Číselný kruh. Trigonometrický kruh

V tejto lekcii si pripomenieme definíciu číselnej osi a uvedieme novú definíciu číselného kruhu. Podrobne zvážime aj dôležitú vlastnosť číselného kruhu a dôležité body na kruhu. Definujme priame a inverzné úlohy pre číselný kruh a vyriešme niekoľko príkladov takýchto úloh.

Téma: Goniometrické funkcie

Lekcia: Číselný kruh

Pre akúkoľvek funkciu je nezávislý argument odložený buď o číselný rad, alebo na kruhu. Charakterizujme ako číselný rad, tak aj číselný kruh.

Priamka sa stáva číselnou (súradnicovou) čiarou, ak je označený počiatok súradníc a je zvolený smer a mierka (obr. 1).

Číselná os vytvára zhodu jedna ku jednej medzi všetkými bodmi na línii a všetkými reálnymi číslami.

Napríklad zoberieme číslo a dáme ho na súradnicovú os, dostaneme bod, Vezmeme číslo a položíme ho na os, dostaneme bod (obr. 2).

A naopak, ak vezmeme ľubovoľný bod na súradnicovej priamke, potom jemu zodpovedá jedinečné reálne číslo (obr. 2).

Na takúto korešpondenciu ľudia neprišli hneď. Aby sme to pochopili, spomeňme si na základné číselné množiny.

Najprv sme zaviedli množinu prirodzených čísel

Potom množina celých čísel

Množina racionálnych čísel

Predpokladalo sa, že tieto množiny budú postačujúce a že medzi všetkými racionálnymi číslami a bodmi na priamke bude zhoda jedna ku jednej. Ale ukázalo sa, že na číselnej osi je nespočetné množstvo bodov, ktoré sa nedajú opísať číslami formulára

Príkladom je prepona pravouhlého trojuholníka s nohami 1 a 1. Rovná sa (obr. 3).

Existuje medzi množinou racionálnych čísel číslo presne rovné Nie, nie je. Dokážme túto skutočnosť.

Dokážme to protirečením. Predpokladajme, že existuje zlomok rovný t.j.

Potom obe strany odmocníme, je zrejmé, že pravá strana rovnosti je deliteľná 2, . To znamená a Potom Ale potom a A znamená Potom sa ukáže, že zlomok je redukovateľný. To je v rozpore s podmienkou, čo znamená

Číslo je iracionálne. Množina racionálnych a iracionálnych čísel tvorí množinu reálnych čísel Ak vezmeme akýkoľvek bod na priamke, bude mu zodpovedať nejaké reálne číslo. A ak vezmeme akékoľvek reálne číslo, na súradnicovej línii bude jediný bod, ktorý mu bude zodpovedať.

Ujasnime si, čo je číselný kruh a aké sú vzťahy medzi množinou bodov na kružnici a množinou reálnych čísel.

Pôvod - bod A. Smer počítania - proti smeru hodinových ručičiek - kladný, v smere hodinových ručičiek - záporný. Mierka - obvod (obr. 4).

Uvádzame tieto tri ustanovenia číselný kruh. Naznačíme, ako ku každému číslu priradiť bod na kruhu a naopak.

Nastavením čísla dostaneme bod na kruhu

Každé reálne číslo zodpovedá bodu na kruhu. A čo naopak?

Bodka zodpovedá číslu. A ak vezmeme čísla, všetky tieto čísla majú na svojom obrázku na kruhu iba jeden bod

Napríklad zodpovedá bodu B(obr. 4).

Zoberme si všetky čísla, všetky zodpovedajú bodu. B. Neexistuje žiadna zhoda medzi všetkými reálnymi číslami a bodmi na kruhu.

Ak existuje pevné číslo, potom mu zodpovedá iba jeden bod na kruhu

Ak je na kružnici bod, potom mu zodpovedá množina čísel

Na rozdiel od priamky nemá súradnicová kružnica vzájomnú zhodu medzi bodmi a číslami. Každému číslu zodpovedá iba jeden bod, no každý bod zodpovedá nekonečnému počtu čísel a tie si môžeme zapísať.

Pozrime sa na hlavné body na kruhu.

Dané číslo nájdite, ktorému bodu na kruhu zodpovedá.

Rozdelením oblúka na polovicu dostaneme bod (obr. 5).

Inverzný problém: ak je bod v strede oblúka, nájdite všetky reálne čísla, ktoré mu zodpovedajú.

Označme všetky viacnásobné oblúky na číselnom kruhu (obr. 6).

Oblúky, ktoré sú násobkom

Je dané číslo. Musíte nájsť zodpovedajúci bod.

Inverzný problém – daný bod, musíte nájsť, ktorým číslam zodpovedá.

Pozreli sme sa na dve štandardné úlohy v dvoch kritických bodoch.

a) Nájdite bod na číselnom kruhu so súradnicou

Oneskorenie od bodu A toto sú dve celé otáčky a ďalšia polovica a získame bod M- toto je polovica tretej štvrtiny (obr. 8).

Odpoveď. Bodka M- polovica tretieho štvrťroka.

b) Nájdite bod na číselnom kruhu so súradnicou

Oneskorenie od bodu A plný obrat a stále získavame bod N(obr. 9).

Odpoveď: Bod N je v prvom štvrťroku.

Pozreli sme sa na číselný rad a číselný kruh a zapamätali sme si ich vlastnosti. Zvláštnosťou číselnej osi je zhoda jedna ku jednej medzi bodmi tejto čiary a množinou reálnych čísel. Na kruhu nie je taká individuálna korešpondencia. Každé reálne číslo na kruhu zodpovedá jednému bodu, ale každý bod na kruhu zodpovedá nekonečnému počtu reálnych čísel.

V ďalšej lekcii sa pozrieme na číselný kruh v súradnicovej rovine.

Zoznam odkazov na tému "Číselný kruh", "Bod na kruhu"

1. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie (profilová úroveň), vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Kniha problémov pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartburd S.I. Algebra a matematická analýza pre 10. ročník (učebnica pre študentov škôl a tried s pokročilým štúdiom matematiky) - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Hĺbkové štúdium algebry a matematickej analýzy.-M.: Education, 1997.

5. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na technických vysokých školách (spracoval M.I. Skanavi).- M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraický simulátor.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problémy algebry a princípov analýzy (príručka pre študentov 10. až 11. ročníka všeobecných vzdelávacích inštitúcií) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Zbierka úloh z algebry a princípov analýzy: učebnica. príspevok pre 10-11 ročníkov. s hĺbkou študoval Matematika.-M.: Vzdelávanie, 2006.

Domáca úloha

Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Kniha problémov pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 11.6 - 11.12, 11.15 - 11.17.

Ďalšie webové zdroje

3. Vzdelávací portál na prípravu na skúšky ().

Súradnice X body ležiace na kružnici sa rovnajú cos(θ) a súradnice r zodpovedajú sin(θ), kde θ je veľkosť uhla.

• Ak je pre vás ťažké zapamätať si toto pravidlo, nezabudnite, že v páre (cos; hriech) „sínus je posledný“.
• Toto pravidlo možno odvodiť zvážením pravouhlých trojuholníkov a definíciou týchto goniometrických funkcií (sínus uhla sa rovná pomeru dĺžky protiľahlej strany a kosínusu priľahlej strany k prepone).

Zapíšte si súradnice štyroch bodov na kružnici.„Jednotkový kruh“ je kruh, ktorého polomer sa rovná jednej. Použite to na určenie súradníc X A r v štyroch priesečníkoch súradnicových osí s kružnicou. Vyššie sme pre prehľadnosť označili tieto body ako „východ“, „sever“, „západ“ a „juh“, hoci nemajú ustálené názvy.

• "Východ" zodpovedá bodu so súradnicami (1; 0) .
• "Sever" zodpovedá bodu so súradnicami (0; 1) .
• "Západ" zodpovedá bodu so súradnicami (-1; 0) .
• "Juh" zodpovedá bodu so súradnicami (0; -1) .
• Je to podobné ako pri bežnom grafe, takže nie je potrebné si tieto hodnoty pamätať, stačí si zapamätať základný princíp.

Zapamätajte si súradnice bodov v prvom kvadrante. Prvý kvadrant sa nachádza v pravej hornej časti kruhu, kde sú súradnice X A r nadobúdať kladné hodnoty. Toto sú jediné súradnice, ktoré si musíte zapamätať:

• bod π / 6 má súradnice () ;
• bod π/4 má súradnice () ;
• bod π / 3 má súradnice () ;
• Všimnite si, že čitateľ má iba tri hodnoty. Ak sa pohybujete v pozitívnom smere (zľava doprava pozdĺž osi X a zdola nahor pozdĺž osi r), čitateľ nadobúda hodnoty 1 → √2 → √3.

Nakreslite rovné čiary a určte súradnice bodov ich priesečníka s kružnicou. Ak nakreslíte rovné vodorovné a zvislé čiary z bodov jedného kvadrantu, druhý priesečník týchto čiar s kružnicou bude mať súradnice X A r s rovnakými absolútnymi hodnotami, ale rôznymi znakmi. Inými slovami, môžete nakresliť vodorovné a zvislé čiary z bodov prvého kvadrantu a označiť priesečníky s kružnicou rovnakými súradnicami, ale zároveň nechať miesto na ľavej strane pre správne znamienko („+“ alebo "-").

• Môžete napríklad nakresliť vodorovnú čiaru medzi bodmi π/3 a 2π/3. Keďže prvý bod má súradnice ( 1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))), súradnice druhého bodu budú (? 12, ? 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),?(\frac (\sqrt (3))(2)))), kde je namiesto znamienka „+“ alebo „-“ otáznik.
• Použite najjednoduchšiu metódu: venujte pozornosť menovateľom súradníc bodu v radiánoch. Všetky body s menovateľom 3 majú rovnaké absolútne hodnoty súradníc. To isté platí pre body s menovateľmi 4 a 6.

Na určenie znamienka súradníc použite pravidlá symetrie. Existuje niekoľko spôsobov, ako určiť, kam umiestniť znak „-“:

• Pamätajte na základné pravidlá pre bežné grafy. Os X negatívny vľavo a pozitívny vpravo. Os r negatívne zdola a pozitívne zhora;
• začnite prvým kvadrantom a nakreslite čiary do ďalších bodov. Ak čiara pretína os r, koordinovať X zmení svoje znamenie. Ak čiara pretína os X, zmení sa znamienko súradnice r;
• pamätajte, že v prvom kvadrante sú všetky funkcie kladné, v druhom kvadrante je kladný iba sínus, v treťom kvadrante je kladný iba tangens a vo štvrtom kvadrante je kladný iba kosínus;
• Bez ohľadu na to, ktorú metódu použijete, mali by ste dostať (+,+) v prvom kvadrante, (-,+) v druhom, (-,-) v treťom a (+,-) vo štvrtom.

Skontrolujte, či ste sa nepomýlili. Nižšie je uvedený úplný zoznam súradníc „špeciálnych“ bodov (okrem štyroch bodov na súradnicových osiach), ak sa pohybujete po jednotkovej kružnici proti smeru hodinových ručičiek. Pamätajte, že na určenie všetkých týchto hodnôt si stačí zapamätať súradnice bodov iba v prvom kvadrante:

• prvý kvadrant :( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
• druhý kvadrant: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
• tretí kvadrant: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
• štvrtý kvadrant: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).

Video lekcie patria medzi najefektívnejšie vyučovacie nástroje, najmä v školských predmetoch, ako je matematika. Preto autor tohto materiálu zhromaždil iba užitočné, dôležité a kompetentné informácie do jedného celku.

Táto lekcia trvá 11:52 minúty. Takmer rovnaký čas trvá učiteľovi, kým na hodine vysvetlí novú látku na danú tému. Aj keď hlavnou výhodou video lekcie bude skutočnosť, že študenti budú pozorne počúvať, o čom autor hovorí, bez toho, aby ich rozptyľovali cudzie témy a rozhovory. Ak totiž žiaci nebudú pozorne počúvať, vynechajú dôležitý bod hodiny. A ak učiteľ vysvetlí látku sám, potom jeho študenti môžu ľahko odvrátiť pozornosť od hlavnej veci svojimi rozhovormi o abstraktných témach. A samozrejme sa ukáže, ktorá metóda bude racionálnejšia.

Na začiatku hodiny autor venuje zopakovaniu tých funkcií, ktoré študenti poznali skôr v kurze algebry. A prvé, ktoré začnú študovať, sú goniometrické funkcie. Na ich zváženie a štúdium je potrebný nový matematický model. A tento model sa stáva číselným kruhom, čo je presne to, čo je uvedené v téme hodiny. Na tento účel je zavedený pojem jednotkový kruh a je uvedená jeho definícia. Ďalej na obrázku autor ukazuje všetky súčasti takéhoto kruhu a to, čo bude študentom užitočné pri ďalšom učení. Oblúky označujú štvrtiny.

Potom autor navrhuje zvážiť číselný kruh. Tu uvádza poznámku, že je vhodnejšie použiť jednotkový kruh. Tento kruh ukazuje, ako sa získa bod M, ak t>0, t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.

Ďalej autor žiakom pripomína, ako zistiť obvod kruhu. A potom vypíše dĺžku jednotkového kruhu. Navrhuje sa aplikovať tieto teoretické údaje v praxi. Ak to chcete urobiť, zvážte príklad, keď potrebujete nájsť bod na kruhu, ktorý zodpovedá určitým číselným hodnotám. Riešenie príkladu je doplnené ilustráciou vo forme obrázka, ako aj potrebnými matematickými zápismi.

Podľa podmienky druhého príkladu je potrebné nájsť body na číselnom kruhu. Aj tu je celé riešenie doplnené komentármi, ilustráciami a matematickým zápisom. To prispieva k rozvoju a zlepšovaniu matematickej gramotnosti žiakov. Tretí príklad je zostavený podobne.

Ďalej si autor všíma tie čísla na kruhu, ktoré sa vyskytujú častejšie ako iné. Tu navrhuje vytvoriť dva modely číselného kruhu. Keď sú obe rozloženia pripravené, uvažuje sa o ďalšom, štvrtom príklade, kde je potrebné nájsť bod na číselnom kruhu zodpovedajúci číslu 1. Po tomto príklade je sformulovaný výrok, podľa ktorého môžete nájsť bod M zodpovedajúci číslu 1. číslo t.

Ďalej je uvedená poznámka, podľa ktorej sa žiaci učia, že číslo „pí“ zodpovedá všetkým číslam, ktoré padnú na daný bod, keď prejde celým kruhom. Túto informáciu podporuje piaty príklad. Jeho riešenie obsahuje logicky správnu úvahu a nákresy ilustrujúce situáciu.

DEKODOVANIE TEXTU:

ČÍSELNÝ KRUH

Predtým sme študovali funkcie definované analytickými výrazmi. A tieto funkcie sa nazývali algebraické. Ale v školskom kurze matematiky sa študujú funkcie iných tried, nie algebraických. Začnime sa učiť goniometrické funkcie.

Aby sme mohli zaviesť goniometrické funkcie, potrebujeme nový matematický model – číselný kruh. Zoberme si jednotkový kruh. Kruh, ktorého polomer sa rovná segmentu stupnice, bez uvedenia konkrétnych jednotiek merania, sa bude nazývať jednotka. Polomer takéhoto kruhu sa považuje za rovný 1.

Použijeme jednotkový kruh, v ktorom sú zakreslené horizontálne a vertikálne priemery CA a DB (ce a a de be) (pozri obrázok 1).

Prvý štvrťrok budeme nazývať oblúk AB, druhý štvrťrok oblúk BC, tretí štvrťrok oblúk CD a štvrtý štvrťrok oblúk DA.

Zvážte číselný kruh. Vo všeobecnosti možno za číselný kruh považovať akýkoľvek kruh, ale na tento účel je vhodnejšie použiť jednotkový kruh.

DEFINÍCIA Je daná jednotková kružnica a je na nej vyznačený počiatočný bod A - pravý koniec vodorovného priemeru. Spojme každé reálne číslo t (te) s bodom na kružnici podľa nasledujúceho pravidla:

1) Ak t>0 (te je väčšie ako nula), potom pohybom z bodu A proti smeru hodinových ručičiek (kladný smer kružnice) opíšeme dráhu AM (a em) dĺžky t pozdĺž kružnice. Bod M bude požadovaný bod M(t) (em z te).

2) Ak t<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).

3) Bod A priraďme číslu t = 0.

Jednotkový kruh s ustálenou korešpondenciou (medzi reálnymi číslami a bodmi na kruhu) sa bude nazývať číselný kruh.

Je známe, že obvod L (el) sa vypočíta podľa vzorca L = 2πR (el sa rovná dvom pi erom), kde π≈3,14, R je polomer kruhu. Pre jednotkový kruh R=1cm to znamená L=2π≈6,28 cm (el sa rovná dvom pi približne 6,28).

Pozrime sa na príklady.

PRÍKLAD 1. Nájdite bod na číselnom kruhu, ktorý zodpovedá zadanému číslu: ,.(pi dva, pi, tri pi dva, dva pi, jedenásť pi dva, sedem pi, mínus päť pi dva)

Riešenie. Prvých šesť čísel je kladných, preto, aby ste našli zodpovedajúce body na kružnici, musíte prejsť dráhu danej dĺžky pozdĺž kružnice a pohybovať sa od bodu A v kladnom smere. Dĺžka každej štvrtiny jednotkového kruhu je rovnaká. To znamená AB =, čiže bod B zodpovedá číslu (pozri obr. 1). AC = , teda číslu zodpovedá bod C. AD = , teda číslu zodpovedá bod D. A číslu zase zodpovedá bod A, pretože po prejdení cesty po kruhu sme skončili v počiatočnom bode. A.

Uvažujme, kde sa bude bod nachádzať.Keďže už vieme, aká je dĺžka kružnice, zmenšíme ju do tvaru (štyri pi plus tri pi po dvoch). To znamená, že pri pohybe z bodu A v kladnom smere musíte opísať celý kruh dvakrát (cestu dĺžky 4π) a navyše dráhu dĺžky, ktorá končí v bode D.

Čo sa stalo? To je 3∙2π + π (trikrát dva pi plus pi). To znamená, že pri pohybe z bodu A v kladnom smere musíte trikrát opísať celý kruh a navyše dráhu dĺžky π, ktorá bude končiť v bode C.

Ak chcete nájsť bod na číselnom kruhu, ktorý zodpovedá zápornému číslu, musíte prejsť z bodu A pozdĺž kruhu v zápornom smere (v smere hodinových ručičiek) po dráhe dĺžky, ktorá zodpovedá 2π +. Táto cesta skončí v bode D.

PRÍKLAD 2. Nájdite body na číselnom kruhu (pi x šesť, pi štyri, pi tri).

Riešenie. Rozdelením oblúka AB na polovicu dostaneme bod E, ktorý zodpovedá. A rozdelením oblúka AB na tri rovnaké časti bodmi F a O dostaneme, že bod F zodpovedá a bod T zodpovedá

(pozri obrázok 2).

PRÍKLAD 3. Nájdite body na číselnom kruhu (mínus trinásť pi krát štyri, devätnásť pi krát šesť).

Riešenie. Položením oblúka AE (a em) dĺžky (pi x štyri) z bodu A trinásťkrát v zápornom smere získame bod H (popol) - stred oblúka BC.

Položením oblúka AF dĺžky (pi x šesť) z bodu A devätnásťkrát v kladnom smere sa dostaneme do bodu N (en), ktorý patrí do tretej štvrtiny (oblúk CD) a CN sa rovná tretej časti arc CD (se de).

(pozri obrázok príklad 2).

Najčastejšie musíte na číselnom kruhu hľadať body, ktoré zodpovedajú číslam (pi šiestimi, pi štyrmi, pi tromi, pi dvoma), ako aj tie, ktoré sú ich násobkami, teda (sedem pi šesť, päť pi štyri, štyri pi tri, jedenásť pi dva). Preto je pre rýchlu navigáciu vhodné vytvoriť dve rozloženia číselného kruhu.

Na prvom rozložení bude každá zo štvrtín číselného kruhu rozdelená na dve rovnaké časti a blízko každého z výsledných bodov napíšeme ich „mená“:

Na druhom rozložení je každá zo štvrtín rozdelená na tri rovnaké časti a pri každom z výsledných dvanástich bodov zapíšeme ich „mená“:

Ak sa pohybujeme v smere hodinových ručičiek, získame rovnaké „názvy“ bodov na výkresoch, len s mínusovou hodnotou. Pre prvé rozloženie:

Podobne, ak sa pohybujete pozdĺž druhého rozloženia v smere hodinových ručičiek z bodu O.

PRÍKLAD 4. Nájdite body na číselnom kruhu, ktoré zodpovedajú číslam 1 (jedna).

Riešenie. S vedomím, že π≈3,14 (pi sa približne rovná trom bodom štrnásť stotín), ≈ 1,05 (pi krát tri sa približne rovná jednému bodu päť stotín), ≈ 0,79 (pi krát štyri sa približne rovná nule sedemdesiatdeväť stotín) . znamená,< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.

Nasledujúce tvrdenie je pravdivé: ak bod M na číselnom kruhu zodpovedá číslu t, potom zodpovedá ľubovoľnému číslu v tvare t + 2πk(te plus dve pi ka), kde ka je ľubovoľné celé číslo a kϵ Z(ka patrí Zet).

Pomocou tohto tvrdenia môžeme dospieť k záveru, že bod zodpovedá všetkým bodom v tvare t =+ 2πk (te sa rovná pi krát tri plus dva vrcholy), kde kϵZ ( ka patrí do zet) a do bodu (päť pi krát štyri) - body tvaru t = + 2πk (te sa rovná piatim pi krát štyri plus dve pi ka), kde kϵZ ( ka patrí do zet) a pod.

PRÍKLAD 5. Nájdite bod na číselnom kruhu: a) ; b) .

Riešenie. a) Máme: = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π.(dvadsať pi krát tri sa rovná dvadsať krát tri pi sa rovná šesť plus dve tretiny, vynásobené pi sa rovná šesť pi plus dva pi krát tri sa rovná dva pi krát tri plus tri krát dva pi).

To znamená, že číslo zodpovedá rovnakému bodu na číselnom kruhu ako číslo (ide o druhú štvrtinu) (pozri druhé rozloženie na obr. 4).

b) Máme: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4) (mínus tridsaťpäť pi krát štyri sa rovná mínus osem plus tri štvrtiny krát pi sa rovná mínus tri pi krát štyri plus dve pi krát mínus štyri ). To znamená, že číslo zodpovedá rovnakému bodu na číselnom kruhu ako číslo

Číselný kruh je jednotkový kruh, ktorého body zodpovedajú určitým reálnym číslam.

Jednotková kružnica je kružnica s polomerom 1.

Celkový pohľad na číselný kruh.

1) Jeho polomer sa považuje za mernú jednotku.

2) Horizontálny a vertikálny priemer rozdeľuje číselný kruh na štyri štvrtiny (pozri obrázok). Nazývajú sa prvý, druhý, tretí a štvrtý štvrťrok.

3) Horizontálny priemer je označený AC, pričom A je bod úplne vpravo.
Vertikálny priemer je označený BD, pričom B je najvyšší bod.
Respektíve:

prvá štvrtina je oblúk AB

druhá štvrtina – oblúk pred Kr

tretia štvrtina – arc CD

štvrtá štvrtina – oblúk DA

4) Začiatočný bod číselného kruhu je bod A.

Počítanie pozdĺž číselného kruhu sa môže vykonávať v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek.
Volá sa počítanie od bodu A proti smeru hodinových ručičiek pozitívny smer.
Volá sa počítanie z bodu A v smere hodinových ručičiek negatívny smer.

Číselný kruh na súradnicovej rovine.

Stred polomeru číselného kruhu zodpovedá začiatku (číslo 0).

Horizontálny priemer zodpovedá osi X, vertikálne – osi r.

Počiatočný bod A číselného kruhu je na osi X a má súradnice (1; 0).

hodnotyX Ar v štvrtinách číselného kruhu:

Základné hodnoty číselného kruhu:

Názvy a umiestnenia hlavných bodov v číselnom kruhu:

Ako si zapamätať názvy číselných kruhov.

Existuje niekoľko jednoduchých vzorov, ktoré vám pomôžu ľahko si zapamätať základné názvy číselného kruhu.

Skôr ako začneme, pripomeňme vám: počítanie sa vykonáva v kladnom smere, to znamená z bodu A (2π) proti smeru hodinových ručičiek.

1) Začnime krajnými bodmi na súradnicových osiach.

Počiatočný bod je 2π (bod úplne vpravo na osi X, rovná sa 1).

Ako viete, 2π je obvod kruhu. To znamená, že polovica kruhu je 1π alebo π. Os X rozdelí kruh presne na polovicu. V súlade s tým, bod najviac vľavo na osi X rovný -1 sa nazýva π.

Najvyšší bod na osi pri, rovná 1, rozdeľuje horný polkruh na polovicu. To znamená, že ak je polkruh π, potom polovica polkruhu je π/2.

Zároveň je π/2 tiež štvrtina kruhu. Spočítajme tri takéto štvrtiny od prvej do tretej - a prídeme k najnižšiemu bodu na osi pri, rovné -1. Ale ak obsahuje tri štvrtiny, potom má názov 3π/2.

2) Teraz prejdime k zvyšným bodom. Poznámka: všetky protiľahlé body majú rovnaký čitateľ - a to sú opačné body vzhľadom na os pri, ako vzhľadom k stredu osí, tak aj vzhľadom na os X. Pomôže nám to poznať ich bodové hodnoty bez prebíjania.

Stačí si zapamätať význam bodov prvej štvrtiny: π/6, π/4 a π/3. A potom „uvidíme“ niekoľko vzorov:

- Vo vzťahu k osi y v bodoch druhej štvrtiny, oproti bodom prvej štvrtiny, sú čísla v čitateloch o 1 menšie ako veľkosť menovateľov. Vezmime si napríklad bod π/6. Opačný bod vzhľadom na os pri má tiež 6 v menovateli a 5 v čitateli (o 1 menej). To znamená, že názov tohto bodu je: 5π/6. Bod oproti π/4 má tiež 4 v menovateli a 3 v čitateli (1 menej ako 4) - teda je to bod 3π/4.
Bod oproti π/3 má tiež v menovateli 3 a v čitateli o 1 menej: 2π/3.

- Relatívne k stredu súradnicových osí všetko je naopak: čísla v čitateloch opačných bodov (v treťom štvrťroku) sú o 1 väčšie ako hodnota menovateľov. Zoberme si opäť bod π/6. Protiľahlý bod vzhľadom k stredu má v menovateli tiež 6 a v čitateli je číslo o 1 väčšie - teda je 7π/6.

Bod oproti bodu π/4 má v menovateli tiež 4 a v čitateli je číslo o 1 viac: 5π/4.
Bod oproti bodu π/3 má tiež v menovateli 3 a v čitateli je číslo o 1 viac: 4π/3.

- Vo vzťahu k osi X(štvrtá štvrtina) vec je zložitejšia. Tu je potrebné pridať k hodnote menovateľa číslo, ktoré je o 1 menšie - tento súčet sa bude rovnať číselnej časti čitateľa opačného bodu. Začnime znova s ​​π/6. Pridajme k hodnote menovateľa rovnej 6 číslo, ktoré je o 1 menšie ako toto číslo - teda 5. Dostaneme: 6 + 5 = 11. To znamená, že je oproti osi X bod bude mať v menovateli 6 a v čitateli 11 - teda 11π/6.

Bod π/4. K hodnote menovateľa pripočítame číslo o 1 menšie: 4 + 3 = 7. To znamená, že je oproti osi X bod má v menovateli 4 a v čitateli 7 - teda 7π/4.
Bod π/3. Menovateľ je 3. K 3 pripočítame o jedna menšie číslo - teda 2. Dostaneme 5. To znamená, že bod oproti nemu má v čitateli 5 - a to je bod 5π/3.

3) Ďalší vzor pre body stredov štvrtín. Je jasné, že ich menovateľ je 4. Venujme pozornosť čitateľom. Čitateľ stredu prvej štvrtiny je 1π (nie je však zvykom písať 1). Čitateľ stredu druhej štvrtiny je 3π. Čitateľ polovice tretej štvrtiny je 5π. Čitateľ polovice štvrtej štvrtiny je 7π. Ukazuje sa, že čitatelia stredných kvartálov obsahujú prvé štyri nepárne čísla vo vzostupnom poradí:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Toto je tiež veľmi jednoduché. Keďže stredy všetkých štvrtín majú v menovateli 4, poznáme už ich celé mená: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Vlastnosti číselného kruhu. Porovnanie s číselným radom.

Ako viete, na číselnej osi každý bod zodpovedá jednému číslu. Napríklad, ak sa bod A na priamke rovná 3, potom sa už nemôže rovnať žiadnemu inému číslu.

Na číselnom kruhu je to iné, pretože je to kruh. Napríklad, ak chcete prísť z bodu A kruhu do bodu M, môžete to urobiť ako po priamke (iba prejsť oblúkom), alebo môžete prejsť okolo celého kruhu a potom prísť do bodu M. Záver:

Nech sa bod M rovná nejakému číslu t. Ako vieme, obvod kruhu je 2π. To znamená, že bod na kružnici t môžeme zapísať dvoma spôsobmi: t alebo t + 2π. Toto sú ekvivalentné hodnoty.
To znamená, že t = t + 2π. Jediný rozdiel je v tom, že v prvom prípade ste prišli do bodu M okamžite bez toho, aby ste urobili kružnicu, a v druhom prípade ste urobili kružnicu, ale skončili ste v rovnakom bode M. Môžete urobiť dve, tri alebo dvesto takýchto kruhy . Ak počet kruhov označíme písmenom k, potom dostaneme nový výraz:
t = t + 2π k.

Preto vzorec:

Rovnica číselného kruhu
(druhá rovnica je v časti „Sínus, kosínus, tangens, kotangens“):

x 2 + y2 = 1