Ano ang isang pyramid? Pyramid
Kapag narinig ng isang tao ang salitang "pyramid," naaalala niya kaagad ang mga maringal na istruktura ng Egypt. Gayunpaman, ang mga sinaunang higanteng bato ay isa lamang sa mga kinatawan ng klase ng pyramid. Sa artikulong ito isasaalang-alang natin mula sa isang geometric na punto ng view ang mga katangian ng isang regular na quadrangular pyramid.
Ano ang isang pyramid sa pangkalahatan?
Sa geometry, ito ay nauunawaan bilang isang three-dimensional figure, na maaaring makuha sa pamamagitan ng pagkonekta sa lahat ng vertices ng isang flat polygon na may isang solong punto na nakahiga sa ibang eroplano kaysa sa polygon na ito. Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng 4 na hugis na nakakatugon sa kahulugang ito.
Nakikita namin na ang unang figure ay may tatsulok na base, ang pangalawa ay may quadrangular na base. Ang huling dalawa ay kinakatawan ng isang pentagonal at hexagonal na base. Gayunpaman, ang pag-ilid na ibabaw ng lahat ng mga pyramids ay nabuo ng mga tatsulok. Ang kanilang numero ay eksaktong katumbas ng bilang ng mga gilid o vertices ng polygon sa base.
Ang isang espesyal na uri ng pyramid, na naiiba sa iba pang mga kinatawan ng klase sa perpektong simetrya nito, ay ang regular na pyramid. Upang maging tama ang figure, ang sumusunod na dalawang paunang kinakailangan ay dapat matugunan:
- ang base ay dapat magkaroon ng isang regular na polygon;
- ang gilid na ibabaw ng figure ay dapat na binubuo ng pantay na isosceles triangles.
Tandaan na ang pangalawang ipinag-uutos na kondisyon ay maaaring mapalitan ng isa pa: isang patayo na iginuhit sa base mula sa tuktok ng pyramid (ang punto ng intersection ng mga tatsulok sa gilid) ay dapat mag-intersect sa base na ito sa geometric center nito.
Ngayon ay lumipat tayo sa paksa ng artikulo at isaalang-alang kung anong mga katangian ng isang regular na quadrangular pyramid ang nagpapakilala dito. Una, ipakita natin sa figure kung ano ang hitsura ng figure na ito.
Ang base nito ay isang parisukat. Ang mga gilid ay kumakatawan sa 4 na magkaparehong isosceles na tatsulok (maaari din silang maging equilateral sa isang tiyak na ratio ng haba ng gilid ng parisukat at ang taas ng figure). Ang taas na ibinaba mula sa tuktok ng pyramid ay magsalubong sa parisukat sa gitna nito (ang punto ng intersection ng mga diagonal).
Ang pyramid na ito ay may 5 mukha (isang parisukat at apat na tatsulok), 5 vertice (apat sa kanila ay kabilang sa base) at 8 mga gilid. ikaapat na pagkakasunud-sunod, na dumadaan sa taas ng pyramid, binabago ito sa sarili nito sa pamamagitan ng pag-ikot ng 90 o.
Ang Egyptian pyramids sa Giza ay regular na quadrangular.
Apat na Pangunahing Linear Parameter
Simulan natin ang pagsasaalang-alang sa mga katangian ng matematika ng isang regular na quadrangular pyramid na may mga formula para sa taas, haba ng gilid ng base, gilid ng gilid at apothem. Sabihin natin kaagad na ang lahat ng mga dami na ito ay nauugnay sa isa't isa, kaya't sapat na malaman lamang ang dalawa sa kanila upang hindi malabo na kalkulahin ang natitirang dalawa.
Ipagpalagay na ang taas h ng pyramid at ang haba a ng gilid ng square base ay kilala, kung gayon ang gilid ng gilid b ay magiging katumbas ng:
b = √(a 2 / 2 + h 2)
Ngayon ay binibigyan namin ang formula para sa haba a b ng apothem (ang taas ng tatsulok na ibinaba sa gilid ng base):
a b = √(a 2 / 4 + h 2)
Malinaw, ang lateral edge b ay palaging mas malaki kaysa sa apothem a b .
Ang parehong mga expression ay maaaring gamitin upang matukoy ang lahat ng apat na linear na katangian kung ang iba pang dalawang parameter ay kilala, halimbawa a b at h.
Lugar at dami ng isang pigura
Ito ang dalawang mas mahalagang katangian ng isang regular na quadrangular pyramid. Ang base ng figure ay may sumusunod na lugar:
Alam ng bawat mag-aaral ang formula na ito. Ang lugar ng lateral surface, na nabuo ng apat na magkaparehong tatsulok, ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng apothem a b ng pyramid tulad ng sumusunod:
Kung hindi alam ang a b, maaari itong matukoy gamit ang mga formula mula sa nakaraang talata hanggang sa taas h o gilid b.
Ang kabuuang lugar ng ibabaw ng figure na isinasaalang-alang ay ang kabuuan ng mga lugar S o at S b:
S = S o + S b = a 2 + 2 × a × a b = a (a + 2 × a b)
Ang kinakalkula na lugar ng lahat ng mga mukha ng pyramid ay ipinapakita sa figure sa ibaba sa anyo ng pag-unlad nito.
Ang isang paglalarawan ng mga katangian ng isang regular na quadrangular pyramid ay hindi kumpleto nang hindi isinasaalang-alang ang formula para sa pagtukoy ng dami nito. Ang halagang ito para sa pyramid na pinag-uusapan ay kinakalkula tulad ng sumusunod:
Iyon ay, ang V ay katumbas ng ikatlong bahagi ng produkto ng taas ng figure at ang lugar ng base nito.
Mga katangian ng isang regular na pinutol na quadrangular pyramid
Makukuha mo ang figure na ito mula sa orihinal na pyramid. Upang gawin ito, kailangan mong putulin ang tuktok ng pyramid gamit ang isang eroplano. Ang figure na natitira sa ilalim ng cut plane ay tatawaging truncated pyramid.
Ito ay pinaka-maginhawa upang pag-aralan ang mga katangian ng isang pinutol na pyramid kung ang mga base nito ay parallel sa bawat isa. Sa kasong ito, ang ibaba at itaas na mga base ay magiging magkatulad na mga polygon. Dahil sa isang quadrangular regular pyramid ang base ay isang parisukat, ang seksyon na nabuo sa panahon ng hiwa ay kumakatawan din sa isang parisukat, ngunit ng isang mas maliit na sukat.
Ang lateral surface ng truncated figure ay nabuo hindi sa pamamagitan ng triangles, ngunit sa pamamagitan ng isosceles trapezoids.
Ang isa sa mga mahahalagang katangian ng pyramid na ito ay ang dami nito, na kinakalkula ng formula:
V = 1/3 × h × (S o1 + S o2 + √(S o1 × S o2))
Narito ang h ay ang distansya sa pagitan ng mga base ng figure, S o1, S o2 ay ang mga lugar ng mas mababa at itaas na mga base.
Sa paglutas ng Problema C2 gamit ang coordinate method, maraming estudyante ang nahaharap sa parehong problema. Hindi nila makalkula mga coordinate ng mga puntos kasama sa scalar product formula. Ang pinakamalaking paghihirap ay lumitaw mga pyramid. At kung ang mga base point ay itinuturing na mas o mas normal, kung gayon ang mga tuktok ay isang tunay na impiyerno.
Ngayon ay gagana tayo sa isang regular na quadrangular pyramid. Mayroon ding tatsulok na pyramid (aka - tetrahedron). Ito ay isang mas kumplikadong disenyo, kaya isang hiwalay na aralin ang ilalaan dito.
Una, tandaan natin ang kahulugan:
Ang isang regular na pyramid ay isa na:
- Ang base ay isang regular na polygon: tatsulok, parisukat, atbp.;
- Ang isang altitude na iginuhit sa base ay dumadaan sa gitna nito.
Sa partikular, ang base ng isang quadrangular pyramid ay parisukat. Tulad ng Cheops, mas maliit lang ng kaunti.
Nasa ibaba ang mga kalkulasyon para sa isang pyramid kung saan ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1. Kung hindi ito ang kaso sa iyong problema, ang mga kalkulasyon ay hindi nagbabago - ang mga numero lamang ang magkakaiba.
Vertices ng isang quadrangular pyramid
Kaya, hayaan ang isang regular na quadrangular pyramid SABCD, kung saan ang S ay ang vertex at ang base ABCD ay isang parisukat. Ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1. Kailangan mong magpasok ng isang coordinate system at hanapin ang mga coordinate ng lahat ng mga punto. Meron kami:
Ipinakilala namin ang isang coordinate system na may pinanggalingan sa punto A:
- Ang OX axis ay nakadirekta parallel sa gilid AB;
- Ang axis ng OY ay parallel sa AD. Dahil ang ABCD ay isang parisukat, AB ⊥ AD;
- Sa wakas, ididirekta namin ang OZ axis pataas, patayo sa ABCD plane.
Ngayon kinakalkula namin ang mga coordinate. Karagdagang konstruksiyon: SH - taas na iginuhit sa base. Para sa kaginhawahan, ilalagay namin ang base ng pyramid sa isang hiwalay na pagguhit. Dahil ang mga puntos A, B, C at D ay nasa OXY plane, ang kanilang coordinate ay z = 0. Mayroon kaming:
- A = (0; 0; 0) - tumutugma sa pinanggalingan;
- B = (1; 0; 0) - hakbang sa pamamagitan ng 1 kasama ang OX axis mula sa pinanggalingan;
- C = (1; 1; 0) - hakbang ng 1 sa kahabaan ng OX axis at ng 1 sa kahabaan ng OY axis;
- D = (0; 1; 0) - hakbang lamang sa kahabaan ng axis ng OY.
- H = (0.5; 0.5; 0) - ang gitna ng parisukat, ang gitna ng segment AC.
Ito ay nananatili upang mahanap ang mga coordinate ng point S. Tandaan na ang mga x at y na coordinate ng mga puntos na S at H ay pareho, dahil ang mga ito ay nasa isang linya na kahanay sa OZ axis. Ito ay nananatili upang mahanap ang z coordinate para sa punto S.
Isaalang-alang ang mga tatsulok na ASH at ABH:
- AS = AB = 1 ayon sa kondisyon;
- Anggulo AHS = AHB = 90°, dahil ang SH ay ang taas at AH ⊥ HB bilang mga dayagonal ng parisukat;
- Ang side AH ay karaniwan.
Samakatuwid, right triangles ASH at ABH pantay isang paa at isang hypotenuse bawat isa. Nangangahulugan ito na SH = BH = 0.5 BD. Ngunit ang BD ay ang dayagonal ng isang parisukat na may gilid 1. Samakatuwid mayroon tayong:
Kabuuang mga coordinate ng point S:
Sa konklusyon, isinulat namin ang mga coordinate ng lahat ng mga vertex ng isang regular na hugis-parihaba na pyramid:
Ano ang gagawin kapag iba ang tadyang
Paano kung ang mga gilid na gilid ng pyramid ay hindi katumbas ng mga gilid ng base? Sa kasong ito, isaalang-alang ang tatsulok na AHS:
Triangle AHS - hugis-parihaba, at ang hypotenuse AS ay isa ring gilid na gilid ng orihinal na pyramid SABCD. Ang Leg AH ay madaling kalkulahin: AH = 0.5 AC. Hahanapin natin ang natitirang binti SH ayon sa Pythagorean theorem. Ito ang magiging z coordinate para sa punto S.
Gawain. Given a regular quadrangular pyramid SABCD, at the base of which is lies a square with side 1. Side edge BS = 3. Hanapin ang mga coordinate ng point S.
Alam na natin ang x at y coordinate ng puntong ito: x = y = 0.5. Ito ay sumusunod mula sa dalawang katotohanan:
- Ang projection ng point S papunta sa OXY plane ay point H;
- Kasabay nito, ang punto H ay ang sentro ng isang parisukat na ABCD, ang lahat ng panig nito ay katumbas ng 1.
Ito ay nananatili upang mahanap ang coordinate ng point S. Isaalang-alang ang tatsulok na AHS. Ito ay hugis-parihaba, na may hypotenuse AS = BS = 3, ang binti AH ay kalahati ng dayagonal. Para sa karagdagang mga kalkulasyon kailangan namin ang haba nito:
Pythagorean theorem para sa triangle AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Meron kami:
Kaya, ang mga coordinate ng point S:
Pyramid ay isang polyhedron, ang isa sa mga mukha ay isang polygon ( base ), at lahat ng iba pang mukha ay mga tatsulok na may karaniwang vertex ( mga mukha sa gilid ) (Larawan 15). Ang pyramid ay tinatawag tama , kung ang base nito ay isang regular na polygon at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng base (Larawan 16). Ang isang tatsulok na pyramid na ang lahat ng mga gilid ay pantay ay tinatawag tetrahedron .
Lateral rib ng isang pyramid ay ang gilid ng gilid na mukha na hindi kabilang sa base taas Ang pyramid ay ang distansya mula sa tuktok nito hanggang sa eroplano ng base. Ang lahat ng mga lateral na gilid ng isang regular na pyramid ay pantay-pantay sa bawat isa, ang lahat ng mga lateral na mukha ay pantay na isosceles triangles. Ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa vertex ay tinatawag apothem . Diagonal na seksyon ay tinatawag na seksyon ng isang pyramid sa pamamagitan ng isang eroplanong dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa parehong mukha.
Lateral surface area Ang pyramid ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga lateral na mukha. Kabuuang lugar sa ibabaw ay tinatawag na kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga gilid na mukha at ang base.
Theorems
1. Kung sa isang pyramid ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay na nakakiling sa eroplano ng base, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na nakapaligid malapit sa base.
2. Kung ang lahat ng mga gilid na gilid ng isang pyramid ay may pantay na haba, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng isang bilog na nakapaligid malapit sa base.
3. Kung ang lahat ng mga mukha sa isang pyramid ay pantay na nakahilig sa eroplano ng base, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng isang bilog na nakasulat sa base.
Upang kalkulahin ang dami ng isang arbitrary na pyramid, ang tamang formula ay:
saan V- dami;
S base- base na lugar;
H– taas ng pyramid.
Para sa isang regular na pyramid, tama ang mga sumusunod na formula:
saan p- base perimeter;
h a– apothem;
H- taas;
S puno
S gilid
S base- base na lugar;
V– dami ng isang regular na pyramid.
Pinutol na pyramid tinatawag na bahagi ng pyramid na nakapaloob sa pagitan ng base at isang cutting plane na kahanay sa base ng pyramid (Fig. 17). Regular na pinutol na pyramid tinatawag na bahagi ng isang regular na pyramid na nakapaloob sa pagitan ng base at isang cutting plane na parallel sa base ng pyramid.
Mga dahilan pinutol na pyramid - mga katulad na polygon. Mga mukha sa gilid - mga trapezoid. taas ng isang pinutol na pyramid ay ang distansya sa pagitan ng mga base nito. dayagonal ang pinutol na pyramid ay isang segment na nagdudugtong sa mga vertice nito na hindi nakahiga sa parehong mukha. Diagonal na seksyon ay isang seksyon ng pinutol na pyramid ng isang eroplanong dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa iisang mukha.
Para sa isang pinutol na pyramid ang mga sumusunod na formula ay wasto:
(4)
saan S 1 , S 2 - mga lugar ng upper at lower base;
S puno- kabuuang lugar sa ibabaw;
S gilid- lateral surface area;
H- taas;
V– dami ng pinutol na pyramid.
Para sa isang regular na pinutol na pyramid ang formula ay tama:
saan p 1 , p 2 - mga perimeter ng mga base;
h a– apothem ng isang regular na pinutol na pyramid.
Halimbawa 1. Sa isang regular na triangular na pyramid, ang dihedral na anggulo sa base ay 60º. Hanapin ang padaplis ng anggulo ng pagkahilig ng gilid na gilid sa eroplano ng base.
Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 18).
 |
Ang pyramid ay regular, na nangangahulugan na sa base ay may equilateral triangle at ang lahat ng side face ay pantay na isosceles triangles. Ang anggulo ng dihedral sa base ay ang anggulo ng pagkahilig ng gilid na mukha ng pyramid sa eroplano ng base. Ang linear na anggulo ay ang anggulo a sa pagitan ng dalawang patayo: atbp. Ang tuktok ng pyramid ay inaasahang nasa gitna ng tatsulok (ang gitna ng bilog na bilog at nakasulat na bilog ng tatsulok ABC). Ang anggulo ng pagkahilig ng gilid ng gilid (halimbawa S.B.) ay ang anggulo sa pagitan ng gilid mismo at ang projection nito papunta sa eroplano ng base. Para sa tadyang S.B. ang anggulong ito ang magiging anggulo SBD. Upang mahanap ang padaplis kailangan mong malaman ang mga binti KAYA At OB. Hayaan ang haba ng segment BD katumbas ng 3 A. Dot TUNGKOL SA segment ng linya BD ay nahahati sa mga bahagi: at Mula sa nakita natin KAYA: 
Mula sa nakita namin: 
Sagot:
Halimbawa 2. Hanapin ang volume ng isang regular na truncated quadrangular pyramid kung ang mga diagonal ng mga base nito ay katumbas ng cm at cm, at ang taas nito ay 4 cm.
Solusyon. Upang mahanap ang volume ng isang pinutol na pyramid, ginagamit namin ang formula (4). Upang mahanap ang lugar ng mga base, kailangan mong hanapin ang mga gilid ng base square, alam ang kanilang mga diagonal. Ang mga gilid ng mga base ay katumbas ng 2 cm at 8 cm, ayon sa pagkakabanggit.
Sagot: 112 cm 3.
Halimbawa 3. Hanapin ang lugar ng lateral na mukha ng isang regular na triangular na pinutol na pyramid, ang mga gilid ng mga base na kung saan ay 10 cm at 4 cm, at ang taas ng pyramid ay 2 cm.
Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 19).
Ang gilid na mukha ng pyramid na ito ay isang isosceles trapezoid. Upang makalkula ang lugar ng isang trapezoid, kailangan mong malaman ang base at taas. Ang mga base ay ibinibigay ayon sa kondisyon, tanging ang taas ay nananatiling hindi kilala. Hahanapin natin siya kung saan A 1 E patayo mula sa isang punto A 1 sa eroplano ng mas mababang base, A 1 D– patayo mula sa A 1 bawat AC. A 1 E= 2 cm, dahil ito ang taas ng pyramid. Hanapin DE Gumawa tayo ng karagdagang pagguhit na nagpapakita ng tuktok na view (Larawan 20). Dot TUNGKOL SA– projection ng mga sentro ng upper at lower bases. mula noong (tingnan ang Fig. 20) at Sa kabilang banda OK– radius na nakasulat sa bilog at 
OM– radius na nakasulat sa isang bilog:
MK = DE.
Ayon sa Pythagorean theorem mula sa
Lugar ng mukha sa gilid: 
Sagot:
Halimbawa 4. Sa base ng pyramid ay namamalagi ang isang isosceles trapezoid, ang mga base nito A At b (a> b). Ang bawat panig na mukha ay bumubuo ng isang anggulo na katumbas ng eroplano ng base ng pyramid j. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng pyramid.
Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 21). Kabuuang lugar ng ibabaw ng pyramid SABCD katumbas ng kabuuan ng mga lugar at ang lugar ng trapezoid A B C D.
Gamitin natin ang pahayag na kung ang lahat ng mga mukha ng pyramid ay pantay na nakahilig sa eroplano ng base, kung gayon ang vertex ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na nakasulat sa base. Dot TUNGKOL SA– projection ng vertex S sa base ng pyramid. Tatsulok SOD ay ang orthogonal projection ng tatsulok CSD sa eroplano ng base. Gamit ang theorem sa lugar ng orthogonal projection ng isang plane figure, nakuha namin:
Gayundin ang ibig sabihin nito 
Kaya, ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng lugar ng trapezoid A B C D. Gumuhit tayo ng trapezoid A B C D hiwalay (Larawan 22). Dot TUNGKOL SA– ang gitna ng isang bilog na nakasulat sa isang trapezoid.
Dahil ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang trapezoid, kung gayon o Mula sa Pythagorean theorem mayroon tayong
Paano ka makakagawa ng pyramid? Sa ibabaw R Bumuo tayo ng polygon, halimbawa ang pentagon ABCDE. Sa labas ng eroplano R Kunin natin ang point S. Sa pamamagitan ng pagkonekta ng point S na may mga segment sa lahat ng punto ng polygon, nakukuha natin ang SABCDE pyramid (Fig.).
Point S ay tinatawag itaas, at ang polygon ABCDE ay batayan pyramid na ito. Kaya, ang isang pyramid na may tuktok na S at base ABCDE ay ang unyon ng lahat ng mga segment kung saan ang M ∈ ABCDE.
Triangles SAB, SBC, SCD, SDE, SEA ay tinatawag mga mukha sa gilid pyramids, karaniwang mga gilid ng lateral na mukha SA, SB, SC, SD, SE - lateral ribs.
Tinatawag ang mga pyramid triangular, quadrangular, p-angular depende sa bilang ng mga gilid ng base. Sa Fig. Ang mga larawan ng triangular, quadrangular at hexagonal pyramids ay ibinigay.
Ang eroplano na dumadaan sa tuktok ng pyramid at ang dayagonal ng base ay tinatawag dayagonal, at ang resultang seksyon ay dayagonal. Sa Fig. 186 isa sa mga diagonal na seksyon ng hexagonal pyramid ay may kulay.
Ang perpendicular segment na iginuhit sa tuktok ng pyramid hanggang sa eroplano ng base nito ay tinatawag na taas ng pyramid (ang mga dulo ng segment na ito ay ang tuktok ng pyramid at ang base ng perpendicular).
Ang pyramid ay tinatawag tama, kung ang base ng pyramid ay isang regular na polygon at ang vertex ng pyramid ay inaasahang nasa gitna nito.
Ang lahat ng lateral na mukha ng isang regular na pyramid ay magkaparehong isosceles triangles. Sa isang regular na pyramid, lahat ng lateral edge ay magkapareho.
Ang taas ng lateral face ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa vertex nito ay tinatawag apothem mga pyramid. Ang lahat ng apothems ng isang regular na pyramid ay kapareho.
Kung itinalaga natin ang gilid ng base bilang A, at ang apothem sa pamamagitan ng h, kung gayon ang lugar ng isang gilid na mukha ng pyramid ay 1/2 ah.
Ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga lateral na mukha ng pyramid ay tinatawag lateral surface area pyramid at itinalaga sa gilid ng S.
Dahil ang lateral surface ng isang regular na pyramid ay binubuo ng n magkatugma ang mga mukha, kung gayon
S gilid = 1/2 ahn= P h / 2 ,
kung saan ang P ay ang perimeter ng base ng pyramid. Kaya naman,
S gilid = P h / 2
i.e. Ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base at ang apothem.
Ang kabuuang lugar ng ibabaw ng pyramid ay kinakalkula ng formula
S = S ocn. + S gilid. .
Ang dami ng pyramid ay katumbas ng isang-katlo ng produkto ng lugar ng base nito S ocn. sa taas H:
V = 1 / 3 S pangunahing. N.
Ang derivation nito at ilang iba pang formula ay ibibigay sa isa sa mga susunod na kabanata.
Bumuo tayo ngayon ng isang pyramid sa ibang paraan. Hayaang magbigay ng polyhedral angle, halimbawa, pentahedral, na may vertex S (Fig.).
Gumuhit tayo ng eroplano R upang ito ay intersects ang lahat ng mga gilid ng isang naibigay na polyhedral anggulo sa iba't ibang mga punto A, B, C, D, E (Fig.). Kung gayon ang SABCDE pyramid ay maaaring ituring bilang intersection ng isang polyhedral angle at isang kalahating espasyo na may hangganan R, kung saan matatagpuan ang vertex S.
Malinaw, ang bilang ng lahat ng mga mukha ng pyramid ay maaaring maging arbitrary, ngunit hindi bababa sa apat. Kapag ang isang trihedral na anggulo ay bumalandra sa isang eroplano, ang isang tatsulok na pyramid ay nakuha, na may apat na panig. Ang anumang triangular na pyramid ay tinatawag minsan tetrahedron, na nangangahulugang tetrahedron.
Pinutol na pyramid maaaring makuha kung ang pyramid ay intersected ng isang eroplanong parallel sa eroplano ng base.
Sa Fig. Ang isang imahe ng isang quadrangular truncated pyramid ay ibinigay.
Tinatawag din ang mga pinutol na pyramid tatsulok, quadrangular, n-gonal depende sa bilang ng mga gilid ng base. Mula sa pagtatayo ng isang pinutol na pyramid ay sumusunod na mayroon itong dalawang base: itaas at ibaba. Ang mga base ng isang pinutol na pyramid ay dalawang polygons, ang mga gilid nito ay magkapareho sa mga pares. Ang mga lateral na mukha ng pinutol na pyramid ay mga trapezoid.
taas ang pinutol na pyramid ay isang perpendikular na segment na iginuhit mula sa anumang punto ng itaas na base hanggang sa eroplano ng ibaba.
Regular na pinutol na pyramid tinatawag na bahagi ng isang regular na pyramid na nakapaloob sa pagitan ng base at isang section plane na parallel sa base. Ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pinutol na pyramid (trapezoid) ay tinatawag apothem.
Mapapatunayan na ang isang regular na pinutol na pyramid ay may magkaparehong mga gilid ng gilid, lahat ng lateral na mukha ay magkapareho, at lahat ng apothem ay magkatugma.
Kung nasa tamang pinutol n-coal pyramid sa pamamagitan ng A At b n ipahiwatig ang mga haba ng mga gilid ng itaas at mas mababang mga base, at sa pamamagitan ng h ay ang haba ng apothem, kung gayon ang lugar ng bawat gilid na mukha ng pyramid ay katumbas ng
1 / 2 (A + b n) h
Ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng lateral na mukha ng pyramid ay tinatawag na lugar ng lateral surface nito at itinalagang S side. . Malinaw, para sa isang tamang pinutol n- pyramid ng karbon
S gilid = n 1 / 2 (A + b n) h.
kasi pa= P at nb n= P 1 - ang mga perimeter ng mga base ng pinutol na pyramid, pagkatapos
S gilid = 1 / 2 (P + P 1) h,
iyon ay, ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pinutol na pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng kabuuan ng mga perimeter ng mga base nito at ang apothem.
Seksyon parallel sa base ng pyramid
Teorama. Kung ang pyramid ay intersected ng isang eroplanong parallel sa base, kung gayon:1) ang mga tadyang sa gilid at taas ay hahatiin sa proporsyonal na mga bahagi;
2) sa cross-section makakakuha ka ng isang polygon na katulad ng base;
3) ang mga cross-sectional na lugar at base ay nauugnay bilang mga parisukat ng kanilang mga distansya mula sa itaas.
Ito ay sapat na upang patunayan ang teorama para sa isang tatsulok na pyramid.
Dahil ang mga parallel na eroplano ay intersected ng isang ikatlong eroplano kasama ang mga parallel na linya, kung gayon (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (fig.).
Ang mga parallel na linya ay pinuputol ang mga gilid ng isang anggulo sa mga proporsyonal na bahagi, at samakatuwid
$$ \frac(\kaliwa|(SA)\kanan|)(\kaliwa|(SA_1)\kanan|)=\frac(\kaliwa|(SB)\kanan|)(\kaliwa|(SB_1)\kanan| )=\frac(\kaliwa|(SC)\kanan|)(\kaliwa|(SC_1)\kanan|) $$
Samakatuwid, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 at
$$ \frac(\kaliwa|(AB)\kanan|)(\kaliwa|(A_(1)B_1)\kanan|)=\frac(\kaliwa|(SB)\kanan|)(\kaliwa|(SB_1 )\kanan|) $$
ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 at
$$ \frac(\kaliwa|(BC)\kanan|)(\kaliwa|(B_(1)C_1)\kanan|)=\frac(\kaliwa|(SB)\kanan|)(\kaliwa|(SB_1 )\kanan|)=\frac(\kaliwa|(SC)\kanan|)(\kaliwa|(SC_1)\kanan|) $$
kaya,
$$ \frac(\kaliwa|(AB)\kanan|)(\kaliwa|(A_(1)B_1)\kanan|)=\frac(\kaliwa|(BC)\kanan|)(\kaliwa|(B_ (1)C_1)\kanan|)=\frac(\kaliwa|(AC)\kanan|)(\kaliwa|(A_(1)C_1)\kanan|) $$
Ang mga katumbas na anggulo ng mga tatsulok na ABC at A 1 B 1 C 1 ay magkatugma, tulad ng mga anggulo na may parallel at magkaparehong panig. kaya lang
ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1
Ang mga lugar ng magkatulad na tatsulok ay nauugnay bilang mga parisukat ng kaukulang panig:
$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\kaliwa|(AB)\kanan|^2)(\kaliwa|(A_(1)B_1)\kanan|^2 ) $$
$$ \frac(\kaliwa|(AB)\kanan|)(\kaliwa|(A_(1)B_1)\kanan|)=\frac(\kaliwa|(SH)\kanan|)(\kaliwa|(SH_1 )\kanan|) $$
Kaya naman,
$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\kaliwa|(SH)\kanan|^2)(\kaliwa|(SH_1)\kanan|^2) $$
Teorama. Kung ang dalawang pyramid na may pantay na taas ay pinutol sa parehong distansya mula sa itaas ng mga eroplano na kahanay sa mga base, kung gayon ang mga lugar ng mga seksyon ay proporsyonal sa mga lugar ng mga base.
Hayaang (Larawan 84) B at B 1 ang mga lugar ng mga base ng dalawang pyramids, H ang taas ng bawat isa sa kanila, b At b 1 - mga sectional na lugar sa pamamagitan ng mga eroplano na kahanay sa mga base at inalis mula sa mga vertices sa parehong distansya h.
Ayon sa nakaraang teorama magkakaroon tayo ng:
$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: at \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
saan
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: o \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$
Bunga. Kung B = B 1, kung gayon b = b 1, ibig sabihin. Kung ang dalawang pyramid na may pantay na taas ay may pantay na base, kung gayon ang mga seksyon na pantay na pagitan mula sa itaas ay pantay din.
Iba pang mga materyalesKahulugan. Gilid na gilid- ito ay isang tatsulok kung saan ang isang anggulo ay namamalagi sa tuktok ng pyramid, at ang kabaligtaran na bahagi ay nag-tutugma sa gilid ng base (polygon).
Kahulugan. Mga tadyang sa gilid- ito ang mga karaniwang panig ng mga gilid na mukha. Ang isang pyramid ay may kasing dami ng mga gilid gaya ng mga anggulo ng isang polygon.
Kahulugan. Taas ng pyramid- ito ay isang patayo na ibinababa mula sa itaas hanggang sa base ng pyramid.
Kahulugan. Apothem- ito ay isang patayo sa gilid na mukha ng pyramid, na ibinaba mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa gilid ng base.
Kahulugan. Diagonal na seksyon- ito ay isang seksyon ng isang pyramid sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa tuktok ng pyramid at ang dayagonal ng base.
Kahulugan. Tamang pyramid ay isang pyramid kung saan ang base ay isang regular na polygon, at ang taas ay bumababa sa gitna ng base.
Dami at lugar ng ibabaw ng pyramid
Formula. Dami ng pyramid sa pamamagitan ng base area at taas:
Mga katangian ng pyramid
Kung ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay, kung gayon ang isang bilog ay maaaring iguhit sa paligid ng base ng pyramid, at ang gitna ng base ay tumutugma sa gitna ng bilog. Gayundin, ang isang patayo na bumaba mula sa itaas ay dumadaan sa gitna ng base (bilog).
Kung ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay, kung gayon sila ay hilig sa eroplano ng base sa parehong mga anggulo.
Ang mga lateral edge ay pantay-pantay kapag bumubuo ang mga ito ng pantay na mga anggulo sa eroplano ng base o kung ang isang bilog ay maaaring ilarawan sa paligid ng base ng pyramid.
Kung ang mga gilid ng mukha ay nakakiling sa eroplano ng base sa parehong anggulo, kung gayon ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa base ng pyramid, at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna nito.
Kung ang mga mukha sa gilid ay nakakiling sa eroplano ng base sa parehong anggulo, kung gayon ang mga apothems ng mga gilid na mukha ay pantay.
Mga katangian ng isang regular na pyramid
1. Ang tuktok ng pyramid ay katumbas ng layo mula sa lahat ng sulok ng base.
2. Ang lahat ng gilid ng gilid ay pantay.
3. Ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay nakakiling sa pantay na mga anggulo sa base.
4. Ang mga apothems ng lahat ng lateral na mukha ay pantay.
5. Ang mga lugar ng lahat ng panig na mukha ay pantay.
6. Ang lahat ng mga mukha ay may parehong dihedral (flat) na anggulo.
7. Ang isang sphere ay maaaring ilarawan sa paligid ng pyramid. Ang gitna ng circumscribed sphere ay ang intersection point ng mga perpendicular na dumadaan sa gitna ng mga gilid.
8. Maaari mong ilagay ang isang sphere sa isang pyramid. Ang gitna ng inscribed sphere ay ang punto ng intersection ng mga bisector na nagmumula sa anggulo sa pagitan ng gilid at base.
9. Kung ang gitna ng inscribed sphere ay tumutugma sa gitna ng circumscribed sphere, kung gayon ang kabuuan ng mga anggulo ng plane sa vertex ay katumbas ng π o vice versa, ang isang anggulo ay katumbas ng π/n, kung saan n ang numero ng mga anggulo sa base ng pyramid.
Ang koneksyon sa pagitan ng pyramid at ng globo
Ang isang globo ay maaaring ilarawan sa paligid ng isang pyramid kapag sa base ng pyramid ay mayroong isang polyhedron sa paligid kung saan ang isang bilog ay maaaring ilarawan (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang gitna ng globo ay ang intersection point ng mga eroplano na dumaraan nang patayo sa mga midpoint ng mga gilid na gilid ng pyramid.
Palaging posible na ilarawan ang isang globo sa paligid ng anumang triangular o regular na pyramid.
Ang isang globo ay maaaring isulat sa isang pyramid kung ang mga bisector plane ng mga panloob na dihedral na anggulo ng pyramid ay nagsalubong sa isang punto (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang puntong ito ang magiging sentro ng globo.
Relasyon sa pagitan ng isang pyramid at isang kono
Sinasabing ang isang kono ay nakasulat sa isang pyramid kung ang kanilang mga vertices ay magkasabay at ang base ng kono ay nakasulat sa base ng pyramid.
Ang isang kono ay maaaring isulat sa isang pyramid kung ang mga apothems ng pyramid ay katumbas ng bawat isa.
Ang isang kono ay sinasabing napapaligiran sa paligid ng isang pyramid kung ang kanilang mga vertices ay nagsasabay at ang base ng kono ay naliligiran sa paligid ng base ng pyramid.
Ang isang kono ay maaaring ilarawan sa paligid ng isang pyramid kung ang lahat ng mga lateral na gilid ng pyramid ay pantay sa bawat isa.
Relasyon sa pagitan ng isang pyramid at isang silindro
Ang isang pyramid ay tinatawag na inscribed sa isang cylinder kung ang tuktok ng pyramid ay nasa isang base ng cylinder, at ang base ng pyramid ay nakasulat sa isa pang base ng cylinder.
Ang isang silindro ay maaaring ilarawan sa paligid ng isang pyramid kung ang isang bilog ay maaaring ilarawan sa paligid ng base ng pyramid.
Ang isang tetrahedron ay may apat na mukha at apat na vertice at anim na gilid, kung saan anumang dalawang gilid ay walang mga karaniwang vertex ngunit hindi magkadikit.
Ang bawat taluktok ay binubuo ng tatlong mukha at mga gilid na nabuo tatsulok na anggulo.
Ang segment na nagkokonekta sa vertex ng isang tetrahedron sa gitna ng kabaligtaran na mukha ay tinatawag median ng tetrahedron(GM).
Bimedian tinatawag na segment na nag-uugnay sa mga midpoint ng magkasalungat na gilid na hindi magkadikit (KL).
Ang lahat ng bimedians at median ng isang tetrahedron ay nagsalubong sa isang punto (S). Sa kasong ito, ang mga bimedian ay nahahati sa kalahati, at ang mga median ay nahahati sa isang ratio na 3:1 simula sa itaas.
Kahulugan. Talamak na angled pyramid- isang pyramid kung saan ang apothem ay higit sa kalahati ng haba ng gilid ng base.
Kahulugan. Obtuse pyramid- isang pyramid kung saan ang apothem ay mas mababa sa kalahati ng haba ng gilid ng base.
Kahulugan. Regular na tetrahedron- isang tetrahedron kung saan ang lahat ng apat na mukha ay equilateral triangles. Ito ay isa sa limang regular na polygons. Sa isang regular na tetrahedron, lahat ng dihedral na anggulo (sa pagitan ng mga mukha) at trihedral na anggulo (sa vertex) ay pantay.
Kahulugan. Parihabang tetrahedron ay tinatawag na tetrahedron kung saan mayroong tamang anggulo sa pagitan ng tatlong gilid sa tuktok (ang mga gilid ay patayo). Tatlong mukha ang nabuo hugis-parihaba tatsulok na anggulo at ang mga mukha ay tamang tatsulok, at ang base ay isang di-makatwirang tatsulok. Ang apothem ng anumang mukha ay katumbas ng kalahati ng gilid ng base kung saan nahuhulog ang apothem.
Kahulugan. Isohedral tetrahedron ay tinatawag na tetrahedron na ang mga gilid ng mukha ay pantay sa bawat isa, at ang base ay isang regular na tatsulok. Ang nasabing tetrahedron ay may mga mukha na isosceles triangles.
Kahulugan. Orthocentric tetrahedron ay tinatawag na tetrahedron kung saan ang lahat ng taas (perpendiculars) na ibinababa mula sa itaas hanggang sa tapat na mukha ay nagsalubong sa isang punto.
Kahulugan. Piramid ng bituin tinatawag na polyhedron na ang base ay isang bituin.
