |
| x 5 | 1 | 0 | 0 | -1/4 | 1 | -3/4 | -7/4 | 1/4 |
| x 6 | 0 | 0 | 1 | -1/4 | 0 | 1/4 | 1/4 | 5/4 |
| x 1 | 0 | 0 | 0 | -1/4 | 0 | 1/4 | 5/4 | 21/4 |
| L | 0 | 0 | 0 | 1/4 | 0 | 3/4 | 23/4 | 59/4 |
Ang kawalan ng mga negatibong pagsusuri sa hilera L ay nagpapahiwatig na ang isang pinakamainam na solusyon ay nakuha.
Lmax = 59/4, X max (21/4; 13/2; 5/4; 0; 1/4; 0; 0).
Isang halimbawa. Ang negosyo ay kailangang gumawa ayon sa plano ng produksyon ng mga yunit ng A1, mga yunit ng A2, mga yunit ng A3. Ang bawat uri ng produkto ay maaaring gawin sa dalawang makina.
Paano ipamahagi ang gawain ng mga makina upang ang kabuuang oras na ginugol sa pagpapatupad ng plano ay minimal? Ang matrix ng mga gastos at oras ng mapagkukunan ng bawat makina ay ibinigay. Isulat ang modelo ng inimbestigahang operasyon sa isang form na nagpapahintulot sa paggamit ng P-paraan.
Ito ay kilala na ang nilalaman ng n nutrients A, B at C sa diyeta ay dapat na hindi bababa sa m1, m2, m3 unit, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga sustansyang ito ay naglalaman ng tatlong uri ng pagkain. Ang nilalaman ng mga yunit ng nutrisyon sa isang kilo ng bawat uri ng produkto ay ipinapakita sa talahanayan. Tukuyin ang pang-araw-araw na diyeta na nagbibigay sa iyo ng tamang dami ng nutrients sa pinakamababang halaga.
Gawain: Lutasin ang problema gamit ang dual simplex method algorithm.
Bawasan natin ang sistema ng mga paghihigpit sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ng kahulugan ≤ sa pamamagitan ng pagpaparami ng kaukulang mga string sa (-1).
Tukuyin ang pinakamababang halaga ng layunin ng function F (X) = 4x 1 + 2x 2 + x 3 sa ilalim ng mga sumusunod na kundisyon ng hadlang.
- x 1 - x 2 ≤-10
2x 1 + x 2 - x 3 ≤8
paglipat sa canonical form).
Sa unang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay (≤), ipinakilala namin ang pangunahing variable x 4. Sa pangalawang kahulugan na hindi pagkakapantay-pantay (≤), ipinakilala namin ang pangunahing variable x 5.
-1x 1 -1x 2 + 0x 3 + 1x 4 + 0x 5 = -10
2x 1 + 1x 2 -1x 3 + 0x 4 + 1x 5 = 8
| A = |
|
x 4, x 5,
Ipagpalagay na ang mga libreng variable ay katumbas ng zero, nakukuha namin ang unang baseline:
X1 = (0.0.0, -10.8)
| Batayan | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 4 | -10 | -1 | -1 | 0 | 1 | 0 |
| x 5 | 8 | 2 | 1 | -1 | 0 | 1 |
| F (X0) | 0 | -4 | -2 | -1 | 0 | 0 |
Pag-ulit # 1
Ang Plan 0 sa isang simplex na talahanayan ay isang pseudo-plan, kaya tinukoy namin ang isang nangungunang row at column.
Ang unang linya ang magiging nangunguna, at ang variable na x 4 ay dapat mahihinuha mula sa batayan.
3. Pagpapasiya ng isang bagong batayan na variable. Ang pinakamababang halaga ng θ ay tumutugma sa 2nd column, i.e. ang variable x 2 ay dapat ipasok sa batayan.
| Batayan | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 4 | -10 | -1 | -1 | 0 | 1 | 0 |
| x 5 | 8 | 2 | 1 | -1 | 0 | 1 |
| F (X0) | 0 | -4 | -2 | -1 | 0 | 0 |
| θ | 0 | -4: (-1) = 4 | -2: (-1) = 2 | - | - | - |
4. Muling pagkalkula ng simplex table. Nagsasagawa kami ng mga pagbabagong-anyo ng isang simplex na talahanayan gamit ang pamamaraang Jordan-Gauss.
| Batayan | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| x 5 | -2 | 1 | 0 | -1 | 1 | 1 |
| F (X0) | 20 | -2 | 0 | -1 | -2 | 0 |
Ipakita natin ang pagkalkula ng bawat elemento sa anyo ng isang talahanayan:
| B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| -10: -1 | -1: -1 | -1: -1 | 0: -1 | 1: -1 | 0: -1 |
| 8-(-10 1):-1 | 2-(-1 1):-1 | 1-(-1 1):-1 | -1-(0 1):-1 | 0-(1 1):-1 | 1-(0 1):-1 |
| 0-(-10 -2):-1 | -4-(-1 -2):-1 | -2-(-1 -2):-1 | -1-(0 -2):-1 | 0-(1 -2):-1 | 0-(0 -2):-1 |
Pag-ulit # 2
1. Sinusuri ang pamantayan ng pinakamainam.
Ang Plan 1 sa isang simplex table ay isang pseudo-plan, kaya tinutukoy namin ang nangungunang row at column.
2. Kahulugan ng isang bagong libreng variable.
Kabilang sa mga negatibong halaga ng mga pangunahing variable, pinipili namin ang pinakamalaking sa ganap na halaga.
Ang pangalawang linya ang magiging nangunguna, at ang variable na x 5 ay dapat mahihinuha mula sa batayan.
3. Pagpapasiya ng isang bagong batayan na variable. Ang pinakamababang halaga para sa θ ay tumutugma sa ikatlong hanay, i.e. ang variable x 3 ay dapat ipasok sa batayan.
Sa intersection ng nangungunang hilera at haligi, mayroong isang elemento ng paglutas (RE) na katumbas ng (-1).
| Batayan | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| x 5 | -2 | 1 | 0 | -1 | 1 | 1 |
| F (X0) | 20 | -2 | 0 | -1 | -2 | 0 |
| θ | 0 | - | - | -1: (-1) = 1 | - | - |
4. Muling pagkalkula ng simplex table. Nagsasagawa kami ng mga pagbabagong-anyo.
| Batayan | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| x 3 | 2 | -1 | 0 | 1 | -1 | -1 |
| F (X1) | 22 | -3 | 0 | 0 | -3 | -1 |
| B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| 10-(-2 0):-1 | 1-(1 0):-1 | 1-(0 0):-1 | 0-(-1 0):-1 | -1-(1 0):-1 | 0-(1 0):-1 |
| -2: -1 | 1: -1 | 0: -1 | -1: -1 | 1: -1 | 1: -1 |
| 20-(-2 -1):-1 | -2-(1 -1):-1 | 0-(0 -1):-1 | -1-(-1 -1):-1 | -2-(1 -1):-1 | 0-(1 -1):-1 |
Lahat ng mga item sa base column ay positibo. Lumipat tayo sa pangunahing algorithm ng simplex na paraan.
Pag-ulit # 3
1. Sinusuri ang pamantayan ng pinakamainam.
Walang mga positibong halaga sa mga halaga ng hilera ng index. Samakatuwid, tinutukoy ng talahanayang ito ang pinakamainam na plano ng gawain.
| Batayan | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| x 3 | 2 | -1 | 0 | 1 | -1 | -1 |
| F (X1) | 22 | -3 | 0 | 0 | -3 | -1 |
Ang pinakamainam na plano ay maaaring isulat tulad nito: x 1 = 0, x 2 = 10, x 3 = 2
F (X) = 2 10 + 1 2 = 22
Halimbawa Blg. 2. Mag-ehersisyo.
5x 1 + 6x 2 ≥1
15x 1 ≥1
7x 1 + 12x 2 ≥1
Bawasan natin ang sistema ng mga paghihigpit sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ng kahulugan ≤ sa pamamagitan ng pagpaparami ng kaukulang mga string sa (-1).
Tukuyin natin ang pinakamababang halaga ng layuning function F (X) = x 1 + x 2 sa ilalim ng mga sumusunod na kundisyon ng hadlang.
- 5x 1 - 6x 2 ≤-1
- 15x 1 ≤-1
- 7x 1 - 12x 2 ≤-1
Upang makabuo ng unang reference na plano, binabawasan namin ang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pagpapakilala ng mga karagdagang variable ( paglipat sa canonical form).
Sa unang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay (≤), ipinakilala namin ang pangunahing variable x 3. Sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng kahulugan (≤), ipinakilala namin ang pangunahing variable x 4. Sa ikatlong kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay (≤), ipinakilala namin ang pangunahing variable x 5.
-5x 1 -6x 2 + 1x 3 + 0x 4 + 0x 5 = -1
-15x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 1x 4 + 0x 5 = -1
-7x 1 -12x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 1x 5 = -1
Ang coefficient matrix A = a (ij) ng sistemang ito ng mga equation ay may anyo:
| A = | -5 | -6 | 1 | 0 | 0 |
| -15 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| -7 | -12 | 0 | 0 | 1 |
x 3, x 4, x 5,
Ipagpalagay na mga libreng variable ay katumbas ng 0, nakuha namin ang unang reference plan:
X1 = (0,0, -1, -1, -1)
Pangunahing solusyon ay tinatawag na tinatanggap kung ito ay hindi negatibo.
| Batayan | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 3 | -1 | -5 | -6 | 1 | 0 | 0 |
| x 4 | -1 | -15 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| x 5 | -1 | -7 | -12 | 0 | 0 | 1 |
| F (X0) | 0 | -1 | -1 | 0 | 0 | 0 |
Halimbawa ng solusyon sa R-method
Ang gawain... Ang negosyo ay kailangang gumawa ayon sa plano ng produksyon A 1 - 500 units, A 2 - 300 units, A 3 - 450 units. Ang bawat uri ng produkto ay maaaring gawin sa dalawang makina.Paano ipamahagi ang gawain ng mga makina upang ang kabuuang oras na ginugol sa pagpapatupad ng plano ay minimal? Ang matrix ng mga gastos at oras ng mapagkukunan ng bawat makina ay ibinigay. Sumulat ng isang modelo ng inimbestigahang operasyon sa isang form na nagpapahintulot sa paggamit ng P - method.
Mag-compose tayo matematikal na modelo mga gawain.
2x 11 + 3x 12 + 3x 13 ≤ 1500
5x 21 + 4x 22 + x 23 ≤ 1000
x 11 + x 21 ≥ 500
x 12 + x 22 ≥ 300
x 13 + x 23 ≥ 450
Layunin function:
2x 11 + 3x 12 + 3x 13 + 5x 21 + 4x 22 + x 23 → min
Isulat natin ito sa anyo na nalutas ng R-method.
2x 11 + 3x 12 + 3x 13 ≤ 1500
5x 21 + 4x 22 + x 23 ≤ 1000
-x 11 -x 21 ≤ -500
-x 12 -x 22 ≤ -300
-x 13 -x 23 ≤ -450
Tukuyin ang pinakamababang halaga ng layunin ng function F (X) = 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 4x 5 + x 6 sa ilalim ng mga sumusunod na kundisyon ng hadlang.
2x 1 + 3x 2 + 3x 3 ≤1500
5x 4 + 4x 5 + x 6 ≤1000
-x 1 -x 4 ≤-500
-x 2 -x 5 ≤-300
-x 3 -x 6 ≤-450
Upang mabuo ang unang sangguniang plano, ang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay binabawasan sa isang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pagpapakilala ng mga karagdagang variable (transisyon sa canonical form).
2x 1 + 3x 2 + 3x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 + 1x 7 + 0x 8 + 0x 9 + 0x 10 + 0x 11 = 1500
0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 5x 4 + 4x 5 + 1x 6 + 0x 7 + 1x 8 + 0x 9 + 0x 10 + 0x 11 = 1000
-1x 1 + 0x 2 + 0x 3 -1x 4 + 0x 5 + 0x 6 + 0x 7 + 0x 8 + 1x 9 + 0x 10 + 0x 11 = -500
0x 1 -1x 2 + 0x 3 + 0x 4 -1x 5 + 0x 6 + 0x 7 + 0x 8 + 0x 9 + 1x 10 + 0x 11 = -300
0x 1 + 0x 2 -1x 3 + 0x 4 + 0x 5 -1x 6 + 0x 7 + 0x 8 + 0x 9 + 0x 10 + 1x 11 = -450
Ang coefficient matrix A = a (ij) ng sistemang ito ng mga equation ay may anyo:
| 2 | 3 | 3 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|
0 | 0 |
0 | 5 |
4 | 1 |
0 | 1 |
0 | 0 |
0 |
| -1 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
|
0 | -1 |
0 | 0 |
-1 | 0 |
0 | 0 |
0 | 1 |
0 |
| 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Lutasin natin ang sistema ng mga equation para sa mga pangunahing variable:
x 7, x 8, x 9, x 10, x 11,
Ipagpalagay na ang mga libreng variable ay 0, nakukuha namin ang unang baseline:
X1 = (0,0,0,0,0,0,1500,1000, -500, -300, -450)
| Plano | Batayan | V | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 | x 8 | x 9 | x 10 | x 11 |
| 0 |
x 7 | 1500 |
2 | 3 |
3 | 0 |
0 | 0 |
1 | 0 |
0 | 0 |
0 |
| | x 8 | 1000 | 0 | 0 | 0 | 5 | 4 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| |
x 9 | -500 |
-1 | 0 |
0 | -1 |
0 | 0 |
0 | 0 |
1 | 0 |
0 |
| | x 10 | -300 | 0 | -1 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| |
x 11 | -450 |
0 | 0 |
-1 | 0 |
0 | -1 |
0 | 0 |
0 | 0 |
1 |
| Index string | F (X0) | 0 | -2 | -3 | -3 | -5 | -4 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| θ |
| |
2 | |
| 5 |
| |
| |
| |
|
Ang pinakamainam na plano ay maaaring isulat tulad nito: x 5 = 133.33, x 8 = 16.67, x 1 = 500, x 2 = 166.67, x 6 = 450
F (X) = 2 * 500 + 3 * 166.67 + 4 * 133.33 + 1 * 450 = 2483.33
Halimbawa # 1. Ang negosyo ay dapat maglabas ng mga produkto ayon sa plano, hindi bababa sa: А 1 - 500 units, А2 - 300 units, А 3 - 450 units. Ang bawat uri ng produkto ay maaaring gawin sa dalawang makina. Paano ipamahagi ang gawain ng mga makina upang ang kabuuang oras na ginugol sa pagpapatupad ng plano ay minimal, kung ang isang cost matrix ay tinukoy. Ang mapagkukunan ng oras ng bawat makina ay ipinapakita sa kanan ng talahanayan. Isulat ang modelo ng inimbestigahang operasyon sa isang form na nagpapahintulot sa paggamit ng P-paraan. Lutasin ang problema sa pamamagitan ng R-method.
Halimbawa Blg. 2. Mula sa 4 na uri ng feed, kinakailangan na gumawa ng isang diyeta, na dapat magsama ng hindi bababa sa 1 yunit. sangkap A, sa 2 yunit. sangkap B at 3 yunit. Substance C. Ang bilang ng mga unit ng isang substance na nakapaloob sa 1 kg ng feed ng bawat uri ay ipinahiwatig sa kaukulang talahanayan. Naglalaman din ito ng presyo ng 1 kg ng feed ng bawat uri.
Gumawa ng diyeta na naglalaman ng hindi bababa sa kinakailangang halaga ng mga tinukoy na nutrients at may pinakamababang halaga.
Linear programming ay isang mathematical modeling technique na idinisenyo upang i-optimize ang paggamit ng mga kakaunting mapagkukunan. Matagumpay na ginagamit ang gamot sa larangan ng militar, industriya, agrikultura, industriya ng transportasyon, ekonomiya, sistema ng pangangalagang pangkalusugan, at maging sa mga agham panlipunan... Ang malawakang paggamit ng paraang ito ay sinusuportahan din ng napakahusay na mga algorithm ng computer na nagpapatupad ng paraang ito. Ang mga algorithm ng pag-optimize para sa iba, mas kumplikadong mga uri ng mga modelo at mga problema sa pagsasaliksik sa operasyon (IO), kabilang ang integer, nonlinear at stochastic programming, ay batay sa mga linear programming algorithm.
Gawain sa pag-optimize Ay isang pang-ekonomiya at matematikal na problema, na binubuo sa paghahanap ng pinakamainam (maximum o minimum) na halaga ng layunin na pag-andar, at ang mga halaga ng mga variable ay dapat nabibilang sa isang tiyak na hanay ng mga tinatanggap na halaga.
Sa pinaka-pangkalahatang anyo nito, ang isang linear na problema sa programming ay nakasulat sa matematika tulad ng sumusunod:
saan X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) ; W- ang hanay ng mga tinatanggap na halaga ng mga variable x 1 , x 2 , ..., x n ;f (X)- layunin function.
Upang malutas ang problema sa pag-optimize, sapat na upang mahanap ang pinakamainam na solusyon nito, i.e. ipahiwatig ang ganyan 
para sa anumang.
Ang problema sa pag-optimize ay hindi malulutas kung wala itong pinakamainam na solusyon. Sa partikular, ang problema sa pag-maximize ay hindi malulutas kung ang layunin ng pag-andar f (X) hindi nakatali sa itaas sa tinatanggap na hanay W.
Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa pag-optimize ay nakasalalay pareho sa uri ng layunin ng function f (X), at sa istraktura ng tinatanggap na hanay W... Kung ang layunin ng function sa problema ay isang function n mga variable, kung gayon ang mga pamamaraan ng solusyon ay tinatawag na mga pamamaraan ng mathematical programming.
Ang mga katangian ng mga problema sa linear programming ay ang mga sumusunod:
tagapagpahiwatig ng pinakamainam f (X) ay isang linear na function ng mga elemento ng solusyon X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) ;
ang mga paghihigpit na kondisyon na ipinataw sa mga posibleng solusyon ay nasa anyo ng mga linear na pagkakapantay-pantay o hindi pagkakapantay-pantay.
Problema sa linear programming ang gawain ng pananaliksik sa pagpapatakbo ay tinatawag, ang modelo ng matematika na may anyo:
(2)
(3)
(4)
(5)
Sa kasong ito, ang sistema ng mga linear equation (3) at hindi pagkakapantay-pantay (4), (5), na tumutukoy sa tinatanggap na hanay ng mga solusyon sa problema W ay tinatawag na sistema ng mga paghihigpit mga problema sa linear programming, at ang linear function f (X) tinawag target na function o criterion sa pagiging optimal .
Isang wastong solusyon Ay isang koleksyon ng mga numero ( plano ) X = (x 1 , x 2 , ... , x n ) matugunan ang mga hadlang ng problema. Pinakamainam na solusyon Ay isang plano kung saan ang layunin ng function ay tumatagal sa maximum (minimum) na halaga nito.
Kung ang mathematical model ng linear programming problem ay may anyo:
pagkatapos ay sinasabi nila na ang problema ay iniharap sa kanonikal na anyo .
Anumang problema sa linear programming ay maaaring gawing isang linear programming na problema sa canonical form. Upang gawin ito, sa pangkalahatang kaso, kailangan mong bawasan ang problema ng pag-maximize sa problema ng minimization; pumunta mula sa inequality constraints tungo sa equality constraints at palitan ang mga variable na hindi sumusunod sa non-negativity condition. Ang pag-maximize ng ilang function ay katumbas ng minimization ng parehong function, na kinuha gamit ang kabaligtaran na sign, at vice versa.
Ang panuntunan para sa pagbabawas ng linear programming problem sa canonical form ay ang mga sumusunod:
kung sa orihinal na problema kinakailangan upang matukoy ang maximum ng isang linear function, dapat mong baguhin ang sign at hanapin ang minimum ng function na ito;
kung ang kanang bahagi ng mga hadlang ay negatibo, ang hadlang na ito ay dapat na i-multiply sa -1;
kung mayroong mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga hadlang, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagpapakilala ng mga karagdagang di-negatibong mga variable ay nababago sila sa mga pagkakapantay-pantay;
kung ilang variable x j ay walang mga paghihigpit sa tanda, pagkatapos ay papalitan ito (sa layunin ng pag-andar at sa lahat ng mga paghihigpit) ng pagkakaiba sa pagitan ng dalawang bagong di-negatibong mga variable: x 3 = x 3 + - x 3 - , saan x 3 + , x 3 - ≥ 0 .
Halimbawa 1... Pagbabawas ng linear programming problem sa canonical form:
min L = 2x 1 + x 2 - x 3 ; 2x 2 - x 3 ≤ 5; x 1 + x 2 - x 3 ≥ -1; 2x 1 - x 2 ≤ -3; x 1 ≤ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0.
Ipinakilala namin sa bawat equation ng sistema ng mga hadlang ang mga variable ng leveling x 4 , x 5 , x 6 ... Ang sistema ay isusulat sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay, at sa una at ikatlong mga equation ng sistema ng mga paghihigpit ang mga variable x 4 , x 6 ay ipinasok sa kaliwang bahagi na may "+" sign, at sa pangalawang equation ang variable x 5 pumasok na may "-" sign.
2x 2 - x 3 + x 4 = 5; x 1 + x 2 - x 3 - x 5 = -1; 2x 1 - x 2 + x 6 = -3; x 4 ≥ 0; x 5 ≥ 0; x 6 ≥ 0.
Ang mga libreng termino sa canonical form ay dapat na positibo, para dito pinarami natin ang huling dalawang equation sa -1:
2x 2 - x 3 + x 4 = 5; -x 1 - x 2 + x 3 + x 5 = 1; -2x 1 + x 2 - x 6 = 3.
Simplex na paraan para sa paglutas ng mga problema sa linear programming.
Ang algorithm ng simplex na paraan ay nakakahanap ng pinakamainam na solusyon sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa isang limitadong bilang ng mga tinatanggap na pangunahing solusyon. Ang algorithm ng simplex na paraan ay palaging nagsisimula sa ilang posible na pangunahing solusyon at pagkatapos ay sumusubok na maghanap ng isa pang magagawa na pangunahing solusyon na "nagpapabuti" sa halaga ng layunin ng function. Ito ay posible lamang kung ang pagtaas sa anumang zero (di-basic) na variable ay humahantong sa isang pagpapabuti sa halaga ng layunin ng function. Ngunit para maging positibo ang di-basic na variable, dapat gawing zero ang isa sa kasalukuyang basic variable, i.e. convert sa non-basic. Ito ay kinakailangan para sa bagong solusyon na maglaman ng eksakto m pangunahing mga variable. Alinsunod sa terminolohiya ng simplex na pamamaraan, ang napiling zero variable ay tinatawag ipinakilala (sa batayan), at ang inalis na pangunahing variable ay hindi kasama (mula sa batayan).
Dalawang panuntunan para sa pagpili ng ipinakilala at pagbubukod ng mga variable sa simplex na paraan ang tatawagin kalagayan ng pinakamainam at kondisyon ng pagtanggap ... Bumuo tayo ng mga patakarang ito, at isaalang-alang din ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na isinagawa kapag nagpapatupad ng simplex na paraan.
Kondisyon ng pagiging perpekto. Ang variable na ipinakilala sa maximization (minimization) na problema ay isang nonbasis variable na may pinakamalaking negatibong (positibong) coefficient sa target-tali. Kung nasa target-string ay may ilang mga tulad na mga coefficient, pagkatapos ay ang pagpili ng input variable ay ginawa arbitraryo. Ang pinakamainam na solusyon ay naabot kapag nasa target-string, ang lahat ng coefficient para sa mga di-basic na variable ay magiging non-negative (non-positive).
Kondisyon sa pagtanggap. Sa parehong problema sa pag-maximize at sa problema sa pag-minimize, ang batayan na variable ay pinili bilang ang ibinukod, kung saan ang ratio ng halaga ng kanang bahagi ng pagpilit sa positibong koepisyent ng nangungunang column ay minimal. Kung mayroong ilang mga pangunahing variable na may ganitong katangian, kung gayon ang pagpili ng ibinukod na variable ay isinasagawa nang arbitraryo.
Ipakita natin ang isang algorithm para sa paglutas ng problema sa linear programming para sa paghahanap ng maximum gamit ang mga simplex na talahanayan.
F = s 1 x 1 + s 2 x 2 +… + s n x n max
x 1 0, x 2 0,…, x n 0.
1st step... Ipinakilala namin ang mga karagdagang variable at isinusulat ang nagresultang sistema ng mga equation at ang linear function sa anyo ng isang pinahabang sistema.
F – c 1 x 1 –c 2 x 2 -… –c n x n = 0 = c p.
ika-2 hakbang. Pagsasama-sama ng isang paunang simplex na talahanayan.
|
Mga variable |
Basic at auxiliary variable |
libreng miyembro (solusyon) |
Tinatantya saloobin |
|||||||
ika-3 hakbang. Sinusuri namin ang katuparan ng pinakamainam na pamantayan - ang pagkakaroon ng mga negatibong coefficient sa huling linya. Kung wala, kung gayon ang solusyon ay pinakamainam at F * = co, ang mga pangunahing variable ay katumbas ng kaukulang coefficients bj, ang mga di-basic na variable ay zero, iyon ay, X * = (b 1, b 2,…, bm, 0,…, 0).
ika-4 na hakbang... Kung hindi natutugunan ang pinakamainam na pamantayan, kung gayon ang pinakamalaking negatibong koepisyent sa ganap na halaga sa huling (tinantyang) hilera ay tumutukoy sa paglutas ng mga column s.
Upang matukoy ang linya ng paglutas, kinakalkula namin ang mga tinantyang ratio 
at punan ang huling hanay ng talahanayan.
Ang tinantyang ratio ng i-th row ay
kung ang b i at a ay may magkaibang palatandaan;
О kung b i = 0 at а ay<0;
kung ang a ay = 0;
0 kung b i = 0 at ang a ay> 0;
Sa column ng value relations, makikita natin ang pinakamababang elemento min 
na tumutukoy sa permissive string g.
Kung walang minimum, kung gayon ang problema ay walang finite optimum I at hindi malulutas.
Sa intersection ng resolving row at column ay ang resolving element a gs.
ika-5 hakbang... Binubuo namin ang sumusunod na talahanayan. Para dito
Lumipat tayo sa ikatlong hakbang.
M-paraan Minsan, kapag nilulutas ang LPP sa matrix ng mga coefficient na may hindi kilalang mga sistema ng mga hadlang, walang mga haligi ng yunit kung saan posible na bumuo ng unit matrix, i.e. may problema sa pagpili ng mga pangunahing variable, o ang orihinal na solusyon ay hindi wasto. Sa ganitong mga kaso gamitin paraan ng artipisyal na batayan (M - paraan). Ang lahat ng mga hadlang kung saan walang pangunahing mga variable ay ipinakilala mga artipisyal na variable. Sa layunin ng function, ang mga artipisyal na variable ay ipinakilala na may isang koepisyent (- M) para sa mga problema sa max at may isang koepisyent (+ M) para sa mga problema sa min, kung saan ang M ay isang sapat na malaking positibong numero.... Pagkatapos ang pinalawig na problema ay malulutas ayon sa mga patakaran ng simplex na paraan. Kung ang lahat ng mga artipisyal na variable ay katumbas ng zero, i.e. ay hindi kasama sa batayan, pagkatapos ay makukuha ang pinakamainam na solusyon sa orihinal na problema, o ang orihinal na problema ay mas malulutas pa at ang pinakamainam na solusyon nito ay matatagpuan, o ang undecidability nito ay naitatag. Kung ang hindi bababa sa isa sa mga artipisyal na variable ay lumabas na nonzero, kung gayon ang orihinal na problema ay walang solusyon
Ang unibersal na paraan para sa paglutas ng mga problema sa LP ay tinatawag na simplex method. Application ng paraang ito at ang pinakakaraniwang pagbabago nito - ang two-phase simplex method.
Gamit ang graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa LP, talagang pinili namin mula sa hanay ng mga vertices na kabilang sa hangganan ng hanay ng mga solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay tulad ng isang vertex kung saan ang halaga ng layunin ng function ay umabot sa maximum (minimum). Sa kaso ng dalawang variable, ang pamamaraang ito ay ganap na intuitive at nagbibigay-daan sa iyo upang mabilis na makahanap ng solusyon sa problema.
Kung mayroong tatlo o higit pang mga variable sa problema, at sa totoong mga problema sa ekonomiya, ito ang eksaktong sitwasyon, mahirap mailarawan ang lugar ng mga solusyon sa sistema ng mga paghihigpit. Ang ganitong mga gawain ay nalutas gamit paraan ng simplex o sa pamamagitan ng paraan ng sunud-sunod na pagpapabuti. Ang ideya ng pamamaraan ay simple at ang mga sumusunod.
Ayon sa isang tiyak na panuntunan, ang paunang reference plan ay matatagpuan (ilang vertex ng constraint area). Sinusuri kung ang plano ay pinakamainam. Kung oo, pagkatapos ay malulutas ang problema. Kung hindi, pagkatapos ay pumunta sa isa pang pinahusay na plano - sa isa pang tuktok. ang halaga ng layunin ng function sa planong ito (sa tuktok na ito) ay malinaw na mas mahusay kaysa sa nauna. Ang algorithm ng paglipat ay isinasagawa gamit ang ilang hakbang sa pagkalkula, na maginhawang nakasulat sa anyo ng mga talahanayan, na tinatawag simplex na mga talahanayan ... Dahil ang bilang ng mga vertices ay may hangganan, pagkatapos ay sa isang may hangganan na bilang ng mga hakbang ay darating tayo sa pinakamainam na solusyon.
Isaalang-alang natin ang simplex na paraan gamit ang isang tiyak na halimbawa ng problema sa pagguhit ng isang plano.
Tandaan muli na ang simplex na paraan ay naaangkop sa paglutas ng mga canonical na problema sa LP na binawasan sa isang espesyal na anyo, ibig sabihin, pagkakaroon ng batayan, positibong kanang bahagi, at layuning function na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga di-basic na variable. Kung ang gawain ay hindi nabawasan sa isang espesyal na anyo, kung gayon ang mga karagdagang hakbang ay kinakailangan, na pag-uusapan natin sa ibang pagkakataon.
Isaalang-alang natin ang problema ng isang plano sa produksyon, na dati nang nagtayo ng isang modelo at binawasan ito sa isang espesyal na anyo.
Gawain.
Para sa paggawa ng mga produkto A at V ang bodega ay maaaring maglabas ng hindi hihigit sa 80 mga yunit ng hilaw na materyales. Bukod dito, para sa paggawa ng produkto A dalawang unit ang natupok, at mga produkto V- isang yunit ng hilaw na materyales. Kinakailangang magplano ng produksyon upang matiyak ang pinakamalaking tubo kung ang mga produkto A ito ay kinakailangan upang gumawa ng hindi hihigit sa 50 piraso, at mga produkto V- hindi hihigit sa 40 mga PC. Bukod dito, ang kita mula sa pagbebenta ng isang produkto A- 5 rubles, at mula sa V- 3 rubles.
Bumuo tayo ng isang mathematical model, na nagsasaad ng para sa NS 1 bilang ng mga produkto A sa plano, para sa NS 2 - bilang ng mga produkto V... pagkatapos ang sistema ng mga paghihigpit ay magiging ganito:
x 1 ≤50
x 2 ≤40
2x 1 + x 2 ≤80
x 1 ≥0, x 2 ≥0
5x 1 + 3x 2 → max
Dalhin natin ang problema sa isang canonical form sa pamamagitan ng pagpapakilala ng mga karagdagang variable:
x 1 + x 3 = 50
x 2 + x 4 = 40
2x 1 + x 2 + x 5 = 80
x 1 ≥0, x 2 ≥0
5x 1 + 3x 2 → max
-F = -5x 1 - 3x 2 → min.
Ang problemang ito ay may espesyal na anyo (na may batayan, ang kanang bahagi ay hindi negatibo). Maaari itong malutas gamit ang simplex na pamamaraan.
akoyugto. Pagsusulat ng problema sa isang simplex table. Mayroong isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng sistema ng mga hadlang ng problema (3.10) at ng simplex-table. Mayroong kasing daming row sa table dahil may equalities sa constraint system, at kasing dami ng column na may mga libreng variable. Pupunan ng mga pangunahing variable ang unang column, mga libreng variable - ang nangungunang hilera ng talahanayan. Ang ilalim na linya ay tinatawag na index line; naglalaman ito ng mga coefficient ng mga variable sa layunin ng function. Sa una, ang 0 ay nakasulat sa kanang sulok sa ibaba kung walang libreng termino sa function; kung mayroon, pagkatapos ay isulat namin ito sa kabaligtaran na tanda. Sa lugar na ito (sa kanang ibabang sulok) magkakaroon ng halaga ng layunin na pag-andar, na, kapag lumipat mula sa isang talahanayan patungo sa isa pa, ay dapat tumaas sa modulus. Kaya, ang aming sistema ng mga paghihigpit ay tumutugma sa talahanayan 3.4, at maaari kaming magpatuloy sa II yugto ng solusyon.
Talahanayan 3.4
|
baseline |
libre |
||
IIyugto... Sinusuri ang plano ng suporta para sa pinakamainam.
Ang talahanayan 3.4 na ito ay tumutugma sa sumusunod na batayang plano:
(NS 1 , NS 2 , NS 3 , NS 4 , NS 5) = (0, 0, 50, 40, 80).
Libreng variable NS 1 , NS 2 ay katumbas ng 0; NS 1 = 0, NS 2 = 0. At ang mga pangunahing variable NS 3 , NS 4 , NS 5 tanggapin ang mga halaga NS 3 = 50, NS 4 = 40, NS 5 = 80 - mula sa column ng mga libreng miyembro. Halaga ng layunin ng function:
-F = - 5NS 1 - 3NS 2 = -5 0 - 3 0 = 0.
Ang aming gawain ay suriin kung ang isang ibinigay na baseline plan ay pinakamainam. para dito, kailangan mong tingnan ang linya ng index - ang linya ng layunin ng function F.
Posible ang iba't ibang sitwasyon.
1. Sa index F-string ay walang negatibong elemento. Nangangahulugan ito na ang plano ay pinakamainam, maaari mong isulat ang solusyon sa problema. Naabot na ng layuning function ang pinakamainam na halaga nito na katumbas ng numero sa kanang sulok sa ibabang kinunan gamit ang kabaligtaran na tanda. Dumaan kami sa IV stage.
2. Ang index row ay naglalaman ng hindi bababa sa isang negatibong elemento, na ang column ay hindi naglalaman ng mga positibo. Pagkatapos namin tapusin na ang layunin function F→ ∞ bumababa nang walang hangganan.
3. Ang index row ay naglalaman ng negatibong elemento na may hindi bababa sa isang positibong elemento sa column nito. Pagkatapos ay pumunta kami sa susunod na yugto III. muling pagkalkula ng talahanayan, pagpapabuti ng baseline.
IIIyugto... Pagpapabuti ng baseline.
Mula sa mga negatibong elemento ng index F-Piliin ng mga hilera ang pinakamalaki sa modulus, tawagan ang kaukulang paglutas ng column at markahan ang "".
Upang piliin ang hilera ng paglutas, kinakailangan upang kalkulahin ang mga ratio ng mga elemento ng haligi ng libreng miyembro lamang Upang positibo permissive na mga elemento ng column. Piliin ang minimum mula sa nakuha na mga relasyon. Ang kaukulang elemento kung saan naabot ang pinakamababa ay tinatawag na permissive. I-highlight namin ito ng isang parisukat.
Sa aming halimbawa, ang elemento 2 ay permissive. Ang linya na nauugnay sa elementong ito ay tinatawag ding paglutas (Talahanayan 3.5).
Talahanayan 3.5
Ang pagpili ng elemento ng paglutas, muling kinakalkula namin ang talahanayan ayon sa mga patakaran:
1. Sa bagong talahanayan ng parehong mga sukat tulad ng dati, ang mga variable ng paglutas ng row at column ay pinapalitan, na tumutugma sa paglipat sa isang bagong batayan. Sa aming halimbawa: NS 1 ay kasama sa batayan, sa halip na NS 5, na umalis sa batayan at ngayon ay libre (Talahanayan 3.6).
Talahanayan 3.6
2. Sa halip ng paglutas ng elemento 2, isulat ang kabaligtaran na bilang na ½.
3. Ang mga elemento ng linya ng paglutas ay nahahati sa elemento ng paglutas.
4. Ang mga elemento ng kolum ng paglutas ay nahahati sa elemento ng paglutas at nakasulat na may kabaligtaran na tanda.
5. Upang punan ang natitirang mga elemento ng Talahanayan 3.6, muling kinakalkula namin ayon sa tuntunin ng parihaba. Ipagpalagay na gusto nating bilangin ang elemento sa posisyon 50.
Ikinonekta namin ang elementong ito sa pag-iisip sa paglutas ng isa, hanapin ang produkto, ibawas ang produkto ng mga elemento na matatagpuan sa kabilang dayagonal ng resultang rektanggulo. Hinahati namin ang pagkakaiba sa pamamagitan ng elemento ng paglutas.
Kaya, . Sumulat kami ng 10 sa lugar kung saan ito ay 50. Katulad nito:
, 
, , 
.
Talahanayan 3.7
Mayroon kaming bagong talahanayan 3.7, ang mga pangunahing variable ay ngayon ang mga variable (x 3, x 4, x 1). Ang halaga ng layunin ng function ay naging katumbas ng -200, i.e. nabawasan. Upang suriin ang pangunahing solusyon na ito para sa pinakamainam, kinakailangan na pumunta muli sa yugto II. Ang proseso ay malinaw na may hangganan, ang mga pamantayan sa paghinto ay mga puntos 1 at 2 ng yugto ng II.
Dadalhin namin ang solusyon sa problema hanggang sa dulo. Upang gawin ito, suriin ang hilera ng index at, nakikita sa loob nito ang isang negatibong elemento -½, tawagan ang kaukulang paglutas ng haligi at, ayon sa yugto III, muling kalkulahin ang talahanayan. Ang pagkakaroon ng pinagsama-samang mga relasyon at pagpili sa kanila ng minimum = 40, natukoy namin ang paglutas ng elemento 1. Ngayon ay isinasagawa namin ang muling pagkalkula ayon sa mga patakaran 2-5.
Talahanayan 3.8
Matapos muling kalkulahin ang talahanayan, tinitiyak namin na walang mga negatibong elemento sa hilera ng index, samakatuwid, ang problema ay nalutas, ang batayang plano ay pinakamainam.
IVyugto... Pagsusulat ng pinakamainam na solusyon.
Kung ang simplex na paraan ay tumigil ayon sa punto 1 ng yugto II, kung gayon ang solusyon sa problema ay nakasulat tulad ng sumusunod. Ang mga base variable ay kumukuha sa mga halaga ng libreng column ng miyembro, ayon sa pagkakabanggit. Sa ating halimbawa NS 3 = 30, NS 2 = 40, NS 1 = 20. Ang mga libreng variable ay 0, NS 5 = 0, NS 4 = 0. Kinukuha ng layunin ng function ang halaga ng huling elemento ng column ng mga libreng miyembro na may kabaligtaran na tanda: - F = -220 → F= 220, sa aming halimbawa ang function ay sinuri para sa min, at sa una F→ max, kaya sa katunayan ang sign ay nagbago ng dalawang beses. Kaya, NS* = (20, 40, 30, 0, 0), F* = 220. Sagot sa problema:
Kinakailangang isama ang 20 produkto ng uri A, 40 mga produkto ng uri B, habang ang tubo ay magiging maximum at magiging katumbas ng 220 rubles.
Sa dulo ng seksyong ito, nagpapakita kami ng isang block diagram ng simplex method algorithm, na eksaktong inuulit ang mga hakbang, ngunit, marahil, para sa ilang mga mambabasa ito ay magiging mas maginhawang gamitin, dahil ang mga arrow ay nagpapahiwatig ng isang malinaw na direksyon ng pagkilos.
Ang mga link sa itaas ng mga parihaba sa flowchart ay nagpapakita kung saang yugto o subclause kabilang ang kaukulang pangkat ng pagbabago. ang panuntunan para sa paghahanap ng paunang baseline na plano ay bubuuin sa sugnay 3.7.
Isang halimbawa. Lutasin ang sumusunod na problema sa LP sa canonical form gamit ang simplex method.
f (x) = x 1 + 9x 2 + 5x 3 + 3x 4 + 4x 5 + 14x 6 → min
x 1 + x 4 = 20
x 2 + x 5 = 50
x 3 + x 6 = 30
x 4 + x 5 + x 6 = 60
x i ≥ 0, i = 1, ..., 6
Sinasabi nila na ang isang problema sa LP ay may kanonikal na anyo kung ang lahat ng mga hadlang (maliban sa mga kondisyon ng hindi negatibong mga variable) ay may anyo ng mga pagkakapantay-pantay, at lahat ng mga libreng termino ay hindi negatibo. Kaya may problema tayo sa canonical form.
Ang ideya sa likod ng simplex na pamamaraan ay ang mga sumusunod. Una, kailangan mong maghanap ng ilang (paunang) vertex ng polyhedron ng mga magagawang solusyon (paunang magagawa na pangunahing solusyon). Pagkatapos ay kailangan mong suriin ang solusyon na ito para sa pinakamainam. Kung ito ay pinakamainam, kung gayon ang solusyon ay natagpuan; kung hindi, pagkatapos ay pumunta sa isa pang vertex ng polytope at muling suriin para sa pinakamainam. Sa view ng finiteness ng vertices ng polyhedron (isang kinahinatnan ng finiteness ng mga paghihigpit ng problema sa LP) sa isang may hangganan na bilang ng "mga hakbang" ay makikita natin ang kinakailangang minimum o maximum na punto. Dapat pansinin na kapag dumadaan mula sa isang vertex patungo sa isa pa, ang halaga ng layunin ng pag-andar ay bumababa (sa problema para sa pinakamaliit) o tumataas (sa problema para sa maximum).
Kaya, ang ideya ng simplex na pamamaraan ay batay sa tatlong katangian ng problema sa LP.
Solusyon. Upang mahanap ang paunang magagawa na pangunahing solusyon, i.e. upang matukoy ang mga pangunahing variable, ang system (5.6) ay dapat na bawasan sa isang "diagonal" na anyo. Ang paglalapat ng Gauss method (ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam), nakuha natin mula sa (5.6):
x 2 + x 1 + x 3 = 40
x 4 + x 1 = 20
x 5 -x 1 -x 3 = 10
x 6 + x 3 = 30
Samakatuwid, ang mga pangunahing variable ay x 2, x 4, x 5, x 6, itinalaga namin ang mga ito ng mga halaga na katumbas ng mga libreng miyembro ng kaukulang mga string: x 2 = 40, x 4 = 20, x 5 = 10, x 6 = 30,... Mga variable x 1 at x 3 ay hindi basic: x 1 = 0, x 3 = 0.
Buuin natin ang paunang tinatanggap na pangunahing solusyon
x 0 = (0,40,0,20,10,30) (5.9)
Upang suriin ang pinakamainam ng nahanap na solusyon x 0 kinakailangang ibukod ang mga pangunahing variable mula sa layunin ng function (gamit ang system (5.8)) at bumuo ng isang espesyal na talahanayan ng simplex.
Matapos alisin ang mga variable, maginhawang isulat ang layunin ng function sa form:
f (x) = -7x 1 - 14x 3 +880 (5.10)
Ngayon, gamit ang (5.8) - (5.10), bumubuo kami ng isang paunang simplex na talahanayan: 
Ang zero line ay naglalaman ng mga coefficient na may kabaligtaran na tanda ng kaukulang mga variable para sa layunin ng function. Optimality criterion (para sa problema sa paghahanap ng minimum): tinatanggap na pangunahing solusyon ( x 0) ay pinakamainam kung ang zero line ay naglalaman ng hindi isang solong mahigpit na positibong numero (hindi binibilang ang halaga ng layunin ng function (880)). Nalalapat din ang panuntunang ito sa mga sumusunod na pag-ulit (mga talahanayan). Ang mga elemento ng zero row ay tatawaging column estimates.
Kaya ang paunang tinatanggap na pangunahing solusyon (5.9) ay hindi pinakamainam: 7>0, 14>0
.
Ang zero column ay naglalaman ng mga halaga ng mga pangunahing variable. Dapat ay hindi negatibo ang mga ito (tingnan ang equation (5.7)). Mula sa una hanggang sa ikaapat na linya, ang mga coefficient ng mga variable mula sa system (5.8) ay nakasulat.
kasi x 0 ay hindi pinakamainam, pagkatapos ay kailangan mong pumunta sa isa pang vertex ng polyhedron ng mga magagawa na solusyon (bumuo ng isang bagong b.d.). Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang pivot at magsagawa ng isang tiyak na pagbabagong-anyo (simplex transformation).
Una, nakita namin ang nangungunang elemento ng talahanayan, na nakatayo sa intersection ng nangungunang column (ang column na may pinakamataas na positibong rating) at ang nangungunang row (ang row na tumutugma sa minimum na ratio ng mga elemento ng zero column sa kaukulang elemento (mahigpit na positibo) ng nangungunang hanay).
Sa talahanayan 1, ang nangungunang hanay ay ang ikatlong hanay at ang nangungunang hanay ay ang ikaapat na hanay (min (40 / 1.30 / 1) = 30/1) ay ipinahiwatig ng mga arrow, at ang nangungunang elemento ay ipinahiwatig ng isang bilog. Ipinapahiwatig ng host na ang pinagbabatayan na variable x 6 kailangang mapalitan ng hindi basic x 3... Pagkatapos ang mga bagong pangunahing variable ay magiging x 2, x 3, x 4, x 5,, at mga hindi basic - x 1, x 6,... Nangangahulugan ito ng isang paglipat sa isang bagong vertex ng polyhedron ng mga magagawang solusyon. Upang mahanap ang mga coordinate na halaga ng bagong magagawa na pangunahing solusyon x 00 kailangan mong bumuo ng isang bagong simplex na talahanayan at magsagawa ng mga elementarya na pagbabago dito:
a) hatiin ang lahat ng mga elemento ng nangungunang linya ng nangungunang elemento, sa gayon ay nagiging 1 ang nangungunang elemento (para sa pagiging simple ng mga kalkulasyon);
b) gamit ang nangungunang elemento (katumbas ng 1), gawing mga zero ang lahat ng elemento ng nangungunang haligi (katulad ng paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam);
Bilang resulta, ang mga halaga ng mga bagong pangunahing variable ay nakuha sa zero column x 2, x 3, x 4, x 5,(tingnan ang talahanayan 2) - mga pangunahing bahagi ng bagong vertex x 00(hindi pangunahing mga bahagi x 1 = 0, x 6 = 0,).
Tulad ng ipinapakita ng Talahanayan 2, ang bagong pangunahing solusyon x 00 = (0.10,30,20,40,0) hindi pinakamainam (ang zero line ay may hindi negatibong marka na 7). Samakatuwid, kasama ang pivot element 1 (tingnan ang talahanayan 2), bumuo kami ng isang bagong simplex na talahanayan, i.e. pagbuo ng isang bagong magagawa na pangunahing solusyon 
Ang talahanayan 3 ay tumutugma sa tinatanggap na pangunahing solusyon x 000 = (10,0,30,10,50,0) at ito ay pinakamainam, dahil walang positibong rating sa zero line. kaya lang f (x 000) = 390 ay ang pinakamababang halaga ng layunin ng function.
Sagot: x 000 = (10, 0, 30, 10, 50, 0)- pinakamababang punto, f (x 000) = 390.
May kondisyong karaniwang problema sa linear programming
Dapat mong kumpletuhin ang mga sumusunod na gawain sa pagkakasunud-sunod na nakalista.- Hanapin ang pinakamainam na plano para sa direktang problema:
a) paraan ng grapiko;
b) ang simplex na paraan (inirerekumenda na gamitin ang artipisyal na batayan na paraan upang bumuo ng paunang plano ng sanggunian). - Bumuo ng dalawahang problema.
- Hanapin ang pinakamainam na plano ng dalawahang problema mula sa graphical na solusyon ng linya gamit ang mga pantulong na kondisyon ng malubay.
- Hanapin ang pinakamainam na plano para sa dalawahang problema sa pamamagitan ng unang duality theorem, gamit ang final simplex table na nakuha sa pamamagitan ng paglutas ng direktang problema (tingnan ang aytem 1b). Suriin ang pahayag na "ang mga halaga ng mga layunin na pag-andar ng isang pares ng dalawahang problema ay nag-tutugma sa kanilang pinakamainam na solusyon".
- Lutasin ang dalawahang problema sa pamamagitan ng simplex na pamamaraan, pagkatapos, gamit ang panghuling simplex na talahanayan ng dalawahang problema, hanapin ang pinakamainam na plano ng direktang problema ayon sa unang duality theorem. Ihambing ang resulta sa resulta na nakuha sa pamamagitan ng graphical na pamamaraan (tingnan ang aytem 1a).
- Hanapin ang pinakamainam na solusyon sa integer:
a) paraan ng grapiko;
b) Ang paraan ng Gomori.
Ihambing ang mga halaga ng mga function ng integer at non-integer na solusyon
Mga tanong para sa pagpipigil sa sarili
- Paano nabuo ang isang simplex na talahanayan?
- Paano ipinapakita ang batayan ng pagbabago sa talahanayan?
- Bumuo ng criterion sa paghinto para sa simplex na paraan.
- Paano ayusin ang muling pagkalkula ng talahanayan?
- Aling row ang maginhawa upang simulan ang muling pagkalkula ng talahanayan?
>> >> >> Simplex na paraan
Simplex na pamamaraan
Anumang solusyon ay maaaring matagpuan paraan ng simplex... Bago ilapat ang simplex na paraan, dapat mong isulat ang orihinal na problema sa anyo ng pangunahing problema sa linear programming, kung wala itong gayong notasyon.
Ang isang simplex na paraan para sa paglutas ng isang linear na problema sa programming ay batay sa paglipat mula sa isang baseline plan patungo sa isa pa, kung saan ang halaga ng layunin ng function. ay tumataas(sa kondisyon na ang ibinigay na problema ay may pinakamainam na plano at ang bawat isa sa mga pangunahing plano nito ay hindi nabubulok). Posible ang tinukoy na paglipat kung alam ang anumang orihinal na reference plan. Isaalang-alang ang isang problema kung saan ang planong ito ay maaaring isulat nang direkta.
Hayaang kailanganin upang mahanap ang maximum na halaga ng function
sa ilalim ng mga kondisyon
Dito at 
- binibigyan ng pare-parehong mga numero
Ang vector form ng problemang ito ay ang mga sumusunod: hanapin ang maximum ng function
sa ilalim ng mga kondisyon
pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan ng reference plan, ito ay ang reference plan ng ibinigay na problema (ang huling bahagi ng vector NS katumbas ng zero). Ang disenyong ito ay tinutukoy ng isang sistema ng mga unit vector na bumubuo ng batayan m- sinusukat space. Samakatuwid, ang bawat isa sa mga vector at maaari ding kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng mga vector ng isang naibigay na batayan. Hayaan
Inilagay namin 
Dahil sa mga vectors –
single, noon at a
Teorama 5
(isang tanda ng pinakamainam na plano ng sanggunian). Baseline ng gawain (22) – (24) ay pinakamainam kung para sa anumang j
Teorama 6.
Kung para sa ilang j = k at sa mga numero ay walang positibo , pagkatapos ay ang layunin function(22) mga gawain (22) – (24) hindi limitado sa iba't ibang mga plano niya.
Teorama 7.
Kung ang baseline plan X ng gawain (22) – (24)hindi nabubulokat , ngunit kabilang sa mga numeromay mga positibo (hindi lahat), pagkatapos ay mayroong isang plano ng suporta X "ganyan
Ginagawang posible ng mga formulated theorems na suriin kung ang nahanap na baseline plan ay pinakamainam at upang ipakita ang pagiging posible ng paglipat sa isang bagong baseline plan.
Mas maginhawang pag-aralan ang baseline plan para sa pinakamainam, gayundin ang karagdagang proseso ng computational, kung ang mga kondisyon ng problema at ang paunang data na nakuha pagkatapos matukoy ang paunang baseline na plano ay nakasulat tulad ng ipinapakita sa Talahanayan. 3.
Itinatala ng Column C 6 ng talahanayang ito ang mga coefficient sa mga hindi kilalang layuning function na may parehong mga indeks gaya ng mga vector ng batayan na ito.
Sa column, ang mga positibong bahagi ng orihinal na plano ng sanggunian ay naitala, kung saan, bilang resulta ng mga kalkulasyon, ang mga positibong bahagi ng pinakamainam na plano ay nakuha. Ang mga column ng mga vector ay kumakatawan sa mga koepisyent ng pagpapalawak ng mga vector na ito sa mga tuntunin ng mga vector ng isang naibigay na batayan.
mesa 3 muna m ang mga hilera ay tinutukoy ng paunang data ng problema, at ang mga tagapagpahiwatig ng (m + 1) na hilera ay kinakalkula. Sa linyang ito, sa haligi ng vector, ang halaga ng layunin ng function ay nakasulat, na kinakailangan para sa isang naibigay na disenyo ng sanggunian, at sa haligi ng vector – ibig sabihin
Ang halaga ng Z j ay matatagpuan bilang scalar product ng isang vector ng isang vector 
Ang halaga ay katumbas ng tuldok na produkto ng vector P 0 ng vector:
Matapos punan ang talahanayan 3, ang orihinal na plano ng sanggunian ay nasuri para sa pagiging mahusay. Upang gawin ito, tingnan ang mga elemento ng -th row ng table. Bilang resulta, maaaring mangyari ang isa sa sumusunod na tatlong kaso:
1) para sa j = m + 1, (sa ). Samakatuwid, sa kasong ito, ang mga numero para sa lahat j mula 1 hanggang n;
2) para sa ilan j, at lahat ng mga dami na naaayon sa index na ito
3) para sa ilang mga indeks j, at para sa bawat isa j kahit isa sa mga numero ay positibo.
Sa unang kaso, batay sa pinakamainam na pamantayan, ang orihinal na baseline na plano ay pinakamainam. Sa pangalawang kaso, ang layunin ng function ay hindi nakatali mula sa itaas sa hanay ng mga plano, at sa pangatlong kaso, ito ay posible na lumipat mula sa orihinal na plano sa isang bagong baseline na plano, kung saan ang halaga ng layunin ng function ay tataas. . Ang paglipat na ito mula sa isang reference plan patungo sa isa pa ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagbubukod ng ilan sa mga vectors mula sa orihinal na batayan at pagpapakilala ng bagong vector dito. Bilang isang vector na ipinakilala sa batayan, maaaring kunin ng isa ang alinman sa mga vector na may index j, para sa . Halimbawa, hayaan itong magpasya na ipakilala sa batayan ang vector
Upang matukoy ang vector na hindi isasama sa batayan, hanapin para sa lahat Hayaan ang minimum na ito ay maabot sa ako = r. Pagkatapos ang vector ay hindi kasama sa batayan, at ang numero ay tinatawag permissive na elemento.
Tinatawag ang column at row sa intersection kung saan matatagpuan ang elemento ng paglutas mga gabay.
Pagkatapos piliin ang hilera ng gabay at ang gabay na column, isang bagong reference plan at ang mga coefficient ng vector decomposition sa pamamagitan ng mga vector ng bagong batayan na naaayon sa bagong reference plan ay matatagpuan. Ito ay madaling ipatupad gamit ang Jordan – Gauss method. Bukod dito, maipapakita na ang mga positibong bahagi ng bagong reference plan ay kinakalkula ng mga formula
(25)
at ang mga koepisyent ng pagpapalawak ng mga vector sa mga tuntunin ng mga vector ng bagong batayan na naaayon sa bagong plano ng sanggunian, ayon sa mga formula
(26)
Pagkatapos kalkulahin at ayon sa mga formula (25) at (26), ang kanilang mga halaga ay ipinasok sa talahanayan. 4. Ang mga elemento ng ika-hilera ng talahanayang ito ay maaaring kalkulahin alinman sa pamamagitan ng mga formula
(27)
(28)
o batay sa kanilang kahulugan.
Talahanayan 3
| i | Batayan | C b | P 0 | c 1 | c 2 | ... | c r | ... | c m | c m + 1 | ... | c k | ... | c n |
| P 1 | P 2 | ... | P r | ... | P m | P m + 1 | ... | P k | ... | P n | ||||
| 1 | P 1 | c 1 | b 1 | 1 | 0 | ... | 0 | ... | 0 | isang 1m + 1 | ... | isang 1k | ... | isang 1n |
| 2 | P 2 | c 2 | b 2 | 0 | 1 | ... | 0 | ... | 0 | isang 2m + 1 | ... | isang 2k | ... | isang 2n |
| : | : | : | : | : | : | : | : | : | : | : | : | : | : | : |
| r | P r | c r | b r | 0 | 0 | ... | 1 | ... | 0 | isang rm + 2 | ... | isang rk | ... | isang rn |
| : | : | : | : | : | : | : | : | : | : | : | : | : | : | : |
| m | P m | c m | b m | 0 | 0 | ... | 0 | ... | 1 | isang mm + 1 | ... | isang mk | ... | isang mn |
| m + 1 | F m | 0 | 0 | ... | 0 | ... | 0 | Δ m + 1 | ... | Δ k | ... | Δ n |
Talahanayan 4
| i | Baz ay |
C b | P 0 | c 1 | c 2 | ... | c r | ... | c m | c m + 1 | ... | c k | ... | c n |
| P 1 | P 2 | ... | P r | ... | P m | P m + 1 | ... | P k | ... | P n | ||||
| 1 | P 1 | c 1 | b 1 | 1 | 0 | ... | isang "1r | ... | 0 | isang "1m + 1 | ... | 0 | ... | isang "1n |
| 2 | P 2 | c 2 | b 2 | 0 | 1 | ... | isang "2r | ... | 0 | isang "2m + 1 | ... | 0 | ... | isang "2n |
| : | : | : | : | : | : | : | : | : | : | : | : | : | : | : |
| r | P r | c r | b r | 0 | 0 | ... | isang "rr | ... | 0 | isang "rm + 2 | ... | 1 | ... | isang "rn |
| : | : | : | : | : | : | : | : | : | : | : | : | : | : | : |
| m | P m | c m | b m | 0 | 0 | ... | isang "mr | ... | 1 | isang "mm + 1 | ... | 0 | ... | isang "mn |
| m + 1 | F m | 0 | 0 | ... | z "r -c r | ... | 0 | z "m + 1 -c m + 1 | ... | 0 | ... | z "n -c n |
Ang pagkakaroon ng dalawang paraan ng paghahanap ng mga elemento ng ika-linya ay nagpapahintulot sa iyo na kontrolin ang kawastuhan ng mga kalkulasyon.
Mula sa formula (27) sumusunod na kapag nagpasa mula sa isang baseline plan patungo sa isa pa, ito ay pinaka-kapaki-pakinabang na ipakilala sa batayan ang isang vector na mayroong index j, kung saan ang maximum sa absolute value ay ang numero 
... Gayunpaman, upang gawing simple ang proseso ng pagkalkula, sa hinaharap, ang vector na ipinakilala sa batayan ay tutukuyin batay sa pinakamataas na ganap na halaga ng mga negatibong numero. Kung mayroong ilang mga numero, pagkatapos ay ipapakilala namin sa batayan ang isang vector na may parehong index bilang ang maximum ng mga numero na tinutukoy ng mga numerong ito
Kaya, ang paglipat mula sa isang pangunahing plano patungo sa isa pa ay nabawasan sa paglipat mula sa isang simplex na talahanayan patungo sa isa pa. Ang mga elemento ng bagong talahanayan ng simplex ay maaaring kalkulahin kapwa sa tulong ng mga paulit-ulit na formula (25) - (28), at ayon sa mga patakaran na agad na sumusunod mula sa kanila. Ang mga tuntuning ito ay ang mga sumusunod.
Sa mga haligi ng mga vector na kasama sa batayan, sa intersection ng mga hilera at mga haligi ng mga vector na may parehong pangalan, ang mga ito ay inilalagay, at ang lahat ng iba pang mga elemento ng mga haligi na ito ay ipinapalagay na zero.
Ang mga elemento ng mga vector at sa linya ng bagong simplex na talahanayan, kung saan naitala ang vector na ipinasok sa batayan, ay nakuha mula sa mga elemento ng parehong linya ng orihinal na talahanayan sa pamamagitan ng paghahati sa kanila sa halaga ng elemento ng paglutas. Sa column sa linya ng input vector, ang halaga ay ibinababa, kung saan k – ang index ng input vector.
Ang natitirang bahagi ng mga elemento ng mga haligi ng vector at ang bagong simplex na talahanayan ay kinakalkula ayon sa tuntunin ng tatsulok. Upang kalkulahin ang alinman sa mga elementong ito, tatlong numero ang matatagpuan:
1) ang numerong nakatayo sa orihinal na simplex table bilang kapalit ng gustong elemento ng bagong simplex table;
2) ang numero na nakatayo sa orihinal na talahanayan ng simplex sa intersection ng linya kung saan matatagpuan ang nais na elemento ng bagong talahanayan ng simplex, at ang haligi na naaayon sa vector na ipinasok sa batayan;
3) ang numerong nakatayo sa bagong talahanayan ng simplex sa intersection ng column kung saan matatagpuan ang kinakailangang elemento at ang hilera ng vector na bagong ipinakilala sa batayan (tulad ng nabanggit sa itaas, ang hilera na ito ay nakuha mula sa hilera ng orihinal na simplex talahanayan sa pamamagitan ng paghahati ng mga elemento nito sa elemento ng paglutas).
Ang tatlong numerong ito ay bumubuo ng isang uri ng tatsulok, dalawang vertices na tumutugma sa mga numero sa orihinal na talahanayan ng simplex, at ang pangatlo sa numero sa bagong talahanayan ng simplex. Upang matukoy ang kinakailangang elemento ng bagong simplex na talahanayan, ang produkto ng pangalawa at pangatlo ay ibabawas mula sa unang numero.
Pagkatapos punan ang bagong simplex table, ang mga elemento ng -th row ay ini-scan. Kung iyon lang, ang bagong baseline ay pinakamainam. Kung mayroong mga negatibong numero sa mga ipinahiwatig na numero, kung gayon, gamit ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na inilarawan sa itaas, isang bagong reference na plano ang matatagpuan. Ipagpapatuloy ang prosesong ito hanggang sa makuha ang pinakamainam na plano ng problema, o maitatag ang undecidability nito.
Kapag naghahanap ng solusyon sa isang linear na problema sa programming, ipinapalagay namin na ang problemang ito ay may mga plano sa suporta at ang bawat naturang plano ay hindi degenerate. Kung ang problema ay may lumalalang mga baseline na plano, sa isa sa mga pag-ulit ay maaaring katumbas ng zero ang isa o higit pang mga variable ng baseline plan. Kaya, kapag lumipat mula sa isang reference plan patungo sa isa pa, ang halaga ng function ay maaaring manatiling pareho. Bukod dito, posible ang kaso kapag napanatili ng function ang halaga nito para sa ilang mga pag-ulit, at posible ring bumalik sa orihinal na batayan. Sa huling kaso, kadalasang sinasabi nila kung ano ang nangyari pag-loop. Gayunpaman, kapag nilulutas ang mga praktikal na problema, ang kasong ito ay napakabihirang, kaya't hindi namin ito pag-uusapan.
Kaya, ang paghahanap ng pinakamainam na plano gamit ang simplex na pamamaraan ay kinabibilangan ng mga sumusunod na hakbang:
1. Maghanap ng sanggunian sa plano.
2. Gumawa ng simplex table.
3. Alamin kung mayroong kahit isang negatibong numero. Kung hindi, kung gayon ang nahanap na baseline na plano ay pinakamainam. Kung may mga negatibong numero sa mga numero, maaaring itatag ng mga ito ang hindi malulutas ng problema, o pumunta sa isang bagong baseline na plano.
4. Hanapin ang column at row guides. Ang column ng direksyon ay tinutukoy ng pinakamalaking negatibong numero sa absolute value, at ang hilera ng direksyon ay ang minimum ng mga ratio ng mga bahagi ng column ng vector sa mga bahagi ng column ng positibong direksyon.
5. Sa pamamagitan ng mga formula (25) - (28) matukoy ang mga positibong bahagi ng bagong reference plan, ang mga coefficient ng vector expansion Pj sa pamamagitan ng mga vector ng bagong batayan at ang numero,. Ang lahat ng mga numerong ito ay naitala sa isang bagong talahanayan ng simplex.
6. Suriin ang nahanap na reference plan para sa pinakamainam. Kung ang plano ay hindi pinakamainam at ito ay kinakailangan upang lumipat sa isang bagong baseline na plano, pagkatapos ay bumalik sa yugto 4, at kung ang isang pinakamainam na plano ay nakuha o hindi malulutas ay naitatag, ang proseso ng paglutas ng problema ay magtatapos.
Halimbawa 9.
Para sa paggawa ng iba't ibang mga produkto A,V at C, ang kumpanya ay gumagamit ng tatlong magkakaibang uri ng hilaw na materyales. Mga rate ng pagkonsumo ng mga hilaw na materyales para sa produksyon ng isang produkto ng bawat uri, ang presyo ng isang produkto A,V at SA, pati na rin ang kabuuang halaga ng mga hilaw na materyales ng bawat uri na maaaring magamit ng negosyo ay ibinibigay sa talahanayan. 5.
Talahanayan 5
|
Uri ng hilaw na materyales |
Mga rate ng pagkonsumo ng hilaw na materyal (kg) bawat item |
Kabuuang halaga ng mga hilaw na materyales (kg) |
||
|
Presyo ng isang item (rub.) |
||||
Mga produkto A,V at SA ay maaaring gawin sa anumang ratio (nasisiguro ang mga benta), ngunit ang produksyon ay limitado sa mga hilaw na materyales ng bawat uri na inilalaan sa negosyo.
Gumuhit ng isang plano para sa paggawa ng mga produkto, kung saan ang kabuuang halaga ng lahat ng mga produkto na ginawa ng negosyo ay pinakamataas.
Solusyon. Gumawa tayo ng mathematical model ng problema. Hinanap na release ng mga produkto A tukuyin ng x 1, mga produkto V - sa pamamagitan ng, mga produkto MAY- sa kabila . Dahil may mga paghihigpit sa pondo ng bawat uri ng hilaw na materyal na inilalaan sa negosyo, dapat matugunan ng mga variable ang sumusunod na sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:
(29)
Ang kabuuang halaga ng mga produktong ginawa ng enterprise, napapailalim sa pagpapalabas ng x 1 na mga produkto A, mga produkto V at mga produkto SA ay
Ayon sa kanilang pang-ekonomiyang nilalaman, ang mga variable ay maaari lamang tumagal sa mga hindi negatibong halaga:
Kaya, dumating tayo sa sumusunod problema sa matematika: sa lahat ng di-negatibong solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay (29), kinakailangan na maghanap ng isa kung saan ang function (30) ay kumukuha ng pinakamataas na halaga nito.
Isulat natin ang problemang ito sa anyo ng isang pangunahing problema sa linear programming. Upang gawin ito, pumasa tayo mula sa mga hadlang sa hindi pagkakapantay-pantay hanggang sa mga hadlang sa pagkakapantay-pantay. Ipinakilala namin ang tatlong karagdagang mga variable, bilang isang resulta kung saan ang mga hadlang ay nakasulat sa anyo ng isang sistema ng mga equation
Sa mga terminong pang-ekonomiya, ang mga karagdagang variable na ito ay nangangahulugan ng dami ng mga hilaw na materyales ng isang uri o iba pa na hindi ginagamit sa isang ibinigay na plano sa produksyon. Halimbawa, – ito ang hindi nagamit na dami ng uri I raw na materyales.
Isinulat namin ang binagong sistema ng mga equation sa vector form:
Dahil kabilang sa mga vectors 
mayroong tatlong unit vectors, para sa gawaing ito maaari mong direktang isulat ang reference plan. Ito ang plano NS= (0; 0; 0; 360; 192; 180), na tinukoy ng isang sistema ng mga three-dimensional na unit vector na bumubuo sa batayan ng isang three-dimensional na vector space.
Gumuhit kami ng isang simplex na talahanayan para sa pag-ulit ng I (Talahanayan 6), kalkulahin ang mga halaga at suriin ang orihinal na plano ng baseline para sa pinakamainam:
Para sa mga batayang vector
Talahanayan 6
|
R 5 |
Tulad ng makikita mula sa Talahanayan 6, ang mga halaga ng lahat ng mga pangunahing variable ay katumbas ng zero, at ang mga karagdagang variable ay kumukuha ng kanilang mga halaga alinsunod sa mga hadlang ng problema. Ang mga halagang ito ng mga variable ay tumutugma sa isang "plano" kung saan walang ginawa, hindi ginagamit ang mga hilaw na materyales, at ang halaga ng layunin ng pag-andar ay katumbas ng zero (iyon ay, walang gastos sa paggawa). Ang planong ito, siyempre, ay hindi pinakamainam.
Ito ay makikita mula sa ika-4 na linya ng talahanayan. 6, dahil mayroong tatlong negatibong numero sa loob nito: at Ang mga negatibong numero ay hindi lamang nagpapahiwatig ng posibilidad na tumaas ang kabuuang halaga ng produksyon, ngunit ipinapakita din kung magkano ang halagang ito ay tataas kapag ang isang yunit ng ito o ganoong uri ng produkto ay ipinakilala sa plano.
Kaya, ang bilang - 9 ay nangangahulugan na kapag ang isang produkto ay kasama sa plano ng produksyon A isang pagtaas sa produksyon ng 9 rubles ay natiyak. Kung ang isang item ay kasama sa plano ng produksyon V at C, kung gayon ang kabuuang halaga ng mga produktong gawa ay tataas ng 10 at 16 na rubles, ayon sa pagkakabanggit. Samakatuwid, mula sa isang pang-ekonomiyang punto ng view, ang pinaka-kapaki-pakinabang ay ang pagsasama sa plano ng produksyon ng mga produkto SA. Ang parehong ay dapat gawin batay sa pormal na tampok ng simplex na paraan, dahil ang maximum na negatibong numero sa ganap na halaga ay nasa ika-4 na hilera ng column ng vector R 3. Samakatuwid, sa batayan ipinakilala namin ang vector R 3. tinutukoy namin ang vector na ibubukod sa batayan. Para dito nahanap namin
Ang pagkakaroon ng natagpuan ang numero, sa gayon namin, mula sa isang pang-ekonomiyang punto ng view, tinutukoy kung gaano karaming mga produkto SA ang negosyo ay maaaring gumawa, na isinasaalang-alang ang mga rate ng pagkonsumo at ang magagamit na mga volume ng mga hilaw na materyales ng bawat uri. Dahil ang mga hilaw na materyales ng ganitong uri, ayon sa pagkakabanggit, mayroong 360, 192 at 180 kg, at para sa isang produkto SA kinakailangang gumastos ng mga hilaw na materyales ng bawat uri, ayon sa pagkakabanggit, 12, 8 at 3 kg, pagkatapos ay ang maximum na bilang ng mga produkto SA, na maaaring gawin ng enterprise, ay katumbas ng 
i.e. isang salik na naglilimita para sa produksyon ng mga produkto SA ay ang magagamit na dami ng mga hilaw na materyales ng uri II. Isinasaalang-alang ang pagkakaroon nito, ang negosyo ay maaaring gumawa ng 24 na mga item SA. Sa kasong ito, ang hilaw na materyal ng uri ng II ay ganap na gagamitin.
Samakatuwid, ang vector R 5 ay dapat na hindi kasama sa batayan. Vector column R Ang 3 hanggang 2nd row ay mga gabay. Gumuhit kami ng isang talahanayan para sa II pag-ulit (Talahanayan 7).
Talahanayan 7
|
P 4 p 3 |
Una, pinupunan namin ang linya ng vector, na bagong ipinasok sa batayan, iyon ay, ang linya na ang numero ay nag-tutugma sa bilang ng gabay na linya. Narito ang gabay ay ang ika-2 linya. Mga elemento ng linyang ito ng talahanayan. 7 ay nakuha mula sa kaukulang mga elemento ng talahanayan 6 sa pamamagitan ng paghahati sa kanila sa paglutas ng elemento (i.e., sa pamamagitan ng 8). At saka, sa column C b isinulat namin ang koepisyent sa haligi ng vector na ipinasok sa batayan. Pagkatapos ay pinunan namin ang mga elemento ng mga haligi para sa mga vector na kasama sa bagong batayan. Sa mga column na ito, sa intersection ng mga row at column ng mga vector na may parehong pangalan, inilalagay namin ang mga iyon, at ang lahat ng iba pang elemento ay nakatakdang katumbas ng zero.
Upang matukoy ang natitirang mga elemento ng talahanayan. 7 ilapat ang tuntuning tatsulok. Maaaring direktang kalkulahin ang mga elementong ito gamit ang mga paulit-ulit na formula.
Kalkulahin natin ang mga elemento ng talahanayan. 7 nakatayo sa isang column vector R 0. Ang una ay nasa 1st row ng column na ito. Upang kalkulahin ito, nakahanap kami ng tatlong numero:
1) ang numero sa talahanayan. 6 sa intersection ng column ng vector R 0 at 1st line (360);
2) ang numero sa talahanayan. 6 sa intersection ng column ng vector P 3rd at 1st lines (12);
3) ang numero sa talahanayan. 7 sa intersection ng vector column R 0 at ika-2 linya (24).
Ang pagbabawas ng produkto ng iba pang dalawa mula sa unang numero, nakita namin ang kinakailangang elemento: 360 - 12 x 24 = 72; isinulat namin ito sa 1st row ng vector column R 0 tab. 7.
Pangalawang column na elemento ng vector R 0 tab. 7 ay nakalkula na kanina. Upang kalkulahin ang ikatlong elemento ng haligi ng vector R Nakahanap din ang 0 ng tatlong numero. Ang una sa kanila (180) ay matatagpuan sa intersection ng 3rd row at column ng vector R 0 tab. 6, ang pangalawa (3) - sa intersection ng ika-3 hilera at ang haligi ng vector P 3 tab. 6, ang pangatlo (24) - sa intersection ng 2nd row at ang column ng vector R 0 tab. 8. Kaya, ang ipinahiwatig na elemento ay 180 - 24 x 3 = 108. Isinulat namin ang numero 108 sa ika-3 hilera ng haligi ng vector R 0 tab. 7.
Ibig sabihin F 0 sa ika-4 na row ng column ng parehong vector ay matatagpuan sa dalawang paraan:
1) sa pamamagitan ng formula, i.e.
2) ayon sa tuntunin ng tatsulok; sa kasong ito, ang tatsulok ay nabuo sa pamamagitan ng mga numero 0, -16, 24. Ang pamamaraang ito ay humahantong sa parehong resulta: 0 - (-16) x 24 = 384.
Kapag ginagamit ang panuntunang tatsulok upang matukoy ang mga elemento ng column ng vector R 0 ang ikatlong numero, na nakatayo sa ibabang tuktok ng tatsulok, ay nanatiling hindi nagbabago sa lahat ng oras at ang unang dalawang numero lamang ang nagbago. Isasaalang-alang namin ito kapag hinahanap ang mga elemento ng column ng vector P 1 tab. 7. Upang kalkulahin ang mga ipinahiwatig na elemento, kinukuha namin ang unang dalawang numero mula sa mga haligi ng mga vector P 1 at R 3 tab. 6, at ang pangatlong numero ay mula sa talahanayan. 7. Ang numerong ito ay nakatayo sa intersection ng 2nd row at column ng vector P 1 sa huling talahanayan. Bilang resulta, nakukuha namin ang mga halaga ng mga kinakailangang elemento: 18 - 12 x (3/4) = 9; 5 - 3 x (3/4) = 11/4.
Numero sa ika-4 na hanay ng column ng vector P 1 tab. 7 ay matatagpuan sa dalawang paraan:
1) sa pamamagitan ng formula Z 1 -C 1 = (C, P 1) -C 1 mayroon kami
2) sa pamamagitan ng patakarang tatsulok na nakukuha natin
Katulad nito, nakikita natin ang mga elemento ng column ng vector P 2 .
Mga elemento ng haligi ng vector R 5 ay kinakalkula ayon sa tuntunin ng tatsulok. Gayunpaman, iba ang hitsura ng mga tatsulok na ginawa upang tukuyin ang mga elementong ito.
Kapag kinakalkula ang elemento ng 1st row ng tinukoy na column, ang isang tatsulok na nabuo ng mga numero 0.12 at 1/8 ay nakuha. Samakatuwid, ang kinakailangang elemento ay 0 - 12x (1/8) = -3/2. Ang item sa ika-3 row ng column na ito ay 0 - 3 x (1/8) = -3/8.
Sa dulo ng pagkalkula ng lahat ng mga elemento ng talahanayan. 7, isang bagong disenyo ng sanggunian at ang mga coefficient ng pagpapalawak ng vector sa mga tuntunin ng mga batayang vectors P 4, P 3, P 6 at ang mga halaga at . Gaya ng nakikita mo mula sa talahanayang ito, ang bagong baseline na plano para sa gawain ay ang plano X= (0; 0; 24; 72; 0; 108). Sa plano ng produksyon na ito, 24 na produkto ang ginawa SA at 72 kg ng hilaw na materyales ng unang uri at 108 kg ng hilaw na materyales ng ikatlong uri ay nananatiling hindi ginagamit. Ang halaga ng lahat ng mga produkto na ginawa sa ilalim ng planong ito ay 384 rubles. Ang mga tinukoy na numero ay nakasulat sa column ng vector R 0 tab. 7. Gaya ng nakikita mo, ang data sa column na ito ay kumakatawan pa rin sa mga parameter ng problemang isinasaalang-alang, bagama't sila ay dumaan sa mga makabuluhang pagbabago. Ang data para sa iba pang mga column ay nagbago rin, at ang kanilang pang-ekonomiyang nilalaman ay naging mas kumplikado. Kaya, halimbawa, kunin ang data ng column ng vector R 2 . Ang bilang na 1/2 sa 2nd row ng column na ito ay nagpapakita kung gaano kalaki ang dapat bawasan ng produksyon ng mga produkto. SA kung plano mong maglabas ng isang produkto V. Ang mga numero 9 at 3/2 sa 1st at 3rd na linya ng vector P 2 ay nagpapakita, ayon sa pagkakabanggit, kung gaano karaming mga hilaw na materyales ng mga uri ng I at II ang kinakailangan kapag ang isang produkto ay kasama sa plano ng produksyon V, at ang numero - 2 sa ika-4 na linya ay nagpapakita na kung ang pagpapalabas ng isang produkto ay binalak V, pagkatapos ay magbibigay ito ng pagtaas sa output ng produkto sa mga tuntunin ng halaga ng 2 rubles. Sa madaling salita, kung ang isang produkto ay kasama sa plano ng produksyon V, pagkatapos ay mangangailangan ito ng pagbaba sa output ng produkto SA 1/2 unit at mangangailangan ng karagdagang gastos ng 9 kg ng mga hilaw na materyales ng uri I at 3/2 kg ng mga hilaw na materyales ng uri III, at ang kabuuang halaga ng mga ginawang produkto alinsunod sa bagong pinakamainam na plano ay tataas ng 2 rubles. Kaya, ang mga numero 9 at 3/2 ay kumikilos na parang ang mga bagong "pamantayan" ng pagkonsumo ng mga hilaw na materyales ng mga uri ng I at III para sa paggawa ng isang produkto V(tulad ng makikita mula sa Talahanayan 6, mas maaga sila ay katumbas ng 15 at 3), na ipinaliwanag sa pamamagitan ng pagbaba sa output ng mga produkto SA.
Ang data sa column ng vector ay may parehong pang-ekonomiyang kahulugan. R 1 tab. 7. Ang mga numerong nakasulat sa column ng vector ay may bahagyang naiibang economic content. R 5 . Ang bilang na 1/8 sa ika-2 hilera ng hanay na ito ay nagpapakita na ang pagtaas sa dami ng mga hilaw na materyales ng uri II ng 1 kg ay magbibigay-daan sa pagtaas ng output ng mga produkto SA ng 1/8 units. Kasabay nito, kakailanganin ng karagdagang 3/2 kg ng type I raw na materyales at 3/8 kg ng type III raw na materyales. Pagtaas sa output ng produkto SA ng 1/8 units. hahantong sa pagtaas ng produksyon ng 2 rubles.
Mula sa itaas na pang-ekonomiyang nilalaman ng talahanayan ng data. 7 sumusunod na ang plano ng problema na natagpuan sa II pag-ulit ay hindi optimal. Ito ay makikita mula sa ika-4 na linya ng talahanayan. 7, dahil sa column ng vector P 2 ng linyang ito ay naglalaman ng negatibong numero - 2. Kaya, ang vector ay dapat ilagay sa batayan P 2, iyon ay, ang bagong plano ay dapat magbigay para sa pagpapalabas ng mga produkto V. Kapag tinutukoy ang posibleng bilang ng produksyon ng mga produkto V ang magagamit na halaga ng mga hilaw na materyales ng bawat uri ay dapat isaalang-alang, katulad: ang posibleng paglabas ng mga produkto V ay tinukoy para sa, ibig sabihin, nahanap namin
Samakatuwid, ang vector R 4 sa madaling salita, paglabas ng produkto V nililimitahan ng uri I raw na materyales sa pagtatapon ng negosyo. Isinasaalang-alang ang magagamit na mga volume ng hilaw na materyal na ito, ang negosyo ay dapat gumawa ng 8 mga produkto V. Ang numero 9 ay ang elemento ng paglutas, at ang haligi ng vector P 2nd at 1st row ng table. 7 ay mga gabay. Gumuhit kami ng isang talahanayan para sa III pag-ulit (Talahanayan 8).
Talahanayan 8
|
P 2 P 3 |
mesa 8 unang punan namin ang mga elemento ng 1st line, na kung saan ay ang linya ng vector na bagong ipinakilala sa batayan R 2 . Ang mga elemento ng linyang ito ay nakuha mula sa mga elemento ng unang linya ng talahanayan. 7 sa pamamagitan ng paghahati sa huli sa elemento ng paglutas (i.e., sa pamamagitan ng 9). At saka, sa column C b ng linyang ito, sumulat .
Pagkatapos ay pinunan namin ang mga elemento ng mga haligi ng mga vector ng batayan at, ayon sa panuntunan ng tatsulok, kalkulahin ang mga elemento ng natitirang mga haligi. Bilang isang resulta, sa talahanayan. 8 pagkuha ng bagong baseline X= (0; 8; 20; 0; 0; 96) at ang mga koepisyent ng pagpapalawak ng vector sa mga tuntunin ng mga batayang vector at ang kaukulang mga halaga at
Sinusuri namin kung ang ibinigay na baseline plan ay pinakamainam o hindi. Upang gawin ito, isaalang-alang ang ika-4 na hilera, talahanayan. 8. Walang mga negatibong numero sa linyang ito. Nangangahulugan ito na ang nahanap na reference plan ay pinakamainam at
Samakatuwid, isang plano sa produksyon na kinabibilangan ng paggawa ng 8 mga produkto V at 20 produkto SA, ay pinakamainam. Sa planong ito para sa paggawa ng mga produkto, ang mga hilaw na materyales ng mga uri ng I at II ay ganap na ginagamit, at 96 kg ng mga hilaw na materyales ng uri III ay nananatiling hindi ginagamit, at ang halaga ng mga produktong gawa ay 400 rubles.
Ang pinakamainam na plano sa produksyon ay hindi nagbibigay para sa paggawa ng mga produkto A. Panimula sa plano ng produksyon ng mga produkto ng uri A ay hahantong sa pagbaba sa ipinahiwatig na kabuuang gastos. Ito ay makikita mula sa ika-4 na hanay ng column ng vector P 1, kung saan ang numero 5 ay nagpapakita na, para sa isang partikular na plano, ang pagsasama dito ng paglabas ng isang yunit ng produkto A humahantong lamang sa isang pagbawas sa kabuuang halaga ng gastos ng 5 rubles.
Ang solusyon ng halimbawang ito sa pamamagitan ng simplex na pamamaraan ay maaaring isagawa gamit lamang ang isang talahanayan (Talahanayan 9). Sa talahanayang ito, ang lahat ng tatlong pag-ulit ng proseso ng computational ay sunud-sunod na isinulat nang sunud-sunod.
Talahanayan 9
|
R 5 P 4 p 3 P 2 p 3 |
||||||||||
Tulad ng nakikita mo mula sa talahanayan. 10, ang orihinal na reference plan ay hindi optimal. Samakatuwid, lumipat kami sa isang bagong baseline na plano. Magagawa ito, dahil sa mga haligi ng mga vector P 1 at p 5, ang ika-4 na linya kung saan naglalaman ng mga negatibong numero, mayroong mga positibong elemento. Upang maipasa sa isang bagong reference plan, ipinakilala namin sa batayan ang vector p 5 at ibukod mula sa batayan ang vector p 4 . Gumuhit kami ng isang talahanayan para sa pag-ulit ng II.
Talahanayan 11
Tulad ng nakikita mo mula sa talahanayan. 11, ang bagong pangunahing plano ng problema ay hindi pinakamainam, dahil sa ika-4 na hilera ng haligi ng vector P 1 ay negatibo -11/3. Dahil walang mga positibong elemento sa column ng vector na ito, ang problemang ito ay walang pinakamainam na disenyo.
Narito ang isang manu-manong (hindi isang applet) na solusyon ng dalawang problema sa pamamagitan ng simplex na pamamaraan (katulad ng solusyon ng isang applet) na may mga detalyadong paliwanag upang maunawaan ang algorithm para sa paglutas ng mga problema gamit ang simplex na paraan. Ang unang problema ay naglalaman ng mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay lamang na "≤" (isang problema na may paunang batayan), ang pangalawa ay maaaring maglaman ng mga palatandaan na "≥", "≤" o "=" (isang problema sa isang artipisyal na batayan), ang mga ito ay nalutas sa iba't ibang paraan .
Simplex na pamamaraan, paglutas ng isang problema na may paunang batayan
1)Simplex na pamamaraan para sa isang problema na may paunang batayan (lahat ng mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay-mga hadlang "≤").
Isulat natin ang gawain sa kanonikal anyo, i.e. Ang mga hadlang sa hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat bilang mga pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagdaragdag balanse sheet mga variable:
Ang sistemang ito ay isang sistemang may batayan (basis s 1, s 2, s 3, bawat isa sa kanila ay kasama sa isang equation lamang ng system na may coefficient 1), x 1 at x 2 ay mga libreng variable. Ang mga problema, sa solusyon kung saan ginagamit ang simplex na paraan, ay dapat magkaroon ng sumusunod na dalawang katangian: - ang sistema ng mga hadlang ay dapat na isang sistema ng mga equation na may batayan; - ang mga libreng termino ng lahat ng mga equation sa system ay dapat na hindi negatibo.
Ang resultang sistema ay isang sistemang may batayan at ang mga libreng tuntunin nito ay hindi negatibo; samakatuwid, maaari tayong mag-apply paraan ng simplex... Buuin natin ang unang simplex na talahanayan (Iterasyon 0) upang malutas ang problema sa paraan ng simplex, ibig sabihin. isang talahanayan ng mga coefficient ng layunin ng function at isang sistema ng mga equation para sa mga kaukulang variable. Dito ang "BP" ay nangangahulugang ang haligi ng mga pangunahing variable, "Solusyon" - ang haligi ng kanang bahagi ng mga equation ng system. Ang solusyon ay hindi optimal dahil may mga negatibong coefficient sa z - row.
simplex method iteration 0
|
Saloobin |
|||||||
Upang mapabuti ang solusyon, magpatuloy tayo sa susunod na pag-ulit paraan ng simplex, nakukuha namin ang sumusunod na simplex na talahanayan. Upang gawin ito, kailangan mong pumili permissive column, ibig sabihin. isang variable na isasama sa batayan sa susunod na pag-ulit ng simplex na paraan. Ito ay pinili ng pinakamalaking modulo negatibong koepisyent sa z-row (sa pinakamataas na problema) - sa paunang pag-ulit ng simplex na pamamaraan, ito ay column x 2 (coefficient -6).
Pagkatapos ay napili permissive string, ibig sabihin. ang variable na lalabas sa batayan sa susunod na pag-ulit ng simplex na paraan. Pinipili ito ng pinakamaliit na ratio ng column na "Desisyon" sa mga katumbas na positibong elemento ng column ng pagresolba (ang column na "Ratio") - sa paunang pag-ulit, ito ang row s 3 (coefficient 20).
Permissive na elemento ay matatagpuan sa intersection ng resolving column at ang resolving row, ang cell nito ay naka-highlight, ito ay katumbas ng 1. Samakatuwid, sa susunod na pag-ulit ng simplex method, ang variable x 2 ay papalitan ang s 1 sa batayan. Tandaan na ang kaugnayan ay hindi hinanap sa z-line; isang gitling "-" ang inilalagay doon. Kung mayroong parehong minimum na relasyon, kung gayon ang alinman sa mga ito ay pipiliin. Kung ang lahat ng mga coefficient sa column ng paglutas ay mas mababa sa o katumbas ng 0, kung gayon ang solusyon sa problema ay walang hanggan.
Punan natin ang sumusunod na talahanayan na "Iterasyon 1". Makukuha natin ito mula sa talahanayang "Iterasyon 0". Ang layunin ng mga karagdagang pagbabago ay gawing isa ang column ng paglutas x 2 (na may isa sa halip na elemento ng paglutas at mga zero sa halip na iba pang mga elemento).
1) Pagkalkula ng row x 2 ng table na "Iteration 1". Una, hinahati namin ang lahat ng miyembro ng row sa pagresolba s 3 ng talahanayang "Iteration 0" sa elemento ng paglutas (ito ay katumbas ng 1 sa kasong ito) ng talahanayang ito, nakukuha namin ang row x 2 sa talahanayan ng Iteration 1. kasi ang elemento ng paglutas sa kasong ito ay katumbas ng 1, pagkatapos ay ang row s 3 ng talahanayan na "Iteration 0" ay magkakasabay sa row x 2 ng table na "Iteration 1". Nakuha namin ang row x 2 ng table na "Iteration 1" 0 1 0 0 1 20, ang natitirang mga row ng table na "Iteration 1" ay makukuha mula sa row na ito at ang mga row ng table na "Iteration 0" gaya ng sumusunod:
2) Pagkalkula ng z-row ng talahanayang "Iteration 1". Sa halip na -6 sa unang row (z-row) sa column x 2 ng Iteration 0 table, dapat mayroong 0 sa unang row ng Iteration 1 table. Upang gawin ito, i-multiply namin ang lahat ng mga elemento ng row x 2 ng talahanayan na "Iteration 1" 0 1 0 0 1 20 by 6, makakakuha tayo ng 0 6 0 0 6 120 at idagdag ang row na ito sa unang row (z - row) ng talahanayan na "Iteration 0" -4 -6 0 0 0 0, nakukuha natin -4 0 0 0 6 120. Sa column x 2, lilitaw ang zero 0, ang layunin ay nakamit. Ang mga elemento ng column ng resolution x 2 ay naka-highlight sa pula.
3) Pagkalkula ng row s 1 ng table na "Iteration 1". Sa lugar na 1 sa s 1 na hanay ng talahanayang "Iteration 0", dapat mayroong 0 sa talahanayang "Iteration 1". Upang gawin ito, i-multiply namin ang lahat ng mga elemento ng row x 2 ng talahanayan na "Iteration 1" 0 1 0 0 1 20 by -1, makakakuha tayo ng 0 -1 0 0 -1 -20 at idagdag ang row na ito na may s 1 - ang row ng table na "Iteration 0" 2 1 1 0 0 64, nakukuha namin ang row 2 0 1 0 -1 44. Sa column x 2 nakuha namin ang kinakailangang 0.
4) Pagkalkula ng row s 2 ng table na "Iteration 1". Sa lugar na 3 sa s 2 na hilera ng talahanayang "Iteration 0", dapat mayroong 0 sa talahanayang "Iteration 1". Upang gawin ito, pinarami namin ang lahat ng mga elemento ng row x 2 ng talahanayan na "Iteration 1" 0 1 0 0 1 20 sa -3, makakakuha tayo ng 0 -3 0 0 -3 -60 at idagdag ang row na ito na may s 1 - ang hilera ng talahanayan na "Iteration 0" 1 3 0 1 0 72, nakukuha namin ang row 1 0 0 1 -3 12. Sa column x 2, nakuha ang kinakailangang 0. Ang Column x 2 sa table na "Iteration 1" ay naging isa , naglalaman ito ng isa 1 at ang natitira ay 0.
Ang mga hilera ng talahanayang "Iterasyon 1" ay nakuha ayon sa sumusunod na panuntunan:
Bagong Hilera = Old Row - (Resolution Column Factor ng Old Row) * (Bagong Resolution Row).
Halimbawa, para sa z-line na mayroon kami:
Lumang z-line (-4 -6 0 0 0 0) - (- 6) * Bagong linya ng pagresolba - (0 -6 0 0 -6 -120) = Bagong z-line (-4 0 0 0 6 120).
Para sa mga sumusunod na talahanayan, ang muling pagkalkula ng mga elemento ng talahanayan ay ginagawa sa parehong paraan, kaya tinanggal namin ito.
simplex method na pag-ulit 1
|
Saloobin |
|||||||
Pinapayagan ang column x 1, ang paglutas ng row s 2, s 2 ay umalis sa batayan, x 1 ang pumapasok sa batayan. Sa eksaktong parehong paraan, nakukuha namin ang natitirang mga talahanayan ng simplex hanggang sa makuha namin ang isang talahanayan na may lahat ng positibong coefficient sa z-row. Ito ay isang tanda ng isang pinakamainam na talahanayan.
simplex method na pag-ulit 2
|
Saloobin |
|||||||
Ang paglutas ng column s 3, ang resolving row s 1, s 1 ay umalis sa batayan, s 3 ay pumapasok sa batayan.
simplex method na pag-ulit 3
|
Saloobin |
|||||||
Sa z-row, ang lahat ng mga coefficient ay hindi negatibo, samakatuwid, ang pinakamainam na solusyon ay x 1 = 24, x 2 = 16, z max = 192.
