Mga pagkakakilanlan at pagbabagong trigonometric. Mga pagkakakilanlan at pagbabagong trigonometric Mga pag-andar ng trigonometric at kanilang mga pagbabago

04.02.2024 | Pahayag ng paghahabol

Isinasagawa para sa lahat ng mga halaga ng argumento (mula sa pangkalahatang saklaw).

Pangkalahatang mga formula ng pagpapalit.

Gamit ang mga formula na ito, madaling gawing makatuwirang pagpapahayag ng isang function ang anumang expression na naglalaman ng iba't ibang trigonometric function ng isang argumento. tg (α /2):

Mga formula para sa pag-convert ng mga kabuuan sa mga produkto at mga produkto sa mga kabuuan.

Noong nakaraan, ang mga formula sa itaas ay ginamit upang pasimplehin ang mga kalkulasyon. Kinakalkula nila gamit ang mga logarithmic table, at sa ibang pagkakataon - isang slide rule, dahil ang mga logarithm ay pinakaangkop para sa pagpaparami ng mga numero. Iyon ang dahilan kung bakit ang bawat orihinal na expression ay binawasan sa isang form na magiging maginhawa para sa logarithmization, iyon ay, sa mga produkto Halimbawa:

2 kasalanan α kasalanan b = cos (α - b) - cos (α + b);

2 cos α cos b = cos (α - b) + cos (α + b);

2 kasalanan α cos b = kasalanan (α - b) + kasalanan (α + b).

saan ang anggulo kung saan, sa partikular,

Ang mga formula para sa tangent at cotangent function ay madaling makuha mula sa itaas.

Mga formula ng pagbabawas ng degree.

sin 2 α = (1 - cos 2α)/2;	cos 2 α = (1 + cos 2α)/2;
kasalanan 3α = (3 kasalananα - kasalanan 3α )/4;	cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4.

Gamit ang mga formula na ito, ang mga trigonometrikong equation ay madaling nababawasan sa mga equation na may mas mababang kapangyarihan. Ang mga formula ng pagbabawas para sa mas mataas na antas ay hinango sa parehong paraan kasalanan At cos.

Pagpapahayag ng mga function ng trigonometriko sa pamamagitan ng isa sa mga ito ng parehong argumento.

Ang tanda sa harap ng ugat ay depende sa lokasyon ng quarter angle α .

Upang malutas ang ilang mga problema, ang isang talahanayan ng mga trigonometric na pagkakakilanlan ay magiging kapaki-pakinabang, na gagawing mas madali ang pagbabago ng mga function:

Ang pinakasimpleng trigonometriko pagkakakilanlan

Ang quotient ng paghahati ng sine ng isang anggulo alpha sa cosine ng parehong anggulo ay katumbas ng tangent ng anggulong ito (Formula 1). Tingnan din ang patunay ng kawastuhan ng pagbabago ng pinakasimpleng pagkakakilanlan ng trigonometriko.
Ang quotient ng paghahati ng cosine ng isang anggulo alpha sa sine ng parehong anggulo ay katumbas ng cotangent ng parehong anggulo (Formula 2)
Ang secant ng isang anggulo ay katumbas ng isang hinati sa cosine ng parehong anggulo (Formula 3)
Ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng parehong anggulo ay katumbas ng isa (Formula 4). tingnan din ang patunay ng kabuuan ng mga parisukat ng cosine at sine.
Ang kabuuan ng isa at ang tangent ng isang anggulo ay katumbas ng ratio ng isa sa parisukat ng cosine ng anggulong ito (Formula 5)
Ang isa kasama ang cotangent ng isang anggulo ay katumbas ng quotient ng isa na hinati ng sine square ng anggulong ito (Formula 6)
Ang produkto ng tangent at cotangent ng parehong anggulo ay katumbas ng isa (Formula 7).

Pag-convert ng mga negatibong anggulo ng trigonometriko function (kahit at kakaiba)

Upang maalis ang negatibong halaga ng sukat ng antas ng isang anggulo kapag kinakalkula ang sine, cosine o tangent, maaari mong gamitin ang mga sumusunod na pagbabagong trigonometriko (mga pagkakakilanlan) batay sa mga prinsipyo ng kahit o kakaibang mga function ng trigonometriko.

Tulad ng nakikita, cosine at ang secant ay kahit function, Ang sine, tangent at cotangent ay mga kakaibang function.

Ang sine ng isang negatibong anggulo ay katumbas ng negatibong halaga ng sine ng parehong positibong anggulo (minus sine alpha).
Ang cosine minus alpha ay magbibigay ng parehong halaga sa cosine ng alpha angle.
Ang tangent minus alpha ay katumbas ng minus tangent alpha.

Mga formula para sa pagbabawas ng mga dobleng anggulo (sine, cosine, tangent at cotangent ng dobleng anggulo)

Kung kailangan mong hatiin ang isang anggulo sa kalahati, o vice versa, lumipat mula sa isang dobleng anggulo patungo sa isang solong anggulo, maaari mong gamitin ang mga sumusunod na trigonometric na pagkakakilanlan:

Dobleng Anggulo ng Conversion (sine ng isang dobleng anggulo, cosine ng isang dobleng anggulo at padaplis ng isang dobleng anggulo) sa solong nangyayari ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Sine ng dobleng anggulo katumbas ng dalawang beses ang produkto ng sine at ang cosine ng isang anggulo

Cosine ng dobleng anggulo katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng parisukat ng cosine ng isang solong anggulo at ang parisukat ng sine ng anggulong ito

Cosine ng dobleng anggulo katumbas ng dalawang beses ang parisukat ng cosine ng isang solong anggulo minus isa

Cosine ng dobleng anggulo katumbas ng isang minus double sine squared solong anggulo

Tangent ng dobleng anggulo ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay dalawang beses ang tangent ng isang solong anggulo, at ang denominator ay katumbas ng isang minus ang tangent squared ng isang solong anggulo.

Cotangent ng dobleng anggulo ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay ang parisukat ng cotangent ng isang solong anggulo minus isa, at ang denominator ay katumbas ng dalawang beses ang cotangent ng isang solong anggulo

Mga formula para sa unibersal na trigonometric substitution

Ang mga formula ng conversion sa ibaba ay maaaring maging kapaki-pakinabang kapag kailangan mong hatiin ang argumento ng isang trigonometric function (sin α, cos α, tan α) sa dalawa at bawasan ang expression sa halaga ng kalahating anggulo. Mula sa halaga ng α nakukuha natin ang α/2.

Ang mga formula na ito ay tinatawag mga formula ng unibersal na trigonometric substitution. Ang kanilang halaga ay nakasalalay sa katotohanan na sa kanilang tulong ang isang trigonometriko expression ay nabawasan sa pagpapahayag ng tangent ng kalahating anggulo, anuman ang trigonometriko function (sin cos tan ctg) ay orihinal sa expression. Pagkatapos nito, ang equation na may tangent ng kalahating anggulo ay mas madaling malutas.

Mga pagkakakilanlan ng trigonometric para sa mga pagbabagong kalahating anggulo

Ang mga sumusunod ay ang mga formula para sa trigonometric conversion ng kalahating anggulo sa buong halaga nito.
Ang halaga ng argumento ng trigonometric function na α/2 ay binabawasan sa halaga ng argumento ng trigonometric function na α.

Trigonometric formula para sa pagdaragdag ng mga anggulo

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

kasalanan (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

kasalanan (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Tangent at cotangent ng kabuuan ng mga anggulo Maaaring ma-convert ang alpha at beta gamit ang mga sumusunod na panuntunan para sa pag-convert ng mga trigonometric function:

Tangent ng kabuuan ng mga anggulo ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay ang kabuuan ng tangent ng una at padaplis ng pangalawang anggulo, at ang denominator ay isang minus ang produkto ng tangent ng unang anggulo at ang padaplis ng pangalawang anggulo.

Tangent ng pagkakaiba ng anggulo ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng tangent ng anggulo na binabawasan at ang padaplis ng anggulo na ibinabawas, at ang denominator ay isa kasama ang produkto ng mga tangent ng mga anggulong ito.

Cotangent ng kabuuan ng mga anggulo ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay katumbas ng produkto ng mga cotangent ng mga anggulong ito kasama ang isa, at ang denominator ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng cotangent ng pangalawang anggulo at ng cotangent ng unang anggulo.

Cotangent ng pagkakaiba sa anggulo ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay produkto ng mga cotangent ng mga anggulong ito na minus isa, at ang denominator ay katumbas ng kabuuan ng mga cotangent ng mga anggulong ito.

Ang mga trigonometrikong pagkakakilanlan na ito ay maginhawang gamitin kapag kailangan mong kalkulahin, halimbawa, ang tangent ng 105 degrees (tg 105). Kung iniisip mo ito bilang tg (45 + 60), maaari mong gamitin ang ibinigay na magkatulad na pagbabagong-anyo ng tangent ng kabuuan ng mga anggulo, at pagkatapos ay palitan lamang ang mga tabulated na halaga ng tangent 45 at tangent 60 degrees.

Mga formula para sa pag-convert ng kabuuan o pagkakaiba ng trigonometriko function

Ang mga ekspresyong kumakatawan sa kabuuan ng anyo na sin α + sin β ay maaaring mabago gamit ang mga sumusunod na formula:

Mga formula ng triple angle - kino-convert ang sin3α cos3α tan3α sa sinα cosα tanα

Minsan kinakailangan na baguhin ang triple na halaga ng isang anggulo upang ang argumento ng trigonometriko function ay maging anggulo α sa halip na 3α.
Sa kasong ito, maaari mong gamitin ang triple angle transformation formula (mga pagkakakilanlan):

Mga formula para sa pag-convert ng mga produkto ng trigonometriko function

Kung may pangangailangan na baguhin ang produkto ng mga sine ng iba't ibang mga anggulo, mga cosine ng iba't ibang mga anggulo, o kahit na ang produkto ng sine at cosine, maaari mong gamitin ang mga sumusunod na trigonometric na pagkakakilanlan:

Sa kasong ito, ang produkto ng mga function ng sine, cosine o tangent ng iba't ibang anggulo ay mako-convert sa kabuuan o pagkakaiba.

Mga formula para sa pagbabawas ng mga function ng trigonometriko

Kailangan mong gamitin ang talahanayan ng pagbabawas bilang mga sumusunod. Sa linya pipiliin namin ang function na interesado sa amin. Sa column ay may anggulo. Halimbawa, ang sine ng anggulo (α+90) sa intersection ng unang hilera at ang unang hanay, nalaman natin na sin (α+90) = cos α.

Ang mga ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing trigonometric function - sine, cosine, tangent at cotangent - ay ibinigay mga formula ng trigonometriko. At dahil napakaraming koneksyon sa pagitan ng mga function ng trigonometriko, ipinapaliwanag nito ang kasaganaan ng mga formula ng trigonometriko. Ang ilang mga formula ay kumonekta sa mga function ng trigonometriko ng parehong anggulo, ang iba - mga function ng isang maramihang anggulo, ang iba pa - nagbibigay-daan sa iyo upang bawasan ang antas, ika-apat - ipahayag ang lahat ng mga function sa pamamagitan ng tangent ng kalahating anggulo, atbp.

Sa artikulong ito ay ililista namin ang lahat ng mga pangunahing trigonometric formula, na sapat upang malutas ang karamihan ng mga problema sa trigonometrya. Para sa kadalian ng pagsasaulo at paggamit, ipapangkat namin ang mga ito ayon sa layunin at ilalagay ang mga ito sa mga talahanayan.

Pag-navigate sa pahina.

Mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko

Mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko tukuyin ang ugnayan sa pagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo. Sinusundan nila ang kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent, pati na rin ang konsepto ng unit circle. Pinapayagan ka nitong ipahayag ang isang trigonometric function sa mga tuntunin ng anumang iba pa.

Para sa isang detalyadong paglalarawan ng mga formula ng trigonometrya, ang kanilang hinango at mga halimbawa ng aplikasyon, tingnan ang artikulo.

Mga formula ng pagbabawas

Mga formula ng pagbabawas sundin mula sa mga katangian ng sine, cosine, tangent at cotangent, iyon ay, sinasalamin nila ang pag-aari ng periodicity ng mga function ng trigonometriko, ang pag-aari ng simetrya, pati na rin ang pag-aari ng paglilipat ng isang naibigay na anggulo. Binibigyang-daan ka ng mga trigonometrikong formula na ito na lumipat mula sa pagtatrabaho sa mga di-makatwirang anggulo patungo sa pagtatrabaho sa mga anggulo na mula sa zero hanggang 90 degrees.

Ang katwiran para sa mga formula na ito, isang mnemonic na panuntunan para sa pagsasaulo ng mga ito at mga halimbawa ng kanilang aplikasyon ay maaaring pag-aralan sa artikulo.

Mga formula ng karagdagan

Mga formula sa pagdaragdag ng trigonometric ipakita kung paano ipinahahayag ang mga trigonometriko function ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang anggulo sa mga tuntunin ng trigonometriko function ng mga anggulong iyon. Ang mga formula na ito ay nagsisilbing batayan para makuha ang mga sumusunod na trigonometric formula.

Mga formula para sa doble, triple, atbp. anggulo

Mga formula para sa doble, triple, atbp. anggulo (tinatawag din silang mga formula ng maramihang anggulo) ay nagpapakita kung paano gumagana ang trigonometriko ng doble, triple, atbp. ang mga anggulo () ay ipinahayag sa mga tuntunin ng trigonometric function ng isang solong anggulo. Ang kanilang derivation ay batay sa mga formula ng karagdagan.

Ang mas detalyadong impormasyon ay kinokolekta sa mga formula ng artikulo para sa doble, triple, atbp. anggulo

Mga formula ng kalahating anggulo

Mga formula ng kalahating anggulo ipakita kung paano ipinahayag ang mga function ng trigonometriko ng kalahating anggulo sa mga tuntunin ng cosine ng isang buong anggulo. Ang mga trigonometrikong formula na ito ay sumusunod mula sa mga formula ng dobleng anggulo.

Ang kanilang konklusyon at mga halimbawa ng aplikasyon ay matatagpuan sa artikulo.

Mga formula ng pagbabawas ng degree

Trigonometric formula para sa pagbabawas ng mga degree ay idinisenyo upang mapadali ang paglipat mula sa mga natural na kapangyarihan ng trigonometriko functions sa mga sine at cosine sa unang antas, ngunit maramihang mga anggulo. Sa madaling salita, pinapayagan ka nitong bawasan ang mga kapangyarihan ng trigonometriko function sa una.

Mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng trigonometriko function

Ang pangunahing layunin mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng trigonometriko function ay upang pumunta sa produkto ng mga function, na kung saan ay lubhang kapaki-pakinabang kapag pinasimple ang trigonometriko expression. Ang mga formula na ito ay malawakang ginagamit din sa paglutas ng mga trigonometric equation, dahil pinapayagan ka nitong i-factor ang kabuuan at pagkakaiba ng mga sine at cosine.

Mga formula para sa produkto ng mga sine, cosine at sine sa pamamagitan ng cosine

Ang paglipat mula sa produkto ng trigonometriko function sa isang kabuuan o pagkakaiba ay isinasagawa gamit ang mga formula para sa produkto ng mga sine, cosine at sine sa pamamagitan ng cosine.

Pangkalahatang trigonometriko na pagpapalit

Kinumpleto namin ang aming pagsusuri sa mga pangunahing formula ng trigonometrya na may mga formula na nagpapahayag ng mga function ng trigonometriko sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo. Ang kapalit na ito ay tinawag unibersal na trigonometrikong pagpapalit. Ang kaginhawahan nito ay nakasalalay sa katotohanan na ang lahat ng mga function ng trigonometriko ay ipinahayag sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo nang makatwiran na walang mga ugat.

Bibliograpiya.

Algebra: Teksbuk para sa ika-9 na baitang. avg. paaralan/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teleyakovsky. - M.: Edukasyon, 1990. - 272 pp.: may sakit - ISBN 5-09-002727-7
Bashmakov M. I. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Textbook. para sa 10-11 baitang. avg. paaralan - 3rd ed. - M.: Edukasyon, 1993. - 351 p.: may sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 baitang. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn at iba pa; Ed. A. N. Kolmogorov - ika-14 na ed. - M.: Edukasyon, 2004. - 384 pp.: may sakit - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga pumapasok sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.

Lahat ng karapatan ay nakalaan.
Pinoprotektahan ng batas sa copyright. Walang bahagi ng site, kabilang ang mga panloob na materyales at hitsura, ang maaaring kopyahin sa anumang anyo o gamitin nang walang paunang nakasulat na pahintulot ng may-ari ng copyright.