Trigonometrické identity a transformácie. Goniometrické identity a transformácie Goniometrické funkcie a ich transformácie

Vykonané pre všetky hodnoty argumentu (zo všeobecného rozsahu).

Univerzálne substitučné vzorce.

Pomocou týchto vzorcov je ľahké zmeniť akýkoľvek výraz, ktorý obsahuje rôzne goniometrické funkcie jedného argumentu, na racionálne vyjadrenie jednej funkcie tg (α /2):

Vzorce na prepočet súm na produkty a produkty na súčty.

Predtým sa vyššie uvedené vzorce používali na zjednodušenie výpočtov. Počítali pomocou logaritmických tabuliek a neskôr pomocou logaritmov, pretože logaritmy sú najvhodnejšie na násobenie čísel. Preto bol každý pôvodný výraz zredukovaný na formu, ktorá by bola vhodná na logaritmizáciu, teda na produkty Napríklad:

2 hriech α hriech b = cos (α - b) - cos (α + b);

2 cos α cos b = cos (α - b) + cos (α + b);

2 hriech α cos b = hriech (α - b) + hriech (α + b).

kde je uhol, pre ktorý najmä

Vzorce pre funkcie tangens a kotangens sa dajú ľahko získať z vyššie uvedeného.

Vzorce na zníženie stupňa.

sin 2 α = (1 - cos 2α)/2;	cos2a = (1 + cos2a)/2;
hriech 3α = (3 hriechyα - hriech 3α )/4;	cos 3 a = (3 cosα + čo 3α )/4.

Pomocou týchto vzorcov sa goniometrické rovnice ľahko zredukujú na rovnice s nižšími mocninami. Rovnakým spôsobom sú odvodené redukčné vzorce pre vyššie stupne hriech A cos.

Vyjadrenie goniometrických funkcií prostredníctvom jednej z nich s rovnakým argumentom.

Znamienko pred koreňom závisí od umiestnenia štvrtiny uhla α .

Na vyriešenie niektorých problémov bude užitočná tabuľka trigonometrických identít, ktorá výrazne uľahčí transformáciu funkcií:

Najjednoduchšie trigonometrické identity

Podiel delenia sínusu uhla alfa kosínusom toho istého uhla sa rovná tangente tohto uhla (vzorec 1). Pozri aj dôkaz o správnosti transformácie najjednoduchších goniometrických identít.
Podiel delenia kosínusu uhla alfa sínusom toho istého uhla sa rovná kotangensu toho istého uhla (vzorec 2)
Sekans uhla sa rovná jednému vydelenému kosínusom toho istého uhla (vzorec 3)
Súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu rovnakého uhla sa rovná jednej (vzorec 4). pozri aj dôkaz súčtu druhých mocnín kosínusu a sínusu.
Súčet jednej a dotyčnice uhla sa rovná pomeru jedna ku druhej mocnine kosínusu tohto uhla (vzorec 5)
Jedna plus kotangens uhla sa rovná podielu jednej delenej druhou mocninou tohto uhla (vzorec 6)
Súčin tangens a kotangens toho istého uhla sa rovná jednej (vzorec 7).

Prevod záporných uhlov goniometrických funkcií (párne a nepárne)

Aby ste sa pri výpočte sínusu, kosínusu alebo tangensu zbavili zápornej hodnoty mierky uhla, môžete použiť nasledujúce trigonometrické transformácie (identity) založené na princípoch párnych alebo nepárnych goniometrických funkcií.

Ako je vidieť, kosínus a sekanta je dokonca funkciu, sínus, tangens a kotangens sú nepárne funkcie.

Sínus záporného uhla sa rovná zápornej hodnote sínusu rovnakého kladného uhla (mínus sínus alfa).
Kosínus mínus alfa poskytne rovnakú hodnotu ako kosínus uhla alfa.
Tangenta mínus alfa sa rovná mínus dotyčnica alfa.

Vzorce na zmenšenie dvojitých uhlov (sínus, kosínus, tangens a kotangens dvojitých uhlov)

Ak potrebujete rozdeliť uhol na polovicu alebo naopak, presunúť sa z dvojitého uhla na jeden uhol, môžete použiť nasledujúce trigonometrické identity:

Konverzia dvojitého uhla (sínus dvojitého uhla, kosínus dvojitého uhla a tangens dvojitého uhla) v single prebieha podľa nasledujúcich pravidiel:

Sínus dvojitého uhla rovná dvojnásobku súčinu sínusu a kosínusu jedného uhla

Kosínus dvojitého uhla rovná rozdielu medzi druhou mocninou kosínusu jednoduchého uhla a druhou mocninou sínusu tohto uhla

Kosínus dvojitého uhla rovná dvojnásobku druhej mocniny kosínusu jedného uhla mínus jedna

Kosínus dvojitého uhla rovná jednému mínus dvojitému sínusu na druhú mocninu jednoduchého uhla

Tangenta dvojitého uhla sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je dvojnásobkom dotyčnice jedného uhla a menovateľ sa rovná jednej mínus druhá mocnina dotyčnice jediného uhla.

Kotangens dvojitého uhla sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je druhá mocnina kotangensu jedného uhla mínus jedna a menovateľ sa rovná dvojnásobku kotangensu jedného uhla

Vzorce pre univerzálnu trigonometrickú substitúciu

Nižšie uvedené prevodné vzorce môžu byť užitočné, keď potrebujete vydeliť argument goniometrickej funkcie (sin α, cos α, tan α) dvomi a zmenšiť výraz na hodnotu polovice uhla. Z hodnoty α získame α/2.

Tieto vzorce sú tzv vzorce univerzálnej goniometrickej substitúcie. Ich hodnota spočíva v tom, že pomocou nich sa trigonometrický výraz redukuje na vyjadrenie tangens polovice uhla, bez ohľadu na to, aké goniometrické funkcie (sin cos tan ctg) boli pôvodne vo výraze. Potom je oveľa jednoduchšie vyriešiť rovnicu s dotyčnicou polovice uhla.

Trigonometrické identity pre transformácie s polovičným uhlom

Nasledujú vzorce na trigonometrický prevod polovice uhla na jeho celú hodnotu.
Hodnota argumentu goniometrickej funkcie α/2 sa zníži na hodnotu argumentu goniometrickej funkcie α.

Trigonometrické vzorce na sčítanie uhlov

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Tangent a kotangens súčtu uhlov alfa a beta je možné konvertovať pomocou nasledujúcich pravidiel na prevod goniometrických funkcií:

Tangent súčtu uhlov sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je súčtom dotyčnice prvého a dotyčnice druhého uhla a menovateľ je jedna mínus súčin dotyčnice prvého uhla a dotyčnice druhého uhla.

Tangenta rozdielu uhla sa rovná zlomku, ktorého čitateľ sa rovná rozdielu medzi dotyčnicou uhla, ktorý sa zmenšuje, a dotyčnicou uhla, ktorý sa odčítava, a menovateľ je jedna plus súčin dotyčníc týchto uhlov.

Kotangens súčtu uhlov sa rovná zlomku, ktorého čitateľ sa rovná súčinu kotangens týchto uhlov plus jedna, a menovateľ sa rovná rozdielu kotangensu druhého uhla a kotangensu prvého uhla.

Kotangens rozdielu uhla sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je súčinom kotangens týchto uhlov mínus jedna, a menovateľ sa rovná súčtu kotangens týchto uhlov.

Tieto trigonometrické identity sú vhodné na použitie, keď potrebujete vypočítať napríklad tangens 105 stupňov (tg 105). Ak si to predstavíte ako tg (45 + 60), potom môžete použiť dané identické transformácie tangens súčtu uhlov a potom jednoducho dosadiť tabuľkové hodnoty tangens 45 a tangens 60 stupňov.

Vzorce na prevod súčtu alebo rozdielu goniometrických funkcií

Výrazy predstavujúce súčet tvaru sin α + sin β možno transformovať pomocou nasledujúcich vzorcov:

Vzorce s trojitým uhlom – prevod sin3α cos3α tan3α na sinα cosα tanα

Niekedy je potrebné transformovať trojitú hodnotu uhla tak, aby argumentom goniometrickej funkcie bol uhol α namiesto 3α.
V tomto prípade môžete použiť vzorce transformácie troch uhlov (identít):

Vzorce na prevod súčinov goniometrických funkcií

Ak je potrebné transformovať súčin sínusov rôznych uhlov, kosínusov rôznych uhlov alebo dokonca súčin sínusov a kosínusov, môžete použiť nasledujúce trigonometrické identity:


V tomto prípade sa súčin funkcií sínus, kosínus alebo tangens rôznych uhlov prevedie na súčet alebo rozdiel.

Vzorce na redukciu goniometrických funkcií

Redukčnú tabuľku musíte použiť nasledovne. V riadku vyberieme funkciu, ktorá nás zaujíma. V stĺpci je uhol. Napríklad sínus uhla (α+90) v priesečníku prvého riadku a prvého stĺpca zistíme, že sin (α+90) = cos α.

Sú uvedené vzťahy medzi základnými goniometrickými funkciami - sínus, kosínus, tangens a kotangens trigonometrické vzorce. A keďže medzi goniometrickými funkciami existuje pomerne veľa spojení, vysvetľuje to množstvo goniometrických vzorcov. Niektoré vzorce spájajú goniometrické funkcie rovnakého uhla, iné - funkcie viacnásobného uhla, iné - umožňujú znížiť stupeň, štvrté - vyjadrujú všetky funkcie cez tangens polovičného uhla atď.

V tomto článku uvedieme v poradí všetky základné trigonometrické vzorce, ktoré postačujú na vyriešenie veľkej väčšiny problémov s trigonometriou. Pre ľahšie zapamätanie a používanie ich zoskupíme podľa účelu a zapíšeme do tabuliek.

Navigácia na stránke.

Základné goniometrické identity

Základné goniometrické identity definovať vzťah medzi sínusom, kosínusom, tangentom a kotangensom jedného uhla. Vyplývajú z definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu, ako aj z pojmu jednotkový kruh. Umožňujú vám vyjadriť jednu goniometrickú funkciu akoukoľvek inou.

Podrobný popis týchto trigonometrických vzorcov, ich odvodenie a príklady použitia nájdete v článku.

Redukčné vzorce

Redukčné vzorce vyplývajú z vlastností sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu, to znamená, že odrážajú vlastnosť periodicity goniometrických funkcií, vlastnosť symetrie, ako aj vlastnosť posunu o daný uhol. Tieto trigonometrické vzorce vám umožňujú prejsť od práce s ľubovoľnými uhlami k práci s uhlami v rozsahu od nuly do 90 stupňov.

Zdôvodnenie týchto vzorcov, mnemotechnické pravidlo na ich zapamätanie a príklady ich aplikácie si môžete prečítať v článku.

Sčítacie vzorce

Goniometrické sčítacie vzorce ukážte, ako sú goniometrické funkcie súčtu alebo rozdielu dvoch uhlov vyjadrené z hľadiska goniometrických funkcií týchto uhlov. Tieto vzorce slúžia ako základ pre odvodenie nasledujúcich goniometrických vzorcov.

Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhol

Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhla (nazývajú sa aj viacuhlové vzorce) ukazujú, ako goniometrické funkcie dvojitého, trojitého atď. uhly () sú vyjadrené ako trigonometrické funkcie jedného uhla. Ich odvodenie je založené na adičných vzorcoch.

Podrobnejšie informácie sú zhromaždené vo vzorcoch článku pre dvojité, trojité atď. uhol

Vzorce polovičného uhla

Vzorce polovičného uhla ukážte, ako sú goniometrické funkcie polovičného uhla vyjadrené ako kosínus celého uhla. Tieto trigonometrické vzorce vyplývajú zo vzorcov dvojitého uhla.

Ich záver a príklady aplikácie nájdete v článku.

Vzorce na zníženie stupňa

Trigonometrické vzorce na zníženie stupňov sú navrhnuté tak, aby uľahčili prechod od prirodzených mocnín goniometrických funkcií k sínusovým a kosínusovým v prvom stupni, ale viacerých uhloch. Inými slovami, umožňujú vám znížiť mocniny goniometrických funkcií na prvé.

Vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Hlavný účel vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií je prejsť na súčin funkcií, čo je veľmi užitočné pri zjednodušovaní goniometrických výrazov. Tieto vzorce sú tiež široko používané pri riešení goniometrických rovníc, pretože umožňujú faktorizovať súčet a rozdiel sínusov a kosínusov.

Vzorce na súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínu

Prechod od súčinu goniometrických funkcií k súčtu alebo rozdielu sa vykonáva pomocou vzorcov pre súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínusu.

Univerzálna trigonometrická substitúcia

Prehľad základných vzorcov trigonometrie dopĺňame vzorcami vyjadrujúcimi goniometrické funkcie z hľadiska tangens polovičného uhla. Táto náhrada bola tzv univerzálna trigonometrická substitúcia. Jeho výhoda spočíva v tom, že všetky goniometrické funkcie sú vyjadrené v tangente polovičného uhla racionálne bez koreňov.

Bibliografia.

• Algebra: Učebnica pre 9. ročník. priem. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 s.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
• Bašmakov M.I. Algebra a začiatky analýzy: Učebnica. pre 10-11 ročníkov. priem. školy - 3. vyd. - M.: Školstvo, 1993. - 351 s.: chor. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2004. - 384 s.: i. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

Autorské práva chytrých študentov

Všetky práva vyhradené.
Chránené autorským zákonom. Žiadna časť stránky, vrátane interných materiálov a vzhľadu, nesmie byť reprodukovaná v žiadnej forme ani použitá bez predchádzajúceho písomného súhlasu držiteľa autorských práv.