Ano ang kahulugan ng numero sa arithmetic? Siyentipiko at teknikal na encyclopedic dictionary Ano ang arithmetic, ano ang ibig sabihin nito at kung paano ito isulat nang tama

• Ang aritmetika (sinaunang Griyego ἀριθμητική; mula sa ἀριθμός - numero) ay isang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga numero, ang kanilang mga relasyon at katangian. Ang paksa ng aritmetika ay ang konsepto ng numero sa pagbuo ng mga ideya tungkol dito (natural, integer at rational, real, kumplikadong mga numero) at mga katangian nito. Ang aritmetika ay tumatalakay sa mga sukat, pagpapatakbo ng pagkalkula (pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, paghahati) at mga diskarte sa pagkalkula. Ang mas mataas na arithmetic, o teorya ng numero, ay ang pag-aaral ng mga katangian ng mga indibidwal na integer. Ang teoretikal na arithmetic ay binibigyang pansin ang kahulugan at pagsusuri ng konsepto ng numero, habang ang pormal na arithmetic ay gumagana sa mga lohikal na konstruksyon ng mga predicates at axioms. Ang aritmetika ay ang pinakaluma at isa sa mga pangunahing agham sa matematika; ito ay malapit na nauugnay sa algebra, geometry at teorya ng numero.

  Ang dahilan ng paglitaw ng aritmetika ay ang praktikal na pangangailangan para sa pagbibilang at mga kalkulasyon na may kaugnayan sa mga gawain sa accounting sa panahon ng sentralisasyon ng agrikultura. Ang agham ay umunlad kasabay ng pagtaas ng pagiging kumplikado ng mga problemang nangangailangan ng mga solusyon. Ang isang malaking kontribusyon sa pagbuo ng aritmetika ay ginawa ng mga Greek mathematician, lalo na ang mga pilosopong Pythagorean, na sinubukang unawain at ilarawan ang lahat ng mga batas ng mundo sa tulong ng mga numero.

  Noong Middle Ages, inuri ang aritmetika, kasunod ng mga Neoplatonist, kabilang sa tinatawag na pitong liberal na sining. Ang mga pangunahing lugar ng praktikal na aplikasyon ng arithmetic noon ay ang kalakalan, nabigasyon, at konstruksiyon. Kaugnay nito, ang tinatayang mga kalkulasyon ng mga hindi makatwirang numero, na kinakailangan lalo na para sa mga geometric na konstruksyon, ay nakatanggap ng espesyal na kahalagahan. Ang aritmetika ay umunlad lalo na nang mabilis sa India at mga bansang Islamiko, kung saan ang pinakabagong mga tagumpay ng pag-iisip sa matematika ay tumagos sa Kanlurang Europa; Nakilala ng Russia ang kaalaman sa matematika “mula sa mga Griyego at sa mga Latin.”

  Sa pagdating ng Bagong Panahon, ang nautical astronomy, mechanics, at lalong kumplikadong komersyal na mga kalkulasyon ay nagtaas ng mga bagong pangangailangan sa teknolohiya ng pag-compute at nagbigay ng lakas sa karagdagang pag-unlad ng aritmetika. Sa simula ng ika-17 siglo, naimbento ni Napier ang mga logarithms, at pagkatapos ay pinaghiwalay ni Fermat ang teorya ng numero sa isang independiyenteng sangay ng aritmetika. Sa pagtatapos ng siglo, ang ideya ng isang hindi makatwiran na numero bilang isang pagkakasunud-sunod ng mga makatuwirang pagtatantya ay nabuo, at sa susunod na siglo, salamat sa mga gawa ni Lambert, Euler, at Gauss, ang aritmetika ay kasama ang mga operasyon na may kumplikadong dami, pagkuha. modernong anyo nito.

  Ang kasunod na kasaysayan ng aritmetika ay minarkahan ng isang kritikal na rebisyon ng mga pundasyon nito at mga pagtatangka na patunayan ito nang deduktibo. Ang mga teoretikal na katwiran para sa ideya ng numero ay pangunahing nauugnay sa mahigpit na kahulugan ng isang natural na numero at mga axiom ng Peano, na binuo noong 1889. Ang pagkakapare-pareho ng pormal na pagtatayo ng aritmetika ay ipinakita ni Gentzen noong 1936.

  Ang mga batayan ng aritmetika ay matagal at palaging nakatanggap ng malaking atensyon sa edukasyon sa elementarya.

Arithmetic (Griyegong arithmetika, mula sa arithmys - numero)

ang agham ng mga numero, pangunahin ang tungkol sa mga natural (positibong integer) na mga numero at (makatuwirang) fraction, at mga operasyon sa mga ito.

Ang pagkakaroon ng isang sapat na binuo na konsepto ng mga natural na numero at ang kakayahang magsagawa ng mga operasyon na may mga numero ay kinakailangan para sa mga praktikal at kultural na aktibidad ng isang tao. Samakatuwid, ang A. ay isang elemento ng edukasyon sa preschool ng mga bata at isang sapilitang paksa ng kurikulum ng paaralan.

Maraming mga konsepto ng matematika ang binuo gamit ang mga natural na numero (halimbawa, ang pangunahing konsepto ng pagsusuri sa matematika ay isang tunay na numero). Sa bagay na ito, ang matematika ay isa sa mga pangunahing agham ng matematika. Kapag binibigyang diin ang lohikal na pagsusuri ng konsepto ng numero (Tingnan ang Numero), minsan ginagamit ang terminong teoretikal na arithmetic. Ang algebra ay malapit na nauugnay sa algebra (tingnan ang Algebra), kung saan, sa partikular, ang mga operasyon sa mga numero ay pinag-aaralan nang hindi isinasaalang-alang ang kanilang mga indibidwal na katangian. Ang mga indibidwal na katangian ng mga integer ay bumubuo sa paksa ng teorya ng numero (Tingnan ang teorya ng Numero).

Makasaysayang sanggunian. Palibhasa'y bumangon noong sinaunang panahon mula sa mga praktikal na pangangailangan ng pagbibilang at simpleng mga sukat, nabuo ang aritmetika na may kaugnayan sa pagtaas ng pagiging kumplikado ng aktibidad sa ekonomiya at mga relasyon sa lipunan, mga kalkulasyon sa pananalapi, mga problema sa pagsukat ng mga distansya, oras, mga lugar, at mga kinakailangan na inilagay ng iba pang mga agham. ito.

Ang paglitaw ng pagbibilang at ang mga unang yugto ng pagbuo ng mga konsepto ng aritmetika ay karaniwang hinuhusgahan ng mga obserbasyon na may kaugnayan sa proseso ng pagbibilang sa mga primitive na tao, at, hindi direkta, sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga bakas ng mga katulad na yugto na napanatili sa mga wika ng mga kultural na tao at sinusunod. sa panahon ng pagkuha ng mga konseptong ito ng mga bata. Ang mga datos na ito ay nagpapahiwatig na ang pagbuo ng mga elementong iyon ng aktibidad ng pag-iisip na sumasailalim sa proseso ng pagbibilang ay dumadaan sa ilang mga intermediate na yugto. Kabilang dito ang: ang kakayahang makilala ang parehong bagay at makilala ang mga bagay sa isang hanay ng mga bagay na bibilangin; ang kakayahang magtatag ng isang kumpletong pagkabulok ng kabuuan na ito sa mga elemento na nakikilala sa bawat isa at sa parehong oras ay pantay sa pagbibilang (gamit ang isang pinangalanang "yunit" ng pagbibilang); ang kakayahang magtatag ng isang pagsusulatan sa pagitan ng mga elemento ng dalawang hanay, una nang direkta, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng paghahambing sa mga ito sa mga elemento ng isang beses at para sa lahat na iniutos na koleksyon ng mga bagay, iyon ay, isang koleksyon ng mga bagay na matatagpuan sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Ang mga elemento ng naturang standard ordered set ay mga salita (numerals) na ginagamit sa pagbibilang ng mga bagay ng anumang qualitative na kalikasan at naaayon sa pagbuo ng abstract na konsepto ng numero. Sa ilalim ng iba't ibang mga kondisyon, mapapansin ng isa ang mga katulad na tampok ng unti-unting paglitaw at pagpapabuti ng mga nakalistang kasanayan at ang mga konsepto ng aritmetika na naaayon sa kanila.

Sa una, ang pagbibilang ay lumalabas na posible lamang para sa mga pinagsama-samang medyo maliit na bilang ng mga bagay, kung saan ang mga pagkakaiba sa dami ay malabo na natanto at nailalarawan sa pamamagitan ng mga salitang magkasingkahulugan ng salitang "marami"; sa kasong ito, ang mga tool sa pagbibilang ay mga bingot sa puno ("tag" count), pagbibilang ng mga pebbles, rosary beads, daliri, atbp., pati na rin ang mga set na naglalaman ng pare-parehong bilang ng mga elemento, halimbawa: "mga mata" - bilang isang kasingkahulugan para sa numeral na "dalawa", kamay ("metacarpus") - bilang isang kasingkahulugan at ang aktwal na batayan ng numeral na "lima", atbp.

Ang pandiwang ordinal na pagbibilang (isa, dalawa, tatlo, atbp.), ang direktang pag-asa kung saan sa pagbibilang ng daliri (sunod-sunod na pagbigkas ng mga pangalan ng mga daliri, mga bahagi ng mga kamay) sa ilang mga kaso ay maaaring direktang masubaybayan, ay higit na nauugnay sa pagbibilang ng mga grupo naglalaman ng isang tiyak na bilang ng mga bagay. Ang numerong ito ay bumubuo sa base ng kaukulang sistema ng numero, kadalasan bilang resulta ng pagbibilang sa mga daliri ng dalawang kamay, katumbas ng 10. Gayunpaman, mayroon ding mga pagpapangkat ng 5, 20 (French 80 “quatre-vingt” = 4 × 20 ), 40, 12 (“dosena”), 60 at maging 11 (New Zealand). Sa panahon ng nabuong ugnayang pangkalakalan, ang mga pamamaraan ng pagnunumero (kapwa pasalita at pasulat) ay natural na nagpakita ng hilig sa pagkakapareho ng mga tribo at nasyonalidad na nakikipag-usap sa isa't isa; ang pangyayaring ito ay may mahalagang papel sa pagtatatag at pagpapalaganap ng sistemang ginagamit sa kasalukuyang panahon. oras ng sistema ng pagnunumero (notation (Tingnan ang Notasyon)), ang prinsipyo ng lugar (bitwise) na kahulugan ng mga numero at pamamaraan ng pagsasagawa ng mga operasyong aritmetika. Tila, ang mga katulad na dahilan ay nagpapaliwanag sa kilalang pagkakapareho ng mga numerong pangalan sa iba't ibang wika: halimbawa, dalawa - dva (Sanskrit), δυο (Griyego), duo (Latin), dalawa (Ingles).

Ang pinagmulan ng unang maaasahang impormasyon tungkol sa estado ng kaalaman sa aritmetika sa panahon ng mga sinaunang sibilisasyon ay ang mga nakasulat na dokumento ni Dr. Egypt (Mathematical Papyri), isinulat humigit-kumulang 2 libong taon BC. e. Ito ay mga koleksyon ng mga problema na nagpapahiwatig ng kanilang mga solusyon, mga panuntunan para sa pagpapatakbo sa mga integer at mga fraction na may mga auxiliary table, nang walang anumang teoretikal na paliwanag. Ang ilan sa mga problema sa koleksyong ito ay nareresolba sa pamamagitan ng pag-set up at paglutas ng mga equation; Matatagpuan din ang mga aritmetika at geometriko na pag-unlad.

Tungkol sa medyo mataas na antas ng kultura ng aritmetika ng mga Babylonians sa loob ng 2-3 libong taon BC. e. payagan ang paghusga sa Cuneiform mathematical texts. Ang nakasulat na pagnunumero ng mga Babylonia sa mga tekstong cuneiform ay isang kakaibang kumbinasyon ng sistemang desimal (para sa mga numerong mas mababa sa 60) na may sistemang sexagesimal, na may mga digit na yunit na 60, 60 2, atbp. Ang pinakamahalagang tagapagpahiwatig ng isang mataas na antas ng aritmetika ay ang paggamit ng mga sexagesimal fraction na may parehong sistema ng pagnunumero na inilapat sa mga ito, katulad ng mga modernong decimal fraction. Ang pamamaraan ng aritmetika ng mga Babylonia, na ayon sa teorya ay katulad ng mga kumbensyonal na pamamaraan sa sistema ng desimal, ay kumplikado sa pangangailangang gumamit ng malawak na mga talahanayan ng pagpaparami (para sa mga numero mula 1 hanggang 59). Sa mga natitirang cuneiform na materyales, na tila mga pantulong sa pagtuturo, mayroon ding kaukulang mga talahanayan ng mga katumbas na numero (dalawang-digit at tatlong-digit, ibig sabihin, na may katumpakan na 1/60 2 at 1/60 3), na ginamit sa dibisyon.

Sa mga sinaunang Griyego, ang praktikal na bahagi ng arkitektura ay hindi nakatanggap ng karagdagang pag-unlad; ang sistema ng nakasulat na pagnunumero na ginamit nila gamit ang mga titik ng alpabeto ay hindi gaanong angkop para sa mga kumplikadong kalkulasyon kaysa sa Babylonian (makabuluhan, lalo na, na ginusto ng mga sinaunang astronomong Griyego na gamitin ang sistemang sexagesimal). Sa kabilang banda, ang mga sinaunang Greek mathematician ay naglatag ng pundasyon para sa teoretikal na pag-unlad ng aritmetika sa mga tuntunin ng doktrina ng natural na mga numero, ang teorya ng mga proporsyon, ang pagsukat ng mga dami at, sa isang implicit na anyo, gayundin ang teorya ng hindi makatwiran na mga numero. Sa Euclid's Elements (3rd century BC) mayroong mga patunay ng infinity ng bilang ng prime numbers, basic theorems on divisibility, at mga algorithm para sa paghahanap ng common measure ng dalawang segment at ang common greatest divisor ng dalawang numero, na nagpapanatili ng kanilang kahalagahan. at makabuluhan pa rin (tingnan. Euclid's algorithm), isang patunay ng hindi pag-iral ng isang rational na numero na ang parisukat ay 2 (ang irrationality ng numerong √2), at isang teorya ng mga proporsyon na ipinahayag sa geometric na anyo. Ang mga numero-teoretikong problema na isinasaalang-alang ay kinabibilangan ng mga problema sa perpektong mga numero (Tingnan ang Mga Perpektong numero) (Euclid), sa mga numerong Pythagorean (Tingnan ang mga numerong Pythagorean), at gayundin - nasa susunod na panahon - isang algorithm para sa paghihiwalay ng mga prime number (Eratosthenes' sieve) at paglutas ng isang bilang ng mga hindi tiyak na equation ng 2nd at mas mataas na degree (Diophantus).

Ang isang makabuluhang papel sa pagbuo ng konsepto ng isang walang katapusang natural na serye ng mga numero ay nilalaro ng "Psammit" ng Archimedes (ika-3 siglo BC), na nagpapatunay ng posibilidad ng pagbibigay ng pangalan at pagtukoy ng mga arbitraryong malalaking numero. Ang mga gawa ng Archimedes ay nagpapahiwatig ng isang medyo mataas na sining sa pagkuha ng tinatayang mga halaga ng nais na dami: pagkuha ng ugat ng multi-digit na mga numero, paghahanap ng mga makatwirang pagtatantya para sa mga hindi makatwirang numero, halimbawa

Hindi isinulong ng mga Romano ang teknolohiya ng mga kalkulasyon; gayunpaman, nag-iwan sila ng isang sistema ng pagnunumero na nananatili hanggang sa araw na ito (mga Romanong numero), na hindi angkop para sa mga operasyon at ngayon ay ginagamit halos eksklusibo upang magtalaga ng mga ordinal na numero.

Mahirap masubaybayan ang pagpapatuloy sa pag-unlad ng matematika na may kaugnayan sa mga dati, mas sinaunang kultura; gayunpaman, ang lubhang mahahalagang yugto sa pag-unlad ng Africa ay nauugnay sa kultura ng India, na nakaimpluwensya sa parehong mga bansa sa Kanlurang Asya at Europa, at sa mga bansa sa Silangan. Asya (China, Japan). Bilang karagdagan sa aplikasyon ng algebra sa paglutas ng mga problema ng nilalaman ng aritmetika, ang pinakamahalagang tagumpay ng mga Indian ay ang pagpapakilala ng isang positional number system (gamit ang sampung digit, kasama ang zero upang ipahiwatig ang kawalan ng mga yunit sa alinman sa mga digit), na naging posible na bumuo ng medyo simpleng mga panuntunan para sa pagsasagawa ng mga pangunahing operasyon ng aritmetika.

Ang mga siyentipiko ng medieval East ay hindi lamang napanatili ang pamana ng mga sinaunang Greek mathematician sa mga pagsasalin, ngunit nag-ambag din sa pagpapalaganap at karagdagang pag-unlad ng mga tagumpay ng mga Indian. Mga pamamaraan para sa pagsasagawa ng mga operasyon ng aritmetika, higit sa lahat ay malayo pa sa moderno, ngunit ginagamit na ang mga pakinabang ng positional number system, mula sa ika-10 siglo. n. e. nagsimulang unti-unting tumagos sa Europa, pangunahin sa Italya at Espanya.

Ang medyo mabagal na pag-unlad ng arkitektura sa Middle Ages ay nagbibigay daan sa simula ng ika-17 siglo. mabilis na pagpapabuti ng mga pamamaraan ng pagkalkula na may kaugnayan sa tumaas na mga praktikal na pangangailangan sa teknolohiya ng pag-compute (mga problema ng nautical astronomy, mekanika, lalong kumplikadong mga komersyal na kalkulasyon, atbp.). Ang mga fraction na may denominator na 10, na ginamit ng mga Indian (kapag kumukuha ng mga square root) at paulit-ulit na nakakaakit ng atensyon ng mga European scientist, ay unang ginamit sa isang implicit na anyo sa mga trigonometric table (sa anyo ng mga integer na nagpapahayag ng mga haba ng mga linya. ng sine, tangent, atbp. na may radius na kinuha bilang 10 5). Sa kauna-unahang pagkakataon (1427), detalyadong inilarawan ni al-Kashi ang sistema ng mga decimal fraction at ang mga patakaran para sa pagpapatakbo sa kanila. Ang notasyon ng mga decimal fraction, na mahalagang tumutugma sa modernong isa, ay matatagpuan sa mga gawa ni S. Stevin noong 1585 at mula noon ay naging laganap na. Ang pag-imbento ng logarithms sa simula ng ika-17 siglo ay nagmula sa parehong panahon. J. Napier om. Sa simula ng ika-18 siglo. Ang mga pamamaraan para sa pagganap at pagtatala ng mga kalkulasyon ay kumukuha sa isang modernong anyo.

Sa Russia hanggang sa simula ng ika-17 siglo. ginamit ang pagnunumero na katulad ng Griyego; Ang oral numbering system ay mahusay at natatanging binuo, na umabot sa ika-50 digit. Mula sa mga manu-manong aritmetika ng Russia noong unang bahagi ng ika-18 siglo. Pinakamahalaga ay ang Arithmetic ni L. F. Magnitsky, na lubos na pinahahalagahan ni M. V. Lomonosov (Tingnan ang Magnitsky) (1703). Naglalaman ito ng sumusunod na kahulugan ng A.: "Ang aritmetika, o numerator, ay isang tapat, hindi nakakainggit na sining, at madaling maunawaan para sa lahat, pinakakapaki-pakinabang, at pinakakapuri-puri, naimbento at ipinaliwanag ng pinakasinaunang at modernong mga aritmetika na naninirahan sa iba't ibang lugar. beses.” Kasama ng mga tanong sa pagnunumero, pagtatanghal ng mga diskarte sa pagkalkula na may mga integer at fraction (kabilang ang mga decimal) at mga kaugnay na problema, naglalaman din ang manwal na ito ng mga elemento ng algebra, geometry at trigonometry, pati na rin ang ilang praktikal na impormasyon na nauugnay sa mga komersyal na kalkulasyon at mga problema sa nabigasyon . Ang pagtatanghal ni A. ay tumatagal sa isang mas o hindi gaanong modernong anyo mula kay L. Euler at sa kanyang mga mag-aaral.

Mga teoretikal na tanong ng aritmetika. Ang teoretikal na pag-unlad ng mga tanong na may kaugnayan sa doktrina ng numero at ang doktrina ng pagsukat ng mga dami ay hindi maaaring ihiwalay mula sa pag-unlad ng matematika sa kabuuan: ang mga mapagpasyang yugto nito ay nauugnay sa mga sandali na pantay na tinutukoy ang pag-unlad ng algebra, geometry at pagsusuri. Ang pinakamahalaga ay dapat isaalang-alang ang paglikha ng isang pangkalahatang doktrina ng Dami, isang katumbas na abstract na doktrina ng numero (Tingnan ang Numero) (integer, rational at irrational) at ang alpabetikong kagamitan ng algebra.

Ang pangunahing kahalagahan ng aritmetika bilang isang agham na sapat para sa pag-aaral ng patuloy na dami ng iba't ibang uri ay natanto lamang sa pagtatapos ng ika-17 siglo. na may kaugnayan sa pagsasama sa aritmetika ng konsepto ng isang hindi makatwiran na numero, na tinukoy ng isang pagkakasunud-sunod ng mga makatuwirang pagtatantya. Ang isang mahalagang papel sa ito ay nilalaro ng apparatus ng mga decimal fraction at ang paggamit ng mga logarithms, na pinalawak ang hanay ng mga operasyon na isinasagawa nang may kinakailangang katumpakan sa mga tunay na numero (hindi makatwiran pati na rin ang makatwiran).

Ang pagtatayo ni Grassmann ay higit pang natapos sa pamamagitan ng gawain ni G. Peano, kung saan ang isang sistema ng mga pangunahing (hindi tinukoy sa pamamagitan ng iba pang mga konsepto) ay malinaw na naka-highlight, ibig sabihin: ang konsepto ng isang natural na numero, ang konsepto ng isang numero kaagad na sumusunod sa isa pa sa isang natural na serye, at ang konsepto ng unang miyembro ng isang natural. serye (na maaaring kunin bilang 0 o 1). Ang mga konseptong ito ay magkakaugnay ng limang axiom, na maaaring ituring bilang isang axiomatic na kahulugan ng mga pangunahing konseptong ito.

Peano's axioms: 1) 1 ay isang natural na numero; 2) ang susunod na natural na numero ay isang natural na numero; 3) 1 ay hindi sumusunod sa anumang natural na numero; 4) kung isang natural na numero A sumusunod sa natural na numero b at lampas sa natural na bilang Sa, Iyon b At Sa ay magkapareho; 5) kung ang anumang panukala ay napatunayan para sa 1 at kung mula sa pagpapalagay na ito ay totoo para sa isang natural na numero n, ito ay sumusunod na ito ay totoo para sa mga sumusunod P natural na numero, kung gayon ang pangungusap na ito ay totoo para sa lahat ng natural na numero. Ang axiom na ito - ang axiom ng kumpletong induction - ay ginagawang posible na higit pang gamitin ang mga kahulugan ng mga aksyon ni Grassmann at patunayan ang mga pangkalahatang katangian ng mga natural na numero.

Ang mga konstruksyon na ito, na nagbibigay ng solusyon sa problema ng pagpapatibay ng mga pormal na pahayag ng aritmetika, ay iniiwan ang tanong ng lohikal na istruktura ng arithmetic ng mga natural na numero sa mas malawak na kahulugan ng salita, kabilang ang mga operasyong tumutukoy sa mga aplikasyon ng arithmetic kapwa sa loob ng matematika. mismo at sa mga praktikal na aplikasyon.buhay. Ang pagsusuri sa bahaging ito ng isyu, na nilinaw ang nilalaman ng konsepto ng cardinal number, sa parehong oras ay nagpakita na ang tanong ng pagbibigay-katwiran ng aritmetika ay malapit na nauugnay sa mas pangkalahatang pangunahing mga problema ng methodological analysis ng mga disiplina sa matematika. Kung ang pinakasimpleng proposisyon ng matematika, na nauugnay sa elementarya na pagbibilang ng mga bagay at pagiging isang generalisasyon ng karanasan ng sangkatauhan sa loob ng maraming siglo, ay natural na umaangkop sa pinakasimpleng lohikal na pamamaraan, kung gayon ang matematika, bilang isang matematikal na disiplina na nag-aaral sa walang katapusang koleksyon ng mga natural na numero. , ay nangangailangan ng isang pag-aaral ng pagkakapare-pareho ng kaukulang sistema ng mga axiom at isang mas detalyadong pagsusuri ng kahulugan ng resulta mula sa mga pangkalahatang panukala nito.

Lit.: Klein F., Elementarya mathematics mula sa mas mataas na pananaw, trans. Kasama siya. tomo 3 ed., tomo 1, M.-L., 1935; Arnold I.V., Theoretical arithmetic, 2nd ed., M., 1939; Bellustin V.K., Paano unti-unting naabot ng mga tao ang tunay na aritmetika, M., 1940; Grebencha M.K., Arithmetic, 2nd ed., M., 1952; Berman G.N., Number and the science of it, 3rd ed., M., 1960; Deptyaan I. Ya., History of arithmetic, 2nd ed., M., 1965; Vygodsky M. Ya., Arithmetic and algebra in the Ancient World, 2nd ed., M., 1967.

I. V. Arnold.

Great Soviet Encyclopedia. - M.: Encyclopedia ng Sobyet. 1969-1978 .

Mga kasingkahulugan:

Tingnan kung ano ang "Arithmetic" sa ibang mga diksyunaryo:

- (mula sa Greek arithmos number, at toche art). Isang agham na tumatalakay sa mga numero. Diksyunaryo ng mga banyagang salita na kasama sa wikang Ruso. Chudinov A.N., 1910. ARITHMETICS mula sa Greek. arithmos, numero, at techne, art. Ang agham ng mga numero... ... Diksyunaryo ng mga banyagang salita ng wikang Ruso

Sa isang banda, ito ay isang napakasimpleng tanong. Sa kabilang banda, ang mga mag-aaral, at maraming nasa hustong gulang, ay madalas na nalilito sa aritmetika at matematika at hindi talaga alam kung ano ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang paksang ito. Ang matematika ay ang pinakamalawak na konsepto na kinabibilangan ng anumang mga operasyong may mga numero. Ang aritmetika ay isa lamang sa mga sangay ng matematika. Kasama sa aritmetika ang pagpapakilala sa mga numero, simpleng pagbilang, at pagpapatakbo ng numero. Noong nakaraan, ang mga aralin sa mga paaralan ay tinatawag na aritmetika, at sa paglipas ng panahon nagsimula silang magdala ng pangalang matematika, na maayos na dumadaloy sa algebra. Sa esensya, ang algebra ay nagsisimula kapag ang mga hindi kilalang numero ay lumitaw sa mga halimbawa at mga titik ang ginagamit sa halip. Iyon ay, sa isang simpleng paraan, mga operasyon na may x At y.

Termino "aritmetika" nanggaling sa salitang Griyego "arithmos", na nangangahulugang "numero". Noong ika-14-15 na siglo, ang terminong ito ay isinalin sa England nang hindi ganap na tama - "ang panukat na sining", na mahalagang nangangahulugang "sining ng panukat", na mas angkop para sa geometry kaysa sa simpleng pagbibilang at simpleng mga operasyon na may mga numero.

Isa sa mga dahilan kung bakit hindi ginagamit ang konsepto ng "aritmetika" sa mga paaralan ay kahit sa mga aralin sa elementarya, bilang karagdagan sa mga numero, pinag-aaralan din nila ang mga geometric na hugis at mga yunit ng pagsukat (sentimetro, metro, atbp.), at ito ay napupunta. lampas sa regular na account. Gayunpaman, ang pag-aaral ng mental aritmetika ay natural na nangyayari sa buhay ng isang bata, sa proseso ng pagkilala sa mundo sa paligid niya. Termino "mental arithmetic" nangangahulugan ng kakayahang gumawa ng mental math. Sumang-ayon, natututo ang bawat isa sa atin sa isang punto ng ating buhay, at hindi lamang sa pamamagitan ng mga aralin sa paaralan.

Ngayon ay may mga buong pamamaraan para sa pagbuo ng mga kasanayan sa aritmetika ng kaisipan ng bilis ng mga bata. Halimbawa, lalo na sikat ang sinaunang pagsasanay sa Abacus, na batay sa kakayahang umasa sa mga espesyal na abacus (iba sa mga ordinaryong may sampu). Abako isinalin mula sa Ingles ay "abako", kaya naman pare-pareho ang tunog ng pangalan ng technique. Tinatawag ng mga Hapones ang pamamaraang ito ng pagsasanay na Soroban, dahil... sa kanilang wika, ang “abacus” ay tinatawag na “soroban”.

Gumagamit ang aritmetika ng apat na elementarya na operasyon - karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati. Hindi mahalaga kung ang mga integer ay ginagamit sa halimbawa o mga decimal at fraction. Maaari mong ipakilala ang iyong anak sa mga numero mula sa maagang pagkabata, at gawin ito nang madali at sa pamamagitan ng paglalaro. Ang mga magulang ay tutulungan dito hindi lamang sa pamamagitan ng kanilang imahinasyon, kundi pati na rin ng iba't ibang mga espesyal na materyales na pang-edukasyon na matatagpuan sa anumang tindahan.

Ayon sa modernong mga kinakailangan para sa unang baitang, ang isang bata ay dapat na magbilang ng hindi bababa sa hanggang sampu (at mas mabuti hanggang sa 20), at magsagawa din ng mga pangunahing operasyon na may pamilyar na mga numero - pagdaragdag at pagbabawas ng mga ito. Mahalaga rin na maihambing ng bata kung aling mga numero ang mas malaki, alin ang mas maliit, at aling mga numero ang pantay. Kaya, masasabi nating aritmetika na dapat malaman ng isang bata bago pa man pumasok sa paaralan.

Ang ganitong mga kinakailangan ay ipinakita hindi lamang sa Russia, ngunit sa buong mundo, dahil Ang bilis ng buhay ay bumibilis, at ang dami ng kaalaman ay tumataas araw-araw. Ang sapat na malaman sa kurikulum ng paaralan 20-30 taon na ang nakakaraan ngayon ay tumatagal ng hindi hihigit sa 50% ng impormasyong itinuro ng mga guro. Magkagayunman, ang aritmetika ay palaging mananatiling batayan para sa pag-aaral ng mga numero at pagbibilang, gayundin ang paunang antas ng matematika, kung wala ito imposibleng matuto ng mas kumplikadong mga gawain at kasanayan.

Ang aritmetika ay ang pinakapangunahing, pangunahing seksyon ng matematika. Nagmula ito sa pangangailangan ng mga tao sa pagbibilang.

Mental arithmetic

Ano ang tinatawag na mental arithmetic? Ang mental arithmetic ay isang paraan ng pagtuturo ng mabilisang pagbilang na nagmula sa sinaunang panahon.

Sa kasalukuyan, hindi tulad ng nauna, sinusubukan ng mga guro hindi lamang na turuan ang mga bata kung paano magbilang, ngunit sinusubukan din na paunlarin ang kanilang pag-iisip.

Ang proseso ng pag-aaral mismo ay batay sa paggamit at pag-unlad ng parehong hemispheres ng utak. Ang pangunahing bagay ay upang magamit ang mga ito nang magkasama, dahil sila ay umakma sa bawat isa.

Sa katunayan, ang kaliwang hemisphere ay may pananagutan para sa lohika, pagsasalita at katwiran, at ang kanang hemisphere ay responsable para sa imahinasyon.

Kasama sa programa ng pagsasanay ang pagsasanay sa pagpapatakbo at paggamit ng mga kasangkapan tulad ng abako.

Ang abacus ay ang pangunahing kasangkapan sa pag-aaral ng mental arithmetic, dahil ang mga mag-aaral ay natututong makipagtulungan sa kanila, ilipat ang mga domino at maunawaan ang kakanyahan ng pagkalkula. Sa paglipas ng panahon, ang abacus ay nagiging iyong imahinasyon, at ang mga mag-aaral ay nag-iisip sa kanila, bumuo sa kaalamang ito at lutasin ang mga halimbawa.

Ang mga pagsusuri tungkol sa mga pamamaraang ito ng pagtuturo ay napakapositibo. Mayroong isang sagabal - ang pagsasanay ay binabayaran, at hindi lahat ay kayang bayaran ito. Samakatuwid, ang landas ng isang henyo ay nakasalalay sa sitwasyon sa pananalapi ng isang tao.

Matematika at aritmetika

Ang matematika at aritmetika ay mga konseptong malapit na magkaugnay, o sa halip, ang aritmetika ay isang sangay ng matematika na gumagana sa mga numero at kalkulasyon (mga operasyong may mga numero).

Ang aritmetika ay ang pangunahing seksyon, at samakatuwid ang batayan ng matematika. Ang batayan ng matematika ay ang pinakamahalagang konsepto at operasyon na bumubuo ng batayan kung saan ang lahat ng kasunod na kaalaman ay binuo. Ang mga pangunahing operasyon ay kinabibilangan ng: karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati.

Ang aritmetika ay karaniwang pinag-aaralan sa paaralan mula sa simula ng edukasyon, iyon ay. mula sa unang baitang. Kabisado ng mga bata ang pangunahing matematika.

Dagdag ay isang aritmetika na operasyon kung saan ang dalawang numero ay idinagdag, at ang kanilang resulta ay isang bago - ang pangatlo.

a+b=c.

Pagbabawas ay isang arithmetic operation kung saan ang pangalawang numero ay ibinabawas sa unang numero, at ang resulta ay ang pangatlo.

Ang pormula ng karagdagan ay ipinahayag tulad ng sumusunod: a - b = c.

Pagpaparami ay isang aksyon na nagreresulta sa kabuuan ng magkatulad na termino.

Ang formula para sa pagkilos na ito ay: a1+a2+…+an=n*a.

Dibisyon- Ito ang paghahati ng isang numero o variable sa pantay na bahagi.

Mag-sign up para sa kursong "Pabilisin ang mental arithmetic, HINDI mental arithmetic" upang matutunan kung paano mabilis at tama ang pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, mga parisukat na numero at kahit na mag-extract ng mga ugat. Sa loob ng 30 araw, matututunan mo kung paano gumamit ng mga madaling trick para pasimplehin ang mga pagpapatakbo ng aritmetika. Ang bawat aralin ay naglalaman ng mga bagong pamamaraan, malinaw na mga halimbawa at kapaki-pakinabang na mga gawain.

Pagtuturo ng aritmetika

Itinuturo ang aritmetika sa loob ng mga pader ng paaralan. Mula sa unang baitang, nagsisimulang pag-aralan ng mga bata ang pangunahing at pangunahing seksyon ng matematika - aritmetika.

Pagdaragdag ng mga numero

Aritmetika baitang 5

Sa ikalimang baitang, ang mga mag-aaral ay nagsisimulang mag-aral ng mga paksa tulad ng mga fraction at mixed number. Makakahanap ka ng impormasyon tungkol sa mga operasyon gamit ang mga numerong ito sa aming mga artikulo sa mga nauugnay na operasyon.

Isang fractional na numero ay ang ratio ng dalawang numero sa isa't isa o ang numerator sa denominator. Ang isang fractional na numero ay maaaring palitan ng dibisyon. Halimbawa, ¼ = 1:4.

Pinaghalong numero– ito ay isang fractional na numero, tanging ang bahaging integer ay naka-highlight. Ang integer na bahagi ay inilalaan sa kondisyon na ang numerator ay mas malaki kaysa sa denominator. Halimbawa, nagkaroon ng fraction: 5/4, maaari itong baguhin sa pamamagitan ng pag-highlight sa buong bahagi: 1 buo at ¼.

Mga halimbawa para sa pagsasanay:

Gawain Blg. 1:

Gawain Blg. 2:

Arithmetic ika-6 na baitang

Sa ika-6 na baitang, lalabas ang paksa ng pag-convert ng mga fraction sa maliliit na notasyon. Ano ang ibig sabihin nito? Halimbawa, ibinigay ang fraction ½, ito ay magiging katumbas ng 0.5. ¼ = 0.25.

Maaaring i-compile ang mga halimbawa sa sumusunod na istilo: 0.25+0.73+12/31.

Mga halimbawa para sa pagsasanay:

Gawain Blg. 1:

Gawain Blg. 2:

Mga laro para sa pagbuo ng mental aritmetika at bilis ng pagbibilang

May mga mahuhusay na laro na nagtataguyod ng pagbilang, tumutulong sa pagbuo ng mga kasanayan sa matematika at pag-iisip sa matematika, pagbibilang ng kaisipan at bilis ng pagbibilang! Maaari kang maglaro at bumuo! Ikaw ay interesado? Magbasa ng mga maikling artikulo tungkol sa mga laro at siguraduhing subukan ang iyong sarili.

Larong "Quick Count"

Ang larong "mabilis na bilang" ay tutulong sa iyo na mapabilis ang iyong pagbibilang sa isip. Ang kakanyahan ng laro ay na sa larawang ipinakita sa iyo, kakailanganin mong pumili ng oo o hindi na sagot sa tanong na "Mayroon bang 5 magkatulad na prutas?" Sundin ang iyong layunin, at ang larong ito ay makakatulong sa iyo dito.

Larong "Mga Paghahambing sa Matematika"

Ang Math Comparison game ay mangangailangan sa iyo na ihambing ang dalawang numero laban sa orasan. Iyon ay, kailangan mong pumili ng isa sa dalawang numero sa lalong madaling panahon. Tandaan na ang oras ay limitado, at kapag mas sumagot ka ng tama, mas mahusay ang iyong mga kasanayan sa matematika! Subukan natin?

Laro "Mabilis na karagdagan"

Ang larong "Mabilis na Pagdaragdag" ay isang mahusay na mabilis na pagbilang ng simulator. Ang kakanyahan ng laro: isang 4x4 na patlang ang ibinigay, iyon ay. Mayroong 16 na numero, at sa itaas ng field ay ang ikalabing pitong numero. Ang iyong layunin: gamit ang labing-anim na numero, gumawa ng 17 gamit ang operasyon ng pagdaragdag. Halimbawa, sa itaas ng patlang mayroon kang numero na 28 na nakasulat, pagkatapos ay sa patlang na kailangan mong makahanap ng 2 tulad ng mga numero na sa kabuuan ay magbibigay ng numero 28. Handa ka na bang subukan ang iyong kamay? Pagkatapos ay magpatuloy at magsanay!

Pag-unlad ng phenomenal mental arithmetic

Tiningnan lang namin ang dulo ng iceberg, para mas maunawaan ang matematika - mag-sign up para sa aming kurso: Accelerating mental arithmetic - HINDI mental arithmetic.

Mula sa kurso ay hindi ka lamang matututo ng dose-dosenang mga diskarte para sa pinasimple at mabilis na pagpaparami, pagdaragdag, pagpaparami, paghahati, at pagkalkula ng mga porsyento, ngunit isasagawa mo rin ang mga ito sa mga espesyal na gawain at mga larong pang-edukasyon! Ang mental arithmetic ay nangangailangan din ng maraming atensyon at konsentrasyon, na aktibong sinanay kapag nilulutas ang mga kagiliw-giliw na problema.

Bilis ng pagbabasa sa loob ng 30 araw

Palakihin ang iyong bilis ng pagbabasa ng 2-3 beses sa loob ng 30 araw. Mula 150-200 hanggang 300-600 salita kada minuto o mula 400 hanggang 800-1200 salita kada minuto. Gumagamit ang kurso ng mga tradisyunal na pagsasanay para sa pagpapaunlad ng mabilis na pagbabasa, mga pamamaraan na nagpapabilis sa paggana ng utak, mga pamamaraan para sa unti-unting pagtaas ng bilis ng pagbasa, ang sikolohiya ng bilis ng pagbasa at mga tanong mula sa mga kalahok sa kurso. Angkop para sa mga bata at matatanda na nagbabasa ng hanggang 5000 salita kada minuto.

Pag-unlad ng memorya at atensyon sa isang bata 5-10 taong gulang

Ang layunin ng kurso: upang mabuo ang memorya at atensyon ng bata upang mas madali para sa kanya ang pag-aaral sa paaralan, upang mas maalala niya.

Arithmetic

Arithmetic at.
1.

Isang sangay ng matematika na nag-aaral ng pinakasimpleng katangian ng mga numero, paraan ng pagsulat nito at mga operasyon sa mga ito.

2.

Isang akademikong paksa na naglalaman ng mga pangunahing kaalaman sa seksyong ito ng matematika.

3. pagkabulok

Isang aklat-aralin na naglalahad ng nilalaman ng isang ibinigay na asignaturang pang-akademiko.

Explanatory Dictionary ni Efremova. T. F. Efremova. 2000.

Mga kasingkahulugan:

Tingnan kung ano ang "Arithmetic" sa ibang mga diksyunaryo:

- (mula sa Greek arithmos number, at toche art). Isang agham na tumatalakay sa mga numero. Diksyunaryo ng mga banyagang salita na kasama sa wikang Ruso. Chudinov A.N., 1910. ARITHMETICS mula sa Greek. arithmos, numero, at techne, art. Ang agham ng mga numero... ... Diksyunaryo ng mga banyagang salita ng wikang Ruso

Babae, Griyego ang doktrina ng pagbibilang, ang agham ng notasyon; ang batayan ng lahat ng matematika (ang agham ng mga dami, ng masusukat); luma pagbibilang o numerical na karunungan; pagbibilang, pagtutuos, pagkalkula ng numero, pagkalkula. Arithmetic, arithmetical, na may kaugnayan dito. Arithmetician...... Diksyunaryo ng Paliwanag ni Dahl

Digital na negosyo, digital na agham, digital, pagbibilang Diksyunaryo ng mga kasingkahulugan ng Ruso. arithmetic tsifir (hindi na ginagamit) Diksyunaryo ng mga kasingkahulugan ng wikang Ruso. Praktikal na gabay. M.: wikang Ruso. Z. E. Alexandrova. 2011… diksyunaryo ng kasingkahulugan

- (mula sa mga salitang Griyego na ariJmoV number at tecnh art) bahagi ng matematika na tumatalakay sa pag-aaral ng mga katangian ng ilang partikular na dami; sa mas malapit na kahulugan, ang arithmetic ay ang agham ng mga numero na ipinahayag sa mga numero, at tumatalakay sa mga operasyon sa mga numero. Pwede ba… … Encyclopedia ng Brockhaus at Efron

Makabagong encyclopedia

- (mula sa Greek arithmos number) bahagi ng matematika; pinag-aaralan ang pinakasimpleng katangian ng mga numero, pangunahin ang natural (positive integers) at mga fraction, at mga operasyon sa mga ito. Ang pag-unlad ng aritmetika ay humantong sa paghihiwalay mula dito ng algebra at teorya ng numero... Malaking Encyclopedic Dictionary

ARITHMETICS, isang paraan ng pagkalkula gamit ang karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati. Ang pormal na batayan ng axiomatic para sa mga operasyong ito ay ibinigay ni Giuseppe Peano sa pagtatapos ng ika-19 na siglo. Batay sa ilang postulate, halimbawa, na mayroon lamang... ... Pang-agham at teknikal na encyclopedic na diksyunaryo

ARITHMETICS, arithmetic, marami. hindi, babae (Griyegong arithmetike). Ang pag-aaral ng mga numero na ipinahayag ng mga digit at mga operasyon sa mga ito. Ang paliwanag na diksyunaryo ni Ushakov. D.N. Ushakov. 1935 1940 … Ushakov's Explanatory Dictionary

ARITHMETICS, at, babae. 1. Isang sangay ng matematika na nag-aaral ng pinakasimpleng katangian ng mga numero na ipinahahayag ng mga digit at operasyon sa mga ito. 2. paglipat Pareho sa pagbibilang (sa 2 digit) (kolokyal). Sinuri namin ang mga gastos at ito ay nakakabigo. | adj. aritmetika, ah, ... ... Ozhegov's Explanatory Dictionary

aritmetika- - [A.S. Goldberg. English-Russian energy dictionary. 2006] Mga paksa ng enerhiya sa pangkalahatang EN arithmetics ... Gabay ng Teknikal na Tagasalin

Arithmetic- (mula sa Greek arithmos number), bahagi ng matematika na nag-aaral ng pinakasimpleng katangian ng mga integer at fraction at mga operasyon sa mga ito. Ito ay bumangon noong sinaunang panahon mula sa mga praktikal na pangangailangan ng pagbibilang, pagsukat ng mga distansya, oras, atbp. Pagpapabuti... ... Illustrated Encyclopedic Dictionary

Mga libro

• Arithmetic, Kiselev Andrey Petrovich. Ang 2017 ay minarkahan ang ika-165 anibersaryo ng kapanganakan ni A.P. Kiselyov. Ang kanyang unang aklat-aralin sa aritmetika sa paaralan ay inilathala noong 1884. Noong 1938, naaprubahan ito bilang aklat-aralin sa aritmetika para sa 5-6...