Bilog ng numero. Trigonometric na bilog

Sa araling ito ay aalalahanin natin ang kahulugan ng isang linya ng numero at magbibigay ng bagong kahulugan ng isang bilog na numero. Isasaalang-alang din namin nang detalyado ang isang mahalagang katangian ng bilog ng numero at mahahalagang punto sa bilog. Tukuyin natin ang direkta at kabaligtaran na mga problema para sa bilog ng numero at lutasin ang ilang mga halimbawa ng gayong mga problema.

Paksa: Trigonometric functions

Aralin: Bilugan ng Bilang

Para sa anumang function, ang independiyenteng argumento ay ipinagpaliban alinman sa pamamagitan ng linya ng numero, o sa isang bilog. Ilarawan natin ang parehong linya ng numero at bilog na numero.

Ang tuwid na linya ay nagiging isang numero (coordinate) na linya kung ang pinagmulan ng mga coordinate ay minarkahan at ang direksyon at sukat ay pinili (Larawan 1).

Ang linya ng numero ay nagtatatag ng isa-sa-isang sulat sa pagitan ng lahat ng mga punto sa linya at lahat ng tunay na numero.

Halimbawa, kumuha kami ng isang numero at inilalagay ito sa coordinate axis, nakakakuha kami ng isang punto. Kumuha kami ng isang numero at inilalagay ito sa axis, nakakuha kami ng isang punto (Fig. 2).

At kabaligtaran, kung kukuha tayo ng anumang punto sa linya ng coordinate, pagkatapos ay mayroong isang natatanging tunay na numero na naaayon dito (Larawan 2).

Hindi kaagad nakarating ang mga tao sa ganoong sulat. Upang maunawaan ito, tandaan natin ang mga pangunahing hanay ng numero.

Una naming ipinakilala ang isang hanay ng mga natural na numero

Pagkatapos ay isang hanay ng mga integer

Set ng mga rational na numero

Ipinapalagay na ang mga set na ito ay magiging sapat, at magkakaroon ng isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng lahat ng mga makatwirang numero at puntos sa isang linya. Ngunit lumabas na mayroong hindi mabilang na mga puntos sa linya ng numero na hindi maaaring ilarawan ng mga numero ng form

Ang isang halimbawa ay ang hypotenuse ng isang right triangle na may mga binti 1 at 1. Ito ay pantay (Larawan 3).

Sa hanay ng mga rational na numero, mayroon bang numerong eksaktong katumbas ng Hindi, wala. Patunayan natin ang katotohanang ito.

Patunayan natin ito sa pamamagitan ng kontradiksyon. Ipagpalagay natin na mayroong isang fraction na katumbas ng i.e.

Pagkatapos ay parisukat namin ang magkabilang panig. Malinaw, ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay nahahati ng 2, . Nangangahulugan ito at Pagkatapos Ngunit pagkatapos at A ay nangangahulugang Pagkatapos ay lumalabas na ang fraction ay mababawasan. Ito ay sumasalungat sa kondisyon, ibig sabihin

Ang bilang ay hindi makatwiran. Ang hanay ng mga rational at irrational na mga numero ay bumubuo sa hanay ng mga tunay na numero Kung kukuha tayo ng anumang punto sa isang linya, ang ilang tunay na numero ay tumutugma dito. At kung kukuha tayo ng anumang tunay na numero, magkakaroon ng isang puntong katumbas nito sa linya ng coordinate.

Linawin natin kung ano ang isang bilog na numero at ano ang mga ugnayan sa pagitan ng hanay ng mga punto sa bilog at ng hanay ng mga tunay na numero.

Pinagmulan - punto A. Nagbibilang ng direksyon - counterclockwise - positibo, clockwise - negatibo. Scale - circumference (Larawan 4).

Ipinakilala ang tatlong probisyong ito, mayroon tayo bilog na numero. Ipapahiwatig namin kung paano magtalaga ng isang punto sa isang bilog sa bawat numero at vice versa.

Sa pamamagitan ng pagtatakda ng numero nakakakuha tayo ng punto sa bilog

Ang bawat tunay na numero ay tumutugma sa isang punto sa bilog. Paano naman ang baligtad?

Ang tuldok ay tumutugma sa numero. At kung kukuha tayo ng mga numero, ang lahat ng mga numerong ito ay may isang punto lamang sa kanilang larawan sa bilog

Halimbawa, tumutugma sa punto B(Larawan 4).

Kunin natin ang lahat ng mga numero. Lahat sila ay tumutugma sa punto. B. Walang isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng lahat ng tunay na numero at puntos sa isang bilog.

Kung mayroong isang nakapirming numero, pagkatapos ay isang punto lamang sa bilog ang tumutugma dito

Kung mayroong isang punto sa isang bilog, pagkatapos ay mayroong isang hanay ng mga numero na naaayon dito

Hindi tulad ng isang tuwid na linya, ang isang coordinate na bilog ay walang isa-sa-isang sulat sa pagitan ng mga puntos at numero. Ang bawat numero ay tumutugma sa isang punto lamang, ngunit ang bawat punto ay tumutugma sa isang walang katapusang bilang ng mga numero, at maaari nating isulat ang mga ito.

Tingnan natin ang mga pangunahing punto sa bilog.

Binigyan ng numero, hanapin kung saang punto sa bilog ito tumutugma.

Ang paghahati ng arko sa kalahati, nakakakuha kami ng isang punto (Larawan 5).

Baliktad na problema: binigyan ng isang punto sa gitna ng isang arko, hanapin ang lahat ng tunay na numero na tumutugma dito.

Markahan natin ang lahat ng maramihang mga arko sa bilog ng numero (Larawan 6).

Mga arko na multiple ng

Isang numero ang ibinigay. Kailangan mong hanapin ang kaukulang punto.

Baliktad na problema - binigyan ng isang punto, kailangan mong hanapin kung aling mga numero ang tumutugma sa.

Tiningnan namin ang dalawang karaniwang gawain sa dalawang kritikal na punto.

a) Maghanap ng isang punto sa bilog ng numero na may coordinate

Pagkaantala mula sa punto A ito ay dalawang buong pagliko at isa pang kalahati, at nakakakuha kami ng isang punto M- ito ang gitna ng ikatlong quarter (Larawan 8).

Sagot. Dot M- kalagitnaan ng ikatlong quarter.

b) Maghanap ng isang punto sa bilog na numero na may coordinate

Pagkaantala mula sa punto A isang buong pagliko at nakakakuha pa rin kami ng isang punto N(Larawan 9).

Sagot: Punto N ay nasa unang quarter.

Tiningnan namin ang number line at ang number circle at naalala namin ang features nila. Ang isang espesyal na tampok ng linya ng numero ay ang isa-sa-isang sulat sa pagitan ng mga punto ng linyang ito at ang hanay ng mga tunay na numero. Walang ganoong one-to-one na sulat sa bilog. Ang bawat tunay na numero sa bilog ay tumutugma sa isang punto, ngunit ang bawat punto sa numero ng bilog ay tumutugma sa isang walang katapusang bilang ng mga tunay na numero.

Sa susunod na aralin ay titingnan natin ang bilog na numero sa coordinate plane.

Listahan ng mga sanggunian sa paksang "Numero ng bilog", "Ituro sa isang bilog"

1. Algebra at simula ng pagsusuri, grade 10 (sa dalawang bahagi). Teksbuk para sa mga institusyong pangkalahatang edukasyon (antas ng profile), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra at simula ng pagsusuri, grade 10 (sa dalawang bahagi). Problema ng libro para sa mga institusyong pang-edukasyon (profile level), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra at mathematical analysis para sa grade 10 (textbook para sa mga mag-aaral ng mga paaralan at mga klase na may malalim na pag-aaral ng matematika). - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Malalim na pag-aaral ng algebra at mathematical analysis.-M.: Education, 1997.

5. Koleksyon ng mga problema sa matematika para sa mga aplikante sa mas mataas na institusyong pang-edukasyon (na-edit ni M.I. Skanavi). - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraic simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Mga problema sa algebra at mga prinsipyo ng pagsusuri (isang manwal para sa mga mag-aaral sa mga baitang 10-11 ng mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon). - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Koleksyon ng mga problema sa algebra at mga prinsipyo ng pagsusuri: aklat-aralin. allowance para sa 10-11 grades. may lalim pinag-aralan Mathematics.-M.: Edukasyon, 2006.

Takdang aralin

Algebra at simula ng pagsusuri, grade 10 (sa dalawang bahagi). Problema ng libro para sa mga institusyong pang-edukasyon (profile level), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 11.6 - 11.12, 11.15 - 11.17.

Mga karagdagang mapagkukunan sa web

3. Portal na pang-edukasyon para sa paghahanda ng pagsusulit ().

Mga coordinate x Ang mga puntos na nakahiga sa bilog ay katumbas ng cos(θ), at ang mga coordinate y tumutugma sa sin(θ), kung saan ang θ ay ang magnitude ng anggulo.

• Kung nahihirapan kang tandaan ang panuntunang ito, tandaan lamang na sa pares (cos; sin) “the sine comes last.”
• Ang panuntunang ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa mga tamang tatsulok at ang kahulugan ng mga trigonometrikong pag-andar na ito (ang sine ng isang anggulo ay katumbas ng ratio ng haba ng kabaligtaran, at ang cosine ng katabing bahagi sa hypotenuse).

Isulat ang mga coordinate ng apat na puntos sa bilog. Ang "unit circle" ay isang bilog na ang radius ay katumbas ng isa. Gamitin ito upang matukoy ang mga coordinate x At y sa apat na punto ng intersection ng coordinate axes sa bilog. Sa itaas, para sa kalinawan, itinalaga namin ang mga puntong ito bilang "silangan", "hilaga", "kanluran" at "timog", bagaman wala silang itinatag na mga pangalan.

• Ang "Silangan" ay tumutugma sa punto na may mga coordinate (1; 0) .
• Ang "North" ay tumutugma sa punto na may mga coordinate (0; 1) .
• Ang "Kanluran" ay tumutugma sa punto na may mga coordinate (-1; 0) .
• Ang "South" ay tumutugma sa punto na may mga coordinate (0; -1) .
• Ito ay katulad ng isang regular na graph, kaya hindi na kailangang kabisaduhin ang mga halagang ito, tandaan lamang ang pangunahing prinsipyo.

Alalahanin ang mga coordinate ng mga puntos sa unang kuwadrante. Ang unang kuwadrante ay matatagpuan sa kanang itaas na bahagi ng bilog, kung saan ang mga coordinate x At y kumuha ng mga positibong halaga. Ito lang ang mga coordinate na kailangan mong tandaan:

• ang punto π / 6 ay may mga coordinate () ;
• ang puntong π/4 ay may mga coordinate () ;
• ang puntong π / 3 ay may mga coordinate () ;
• Tandaan na ang numerator ay kumukuha lamang ng tatlong halaga. Kung lumipat ka sa isang positibong direksyon (mula kaliwa hanggang kanan kasama ang axis x at mula sa ibaba hanggang sa itaas kasama ang axis y), kinukuha ng numerator ang mga halaga 1 → √2 → √3.

Gumuhit ng mga tuwid na linya at tukuyin ang mga coordinate ng mga punto ng kanilang intersection sa bilog. Kung gumuhit ka ng tuwid na pahalang at patayong mga linya mula sa mga punto ng isang kuwadrante, ang pangalawang punto ng intersection ng mga linyang ito na may bilog ay magkakaroon ng mga coordinate x At y na may parehong ganap na mga halaga, ngunit magkaibang mga palatandaan. Sa madaling salita, maaari kang gumuhit ng mga pahalang at patayong linya mula sa mga punto ng unang kuwadrante at lagyan ng label ang mga punto ng intersection sa bilog na may parehong mga coordinate, ngunit sa parehong oras ay mag-iwan ng puwang sa kaliwa para sa tamang sign ("+" o "-").

• Halimbawa, maaari kang gumuhit ng pahalang na linya sa pagitan ng mga puntos na π/3 at 2π/3. Dahil ang unang punto ay may mga coordinate ( 1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))), ang mga coordinate ng pangalawang punto ay magiging (? 12 , ? 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),?(\frac (\sqrt (3))(2)))), kung saan sa halip na "+" o "-" sign ay mayroong tandang pananong.
• Gamitin ang pinakasimpleng paraan: bigyang-pansin ang mga denominador ng mga coordinate ng punto sa radians. Ang lahat ng mga puntos na may denominator na 3 ay may parehong ganap na mga halaga ng coordinate. Ang parehong naaangkop sa mga puntos na may denominator 4 at 6.

Upang matukoy ang tanda ng mga coordinate, gamitin ang mga patakaran ng simetrya. Mayroong ilang mga paraan upang matukoy kung saan ilalagay ang "-" sign:

• Tandaan ang mga pangunahing panuntunan para sa mga regular na chart. Aksis x negatibo sa kaliwa at positibo sa kanan. Aksis y negatibo mula sa ibaba at positibo mula sa itaas;
• magsimula sa unang kuwadrante at gumuhit ng mga linya patungo sa iba pang mga punto. Kung ang linya ay tumatawid sa axis y, coordinate x magbabago ang tanda nito. Kung ang linya ay tumatawid sa axis x, magbabago ang sign ng coordinate y;
• tandaan na sa unang kuwadrante ang lahat ng mga function ay positibo, sa pangalawang kuwadrante lamang ang sine ay positibo, sa ikatlong kuwadrante lamang ang tangent ay positibo, at sa ikaapat na kuwadrante lamang ang cosine ay positibo;
• Alinmang paraan ang gamitin mo, dapat kang makakuha ng (++) sa unang kuwadrante, (-+) sa pangalawa, (-,-) sa pangatlo, at (+,-) sa ikaapat.

Suriin kung nagkamali ka. Nasa ibaba ang kumpletong listahan ng mga coordinate ng "espesyal" na mga punto (maliban sa apat na punto sa mga coordinate axes), kung lilipat ka sa bilog ng unit na pakaliwa. Tandaan na upang matukoy ang lahat ng mga halagang ito, sapat na upang matandaan ang mga coordinate ng mga puntos lamang sa unang kuwadrante:

• unang kuwadrante :( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
• pangalawang kuwadrante :( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
• ikatlong kuwadrante :( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
• ikaapat na kuwadrante :( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).

Ang mga aralin sa video ay kabilang sa mga pinakaepektibong kagamitan sa pagtuturo, lalo na sa mga asignaturang paaralan tulad ng matematika. Samakatuwid, ang may-akda ng materyal na ito ay nakolekta lamang ng kapaki-pakinabang, mahalaga at karampatang impormasyon sa isang solong kabuuan.

Ang araling ito ay 11:52 minuto ang haba. Ito ay tumatagal ng halos parehong dami ng oras para sa isang guro upang ipaliwanag ang bagong materyal sa isang partikular na paksa sa klase. Bagaman ang pangunahing bentahe ng aralin sa video ay ang katotohanan na ang mga mag-aaral ay makikinig nang mabuti sa kung ano ang pinag-uusapan ng may-akda, nang hindi naaabala ng mga kakaibang paksa at pag-uusap. Pagkatapos ng lahat, kung ang mga mag-aaral ay hindi makikinig nang mabuti, sila ay makaligtaan ng isang mahalagang punto ng aralin. At kung ipinaliwanag mismo ng guro ang materyal, kung gayon ang kanyang mga mag-aaral ay madaling makagambala sa pangunahing bagay sa kanilang mga pag-uusap sa mga abstract na paksa. At, siyempre, nagiging malinaw kung aling paraan ang magiging mas makatwiran.

Inilalaan ng may-akda ang simula ng aralin sa pag-uulit ng mga function na pamilyar sa mga mag-aaral noong naunang kurso sa algebra. At ang unang magsimulang mag-aral ay trigonometric functions. Upang isaalang-alang at pag-aralan ang mga ito, kinakailangan ang isang bagong modelo ng matematika. At ang modelong ito ay nagiging numero ng bilog, na tiyak kung ano ang nakasaad sa paksa ng aralin. Upang gawin ito, ipinakilala ang konsepto ng isang bilog na yunit at ibinigay ang kahulugan nito. Dagdag pa sa figure, ipinapakita ng may-akda ang lahat ng mga bahagi ng naturang bilog, at kung ano ang magiging kapaki-pakinabang sa mga mag-aaral para sa karagdagang pag-aaral. Ang mga arko ay nagpapahiwatig ng mga quarter.

Pagkatapos ay iminumungkahi ng may-akda na isaalang-alang ang bilog ng numero. Dito niya sinabi na mas maginhawang gumamit ng unit circle. Ipinapakita ng bilog na ito kung paano nakuha ang point M kung t>0, t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.

Susunod, ipinaalala ng may-akda sa mga mag-aaral kung paano hanapin ang circumference ng isang bilog. At pagkatapos ay ilalabas nito ang haba ng bilog ng yunit. Iminungkahi na ilapat ang mga teoretikal na data sa pagsasanay. Upang gawin ito, isaalang-alang ang isang halimbawa kung saan kailangan mong makahanap ng isang punto sa isang bilog na tumutugma sa ilang mga halaga ng numero. Ang solusyon sa halimbawa ay sinamahan ng isang paglalarawan sa anyo ng isang larawan, pati na rin ang mga kinakailangang mathematical notation.

Ayon sa kondisyon ng pangalawang halimbawa, kinakailangan upang makahanap ng mga puntos sa bilog ng numero. Dito, din, ang buong solusyon ay sinamahan ng mga komento, mga guhit at mathematical notation. Nag-aambag ito sa pag-unlad at pagpapabuti ng literasiya sa matematika ng mga mag-aaral. Ang ikatlong halimbawa ay itinayo nang katulad.

Susunod, itinala ng may-akda ang mga numerong iyon sa bilog na nangyayari nang mas madalas kaysa sa iba. Dito iminumungkahi niya ang paggawa ng dalawang modelo ng isang bilog na numero. Kapag ang parehong mga layout ay handa na, ang susunod, ika-apat na halimbawa ay isinasaalang-alang, kung saan kailangan mong makahanap ng isang punto sa bilog ng numero na naaayon sa numero 1. Pagkatapos ng halimbawang ito, isang pahayag ay nabuo ayon sa kung saan maaari mong mahanap ang punto M na tumutugma sa ang numero t.

Susunod, ang isang puna ay ipinakilala ayon sa kung saan nalaman ng mga mag-aaral na ang bilang na "pi" ay tumutugma sa lahat ng mga numero na nahuhulog sa isang naibigay na punto kapag ito ay pumasa sa buong bilog. Ang impormasyong ito ay sinusuportahan ng ikalimang halimbawa. Ang kanyang solusyon ay naglalaman ng lohikal na tamang pangangatwiran at mga guhit na naglalarawan ng sitwasyon.

PAG-DECODE NG TEKSTO:

NUMERIC CIRCLE

Noong nakaraan, pinag-aralan namin ang mga function na tinukoy ng analytical expression. At ang mga function na ito ay tinatawag na algebraic. Ngunit sa kursong matematika ng paaralan, pinag-aaralan ang mga function ng ibang klase, hindi ang algebraic. Simulan natin ang pag-aaral ng trigonometriko function.

Upang maipakilala ang mga function ng trigonometriko, kailangan namin ng isang bagong modelo ng matematika - ang bilog na numero. Isaalang-alang natin ang bilog ng yunit. Ang isang bilog na ang radius ay katumbas ng scale segment, nang hindi nagsasaad ng mga partikular na unit ng pagsukat, ay tatawaging unit. Ang radius ng naturang bilog ay itinuturing na katumbas ng 1.

Gagamit tayo ng unit circle kung saan iginuhit ang horizontal at vertical diameters CA at DB (ce a at de be) (tingnan ang Figure 1).

Tatawagin natin ang arc AB sa unang quarter, arc BC sa ikalawang quarter, arc CD sa ikatlong quarter, at arc DA sa ikaapat na quarter.

Isaalang-alang ang bilang na bilog. Sa pangkalahatan, ang anumang bilog ay maaaring ituring bilang isang numerical na bilog, ngunit mas maginhawang gamitin ang unit circle para sa layuning ito.

KAHULUGAN Ang isang bilog na yunit ay ibinigay, at ang panimulang punto A ay minarkahan dito - ang kanang dulo ng pahalang na lapad. Iugnay natin ang bawat tunay na numerong t (te) sa isang punto sa bilog ayon sa sumusunod na tuntunin:

1) Kung ang t>0 (te ay mas malaki kaysa sa zero), kung gayon, ang paglipat mula sa punto A sa isang pakaliwa na direksyon (positibong direksyon ng bilog), inilalarawan namin ang isang landas na AM (a em) na may haba na t kasama ang bilog. Point M ay ang nais na punto M(t) (em mula sa te).

2) Kung t<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).

3) Italaga natin ang point A sa numerong t = 0.

Ang isang bilog na yunit na may itinatag na pagsusulatan (sa pagitan ng mga tunay na numero at mga punto sa bilog) ay tatawaging isang bilog na numero.

Ito ay kilala na ang circumference L (el) ay kinakalkula sa pamamagitan ng formula L = 2πR (el katumbas ng dalawang pi er), kung saan π≈3.14, R ay ang radius ng bilog. Para sa isang unit circle R=1cm, ibig sabihin ay L=2π≈6.28 cm (el ay katumbas ng dalawang pi humigit-kumulang 6.28).

Tingnan natin ang mga halimbawa.

HALIMBAWA 1. Humanap ng punto sa numerong bilog na tumutugma sa ibinigay na numero: ,.(pi ng dalawa, pi, tatlong pi ng dalawa, dalawang pi, labing-isang pi ng dalawa, pitong pi, minus limang pi ng dalawa)

Solusyon. Ang unang anim na numero ay positibo, samakatuwid, upang mahanap ang kaukulang mga punto sa bilog, kailangan mong maglakad sa isang landas ng isang naibigay na haba kasama ang bilog, na gumagalaw mula sa punto A sa positibong direksyon. Ang haba ng bawat quarter ng isang unit circle ay pantay. Nangangahulugan ito na AB =, ibig sabihin, ang punto B ay tumutugma sa numero (tingnan ang Fig. 1). AC = , iyon ay, ang puntong C ay tumutugma sa numero. AD = , iyon ay, ang puntong D ay tumutugma sa numero. At ang puntong A ay muling tumutugma sa numero, dahil pagkatapos maglakad sa isang landas kasama ang bilog ay napunta kami sa panimulang punto A.

Isaalang-alang natin kung saan matatagpuan ang punto. Dahil alam na natin kung ano ang haba ng bilog, babawasan natin ito sa anyo (apat na pi plus tatlong pi ng dalawa). Iyon ay, ang paglipat mula sa punto A sa positibong direksyon, kailangan mong ilarawan ang isang buong bilog nang dalawang beses (isang landas na may haba na 4π) at bilang karagdagan sa isang landas ng haba na nagtatapos sa punto D.

Anong nangyari? Ito ay 3∙2π + π (tatlong beses dalawang pi plus pi). Nangangahulugan ito na ang paglipat mula sa punto A sa positibong direksyon, kailangan mong ilarawan ang isang buong bilog nang tatlong beses at bilang karagdagan sa isang landas na may haba na π, na magtatapos sa punto C.

Upang makahanap ng isang punto sa bilog ng numero na tumutugma sa isang negatibong numero, kailangan mong maglakad mula sa punto A kasama ang bilog sa negatibong direksyon (clockwise) isang landas ng haba, at ito ay tumutugma sa 2π +. Ang landas na ito ay magtatapos sa punto D.

HALIMBAWA 2. Maghanap ng mga puntos sa bilog na numero (pi sa anim, pi sa apat, pi sa tatlo).

Solusyon. Ang paghahati ng arc AB sa kalahati, makakakuha tayo ng punto E, na tumutugma. At ang paghahati ng arko AB sa tatlong pantay na bahagi sa pamamagitan ng mga puntos na F at O, nakuha natin ang puntong F na tumutugma, at ang puntong T ay tumutugma.

(tingnan ang figure 2).

HALIMBAWA 3. Maghanap ng mga puntos sa bilog na numero (bawas labintatlo pi ng apat, labing siyam na pi ng anim).

Solusyon. Ang pagdedeposito ng arc AE (a em) ng haba (pi sa apat) mula sa punto A labintatlong beses sa negatibong direksyon, nakuha namin ang punto H (abo) - ang gitna ng arko BC.

Ang pagdedeposito ng arc AF ng haba (pi by six) mula sa punto A labing-siyam na beses sa positibong direksyon, makarating tayo sa point N (en), na kabilang sa ikatlong quarter (arc CD) at ang CN ay katumbas ng ikatlong bahagi ng arc CD (se de).

(tingnan ang halimbawa ng figure 2).

Kadalasan kailangan mong maghanap ng mga puntos sa bilog na numero na tumutugma sa mga numero (pi sa anim, pi sa apat, pi sa tatlo, pi sa dalawa), pati na rin sa mga multiple ng mga ito, iyon ay, (pito pi ng anim, limang pi ng apat, apat na pi ng tatlo, labing-isang pi ng dalawa). Samakatuwid, upang mabilis na mag-navigate, ipinapayong gumawa ng dalawang mga layout ng bilog ng numero.

Sa unang layout, ang bawat quarter ng bilog ng numero ay hahatiin sa dalawang pantay na bahagi at malapit sa bawat isa sa mga resultang punto ay isusulat namin ang kanilang "mga pangalan":

Sa pangalawang layout, ang bawat quarter ay nahahati sa tatlong pantay na bahagi at malapit sa bawat isa sa mga nagresultang labindalawang puntos ay isusulat namin ang kanilang "mga pangalan":

Kung kikilos tayo nang sunud-sunod, makakakuha tayo ng parehong "mga pangalan" para sa mga puntos sa mga guhit, na may minus na halaga lamang. Para sa unang layout:

Katulad nito, kung lilipat ka sa pangalawang layout nang pakanan mula sa punto O.

HALIMBAWA 4. Maghanap ng mga puntos sa bilog na numero na tumutugma sa mga bilang 1 (isa).

Solusyon. Alam na ang π≈3.14 (pi ay humigit-kumulang katumbas ng tatlong punto labing-apat na raan), ≈ 1.05 (pi times three ay humigit-kumulang katumbas ng isang punto limang hundredths), ≈ 0.79 (pi times four ay tinatayang katumbas ng zero point seventy nine hundredths) . Ibig sabihin,< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.

Ang sumusunod na pahayag ay totoo: kung ang isang punto M sa bilog ng numero ay tumutugma sa isang numerong t, kung gayon ito ay tumutugma sa anumang numero ng anyong t + 2πk(te plus dalawang pi ka), kung saan ang ka ay anumang integer at kϵ Z(ka kay Zet).

Gamit ang pahayag na ito, maaari nating tapusin na ang punto ay tumutugma sa lahat ng mga punto ng anyong t =+ 2πk (te ay katumbas ng pi beses ng tatlo at dalawang taluktok), kung saan ang kϵZ ( ka ay kabilang sa zet), at sa punto (limang pi ng apat) - mga punto ng anyong t = + 2πk (te ay katumbas ng limang pi ng apat at dalawang pi ka), kung saan ang kϵZ ( ka belong to zet) at iba pa.

HALIMBAWA 5. Hanapin ang punto sa bilang na bilog: a) ; b) .

Solusyon. a) Mayroon kaming: = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π.(dalawampung pi beses tatlong katumbas ng dalawampung beses tatlong pi ay katumbas ng anim na plus dalawang katlo, pinarami ng pi ay katumbas ng anim na pi kasama ang dalawang pi beses tatlong katumbas two pi times three plus three times two pi).

Nangangahulugan ito na ang numero ay tumutugma sa parehong punto sa bilog ng numero bilang ang numero (ito ang ikalawang quarter) (tingnan ang pangalawang layout sa Fig. 4).

b) Mayroon kaming: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4). (minus tatlumpu't limang pi beses apat ay katumbas ng minus walo plus tatlong fourths beses pi katumbas ng minus tatlong pi beses apat plus dalawang pi beses minus apat ). Iyon ay, ang numero ay tumutugma sa parehong punto sa numero ng bilog bilang ang numero

Bilog ng numero ay isang bilog na yunit na ang mga punto ay tumutugma sa ilang mga tunay na numero.

Ang unit circle ay isang bilog na radius 1.

Pangkalahatang view ng bilog ng numero.

1) Ang radius nito ay kinuha bilang isang yunit ng pagsukat.

2) Hinahati ng pahalang at patayong diameter ang bilog ng numero sa apat na quarter (tingnan ang figure). Sila ay tinatawag na una, pangalawa, pangatlo at ikaapat na quarter.

3) Ang pahalang na diameter ay tinutukoy ng AC, na ang A ay ang dulong kanang punto.
Ang vertical na diameter ay itinalagang BD, na ang B ang pinakamataas na punto.
Ayon sa pagkakabanggit:

ang unang quarter ay ang arko AB

ikalawang quarter – arc BC

ikatlong quarter - arc CD

ikaapat na quarter – arc DA

4) Ang panimulang punto ng bilog na numero ay punto A.

Ang pagbibilang sa kahabaan ng bilog na numero ay maaaring gawin alinman sa clockwise o counterclockwise.
Nagbibilang mula sa punto Ang isang counterclockwise ay tinatawag positibong direksyon.
Nagbibilang mula sa punto A clockwise ay tinatawag negatibong direksyon.

Numero ng bilog sa coordinate plane.

Ang gitna ng radius ng bilog na numero ay tumutugma sa pinagmulan (numero 0).

Ang pahalang na diameter ay tumutugma sa axis x, patayo – mga palakol y.

Ang panimulang punto A ng bilog na numero ay nasa axis x at may mga coordinate (1; 0).

Mga halagax Aty sa mga quarter ng isang bilog na numero:

Mga pangunahing halaga ng bilog ng numero:

Mga pangalan at lokasyon ng mga pangunahing punto sa bilog ng numero:

Paano matandaan ang mga pangalan ng bilog na numero.

Mayroong ilang mga simpleng pattern na makakatulong sa iyo na madaling matandaan ang mga pangunahing pangalan ng bilog ng numero.

Bago tayo magsimula, ipaalala namin sa iyo: ang pagbibilang ay isinasagawa sa positibong direksyon, iyon ay, mula sa punto A (2π) pakaliwa.

1) Magsimula tayo sa mga matinding punto sa mga coordinate axes.

Ang panimulang punto ay 2π (ang pinakakanang punto sa axis X, katumbas ng 1).

Tulad ng alam mo, ang 2π ay ang circumference ng isang bilog. Nangangahulugan ito na ang kalahati ng bilog ay 1π o π. Aksis X hinahati ang bilog nang eksakto sa kalahati. Alinsunod dito, ang pinakakaliwang punto sa axis X katumbas ng -1 ay tinatawag na π.

Ang pinakamataas na punto sa axis sa, katumbas ng 1, hinahati sa kalahati ang itaas na kalahating bilog. Nangangahulugan ito na kung ang kalahating bilog ay π, ang kalahati ng kalahating bilog ay π/2.

Kasabay nito, ang π/2 ay isang quarter din ng bilog. Bilangin natin ang tatlong ganoong quarter mula sa una hanggang sa ikatlo - at darating tayo sa pinakamababang punto sa axis sa, katumbas ng -1. Ngunit kung kasama nito ang tatlong quarter, ang pangalan nito ay 3π/2.

2) Ngayon ay lumipat tayo sa natitirang mga punto. Pakitandaan: lahat ng magkasalungat na punto ay may parehong numerator - at ang mga ito ay magkasalungat na puntos na nauugnay sa axis sa, parehong nauugnay sa gitna ng mga axes, at nauugnay sa axis X. Makakatulong ito sa amin na malaman ang kanilang mga halaga ng punto nang walang cramming.

Kailangan mo lamang tandaan ang kahulugan ng mga puntos ng unang quarter: π/6, π/4 at π/3. At pagkatapos ay "makikita" natin ang ilang mga pattern:

- May kaugnayan sa y axis sa mga punto ng ikalawang quarter, sa tapat ng mga punto ng unang quarter, ang mga numero sa mga numerator ay 1 mas mababa kaysa sa laki ng mga denominator. Halimbawa, kunin ang puntong π/6. Ang puntong kabaligtaran dito ay may kaugnayan sa axis sa mayroon ding 6 sa denominator at 5 sa numerator (1 mas mababa). Ibig sabihin, ang pangalan ng puntong ito ay: 5π/6. Ang punto sa tapat ng π/4 ay mayroon ding 4 sa denominator at 3 sa numerator (1 mas mababa sa 4) - iyon ay, ito ay isang 3π/4 na punto.
Ang punto sa tapat ng π/3 ay mayroon ding 3 sa denominator, at 1 mas mababa sa numerator: 2π/3.

- May kaugnayan sa gitna ng mga coordinate axes ang lahat ay kabaligtaran: ang mga numero sa mga numerator ng magkasalungat na puntos (sa ikatlong quarter) ay 1 na mas malaki kaysa sa halaga ng mga denominador. Muli nating kunin ang puntong π/6. Ang punto sa tapat nito na may kaugnayan sa gitna ay mayroon ding 6 sa denominator, at sa numerator ang numero ay 1 mas malaki - iyon ay, ito ay 7π/6.

Ang punto sa tapat ng puntong π/4 ay mayroon ding 4 sa denominator, at sa numerator ang numero ay 1 pa: 5π/4.
Ang punto sa tapat ng puntong π/3 ay mayroon ding 3 sa denominator, at sa numerator ang numero ay 1 pa: 4π/3.

- May kaugnayan sa axis X(ikaapat na quarter) mas kumplikado ang usapin. Dito kailangan mong magdagdag sa halaga ng denominator ng isang numero na 1 mas mababa - ang kabuuan na ito ay magiging katumbas ng numerical na bahagi ng numerator ng kabaligtaran na punto. Magsimula tayong muli sa π/6. Idagdag natin sa halaga ng denominator na katumbas ng 6 ang isang numero na 1 mas mababa kaysa sa numerong ito - iyon ay, 5. Nakukuha natin ang: 6 + 5 = 11. Nangangahulugan ito na ito ay kabaligtaran ng axis X ang punto ay magkakaroon ng 6 sa denominator at 11 sa numerator - iyon ay, 11π/6.

Punto π/4. Nagdaragdag kami sa halaga ng denominator ng numero 1 na mas kaunti: 4 + 3 = 7. Nangangahulugan ito na ito ay kabaligtaran ng axis X ang punto ay may 4 sa denominator at 7 sa numerator - iyon ay, 7π/4.
Punto π/3. Ang denominator ay 3. Nagdaragdag kami sa 3 ng mas maliit na numero ng isa - iyon ay, 2. Nakukuha namin ang 5. Nangangahulugan ito na ang puntong kabaligtaran nito ay mayroong 5 sa numerator - at ito ang puntong 5π/3.

3) Isa pang pattern para sa mga punto ng mga midpoint ng quarters. Malinaw na ang kanilang denominator ay 4. Bigyang-pansin natin ang mga numerator. Ang numerator ng gitna ng unang quarter ay 1π (ngunit hindi kaugalian na isulat ang 1). Ang numerator ng gitna ng ikalawang quarter ay 3π. Ang numerator ng gitna ng ikatlong quarter ay 5π. Ang numerator ng gitna ng ikaapat na quarter ay 7π. Lumalabas na ang mga numerator ng gitnang quarter ay naglalaman ng unang apat na kakaibang numero sa pataas na pagkakasunud-sunod:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Ito ay napaka-simple din. Dahil ang mga midpoint ng lahat ng quarter ay may 4 sa denominator, alam na natin ang kanilang buong pangalan: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Mga tampok ng bilog na numero. Paghahambing sa linya ng numero.

Tulad ng alam mo, sa linya ng numero, ang bawat punto ay tumutugma sa isang solong numero. Halimbawa, kung ang punto A sa isang linya ay katumbas ng 3, hindi na ito maaaring katumbas ng anumang iba pang numero.

Iba ito sa number circle dahil ito ay bilog. Halimbawa, upang magmula sa punto A ng isang bilog patungo sa puntong M, magagawa mo ito na parang nasa isang tuwid na linya (nagpapasa lamang ng isang arko), o maaari kang umikot sa isang buong bilog, at pagkatapos ay pumunta sa puntong M. Konklusyon:

Hayaang ang point M ay katumbas ng ilang numerong t. Tulad ng alam natin, ang circumference ng isang bilog ay 2π. Nangangahulugan ito na maaari tayong sumulat ng isang punto sa isang bilog na t sa dalawang paraan: t o t + 2π. Ito ay mga katumbas na halaga.
Iyon ay, t = t + 2π. Ang kaibahan lang ay sa unang kaso napunta ka kaagad sa puntong M nang hindi gumagawa ng bilog, at sa pangalawang kaso ay gumawa ka ng bilog, ngunit napunta sa parehong puntong M. Maaari kang gumawa ng dalawa, tatlo, o dalawang daan tulad nito. mga bilog. Kung tukuyin natin ang bilang ng mga bilog sa pamamagitan ng titik k, pagkatapos ay makakakuha tayo ng bagong expression:
t = t + 2π k.

Kaya ang formula:

Number circle equation
(ang pangalawang equation ay nasa seksyong "Sine, cosine, tangent, cotangent"):

x 2 + y 2 = 1