Ibigay ang kahulugan ng pagkakasunod-sunod. Limitado at walang limitasyong mga pagkakasunud-sunod

Panimula …………………………………………………………………………… 3

1.Teoretikal na bahagi ………………………………………………………………… .4

Pangunahing konsepto at termino ……………………………………………………… 4

1.1 Mga uri ng pagkakasunud-sunod ……………………………………………………… ... 6

1.1.1. Limitado at Walang limitasyong Mga Numeric Sequence ... ..6

1.1.2. Monotonicity ng mga sequence ………………………………… 6

1.1.3 Walang hanggan malaki at walang hanggan maliit na pagkakasunod-sunod …… .7

1.1.4 Mga katangian ng infinitesimal na pagkakasunud-sunod ………………… 8

1.1.5. Pinagsasama-sama at diverging sequence at ang kanilang mga katangian ... ... 9

1.2 Limitasyon ng pagkakasunud-sunod …………………………………………… .11

1.2.1. Sequence Limit Theorems ………………………………………………………………………………………………… 15

1.3. Arithmetic progression ……………………………………………………… 17

1.3.1. Mga katangian ng pag-unlad ng arithmetic ………………………………… ..17

1.4 Geometric na pag-unlad …………………………………………… ..19

1.4.1. Mga katangian ng isang geometric na pag-unlad ………………………………… .19

1.5. Mga numero ng Fibonacci ……………………………………………………… ..21

1.5.1 Kaugnayan ng mga numero ng Fibonacci sa ibang mga lugar ng kaalaman ……………………… .22

1.5.2. Paggamit ng isang serye ng mga numerong Fibonacci upang ilarawan ang buhay at walang buhay na kalikasan ……………………………………………………………………………………… .23

2. Sariling pananaliksik ……………………………………………………… .28

Konklusyon …………………………………………………………………………… .30

Listahan ng mga ginamit na literatura …………………………………………… 31

Panimula.

Ang mga pagkakasunud-sunod ng numero ay isang napaka-interesante at nagbibigay-kaalaman na paksa. Ang paksang ito ay matatagpuan sa mga gawain ng tumaas na pagiging kumplikado, na inaalok sa mga mag-aaral ng mga may-akda ng mga materyal na didaktiko, sa mga problema ng mathematical olympiads, mga pagsusulit sa pagpasok sa Higher Educational Institutions at ang Unified State Exam. Interesado akong matutunan ang kaugnayan ng mga mathematical sequence sa ibang mga lugar ng kaalaman.

Target gawaing pananaliksik: Palawakin ang iyong kaalaman sa pagkakasunud-sunod ng numero.

1. Isaalang-alang ang pagkakasunod-sunod;

2. Isaalang-alang ang mga katangian nito;

3. Isaalang-alang ang analytical na gawain ng sequence;

4. Ipakita ang papel nito sa pagpapaunlad ng iba pang larangan ng kaalaman.

5. Ipakita ang paggamit ng isang serye ng mga numero ng Fibonacci upang ilarawan ang animate at inanimate na kalikasan.

1. Ang teoretikal na bahagi.

Pangunahing konsepto at termino.

Kahulugan. Ang numerical sequence ay isang function ng form na y = f (x), x О N, kung saan ang N ay isang set ng mga natural na numero (o isang function ng isang natural na argumento), na tinutukoy ng y = f (n) o y1, y2 ,…, yn,…. Ang mga halagang y1, y2, y3, ... ay tinatawag, ayon sa pagkakabanggit, ang una, pangalawa, pangatlo, ... mga miyembro ng sequence.

Ang numerong a ay tinatawag na limitasyon ng pagkakasunud-sunod x = (x n) kung para sa isang arbitraryong paunang natukoy na arbitraryong maliit na positibong numero ε mayroong natural na bilang N na para sa lahat n> N ang hindi pagkakapantay-pantay | x n - a |< ε.

Kung ang bilang a ay ang limitasyon ng pagkakasunud-sunod x = (x n), pagkatapos ay sinasabi nila na ang x n ay may gawi sa a, at isulat

.

Ang isang sequence (yn) ay tinatawag na pagtaas kung ang bawat isa sa mga miyembro nito (maliban sa una) ay mas malaki kaysa sa nauna:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Ang isang sequence (yn) ay tinatawag na bumababa kung ang bawat isa sa mga miyembro nito (maliban sa una) ay mas mababa kaysa sa nauna:

y1> y2> y3>…> yn> yn + 1>….

Ang mga pataas at pababang pagkakasunud-sunod ay pinagsama ng isang karaniwang termino - mga monotonikong pagkakasunud-sunod.

Ang isang sequence ay tinatawag na periodic kung mayroong isang natural na bilang T na, simula sa ilang n, ang pagkakapantay-pantay na yn = yn + T ay hawak. Ang bilang na T ay tinatawag na haba ng panahon.

Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod (an), ang bawat termino kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng kabuuan ng nakaraang termino at ang parehong bilang d, ay tinatawag na isang pag-unlad ng aritmetika, at ang bilang d ay ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika.

Kaya, ang isang arithmetic progression ay isang numerical sequence (an) na ibinibigay ng recursively ng mga relasyon.

a1 = a, an = an – 1 + d (n = 2, 3, 4, ...)

Ang geometric progression ay isang sequence, ang lahat ng mga miyembro nito ay nonzero at ang bawat termino nito, simula sa pangalawa, ay nakuha mula sa nakaraang termino sa pamamagitan ng pag-multiply sa parehong bilang na q.

Kaya, ang isang geometric na pag-unlad ay isang numerical sequence (bn) na binibigyan ng recursively ng mga relasyon

b1 = b, bn = bn – 1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Mga uri ng pagkakasunud-sunod.

1.1.1 Limitado at Walang limitasyong Pagkakasunud-sunod.

Ang isang sequence (bn) ay tinatawag na bounded mula sa itaas kung mayroong isang numero M na para sa anumang numero n ang hindi pagkakapantay-pantay bn≤ M ay nasiyahan;

Ang isang sequence (bn) ay tinatawag na bounded mula sa ibaba kung mayroong isang numero M na para sa anumang numero n ang hindi pagkakapantay-pantay bn≥ M ay nasiyahan;

Halimbawa:

1.1.2 Monotonicity ng mga sequence.

Ang isang sequence (bn) ay tinatawag na hindi tumataas (non-decreasing) kung, para sa anumang bilang n, ang hindi pagkakapantay-pantay na bn≥ bn + 1 (bn ≤bn + 1) ay totoo;

Ang isang sequence (bn) ay tinatawag na bumababa (tumataas) kung, para sa anumang bilang n, ang hindi pagkakapantay-pantay bn> bn + 1 (bn

Ang pagbaba at pagtaas ng mga sequence ay tinatawag na mahigpit na monotone, hindi tumataas na monotone sa malawak na kahulugan.

Ang mga pagkakasunud-sunod na may hangganan sa itaas at ibaba sa parehong oras ay tinatawag na hangganan.

Ang pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga uri na ito ay sama-samang tinatawag na monotonic.

1.1.3 Walang katapusang malaki at maliit na pagkakasunud-sunod.

Ang infinitesimal sequence ay isang numeric na function o sequence na may posibilidad na zero.

Ang isang sequence an ay tinatawag na infinitesimal kung

Ang isang function ay tinatawag na infinitesimal sa isang neighborhood ng point x0 kung ℓimx → x0 f (x) = 0.

Ang isang function ay tinatawag na infinitesimal sa infinity kung ℓimx →. + ∞ f (x) = 0 o ℓimx → -∞ f (x) = 0

Gayundin, ang infinitesimal function ay ang pagkakaiba sa pagitan ng function at limit nito, iyon ay, kung ℓimx →. + ∞ f (x) = a, pagkatapos f (x) - a = α (x), ℓimx →. + ∞ f (( x) -a) = 0.

Ang isang walang katapusang malaking sequence ay isang numerical function o isang sequence na may posibilidad na infinity.

Ang isang sequence an ay tinatawag na infinitely large kung

ℓimn → 0 an = ∞.

Ang isang function ay tinatawag na infinitely large sa isang neighborhood ng point x0 kung ℓimx → x0 f (x) = ∞.

Ang isang function ay tinatawag na infinitely large at infinity kung

ℓimx →. + ∞ f (x) = ∞ o ℓimx → -∞ f (x) = ∞.

1.1.4 Mga katangian ng infinitesimal sequence.

Ang kabuuan ng dalawang infinitesimal na sequence ay mismong isang infinitesimal na sequence.

Ang pagkakaiba ng dalawang infinitesimal sequence ay mismong isang infinitesimal na sequence.

Ang algebraic na kabuuan ng anumang may hangganang bilang ng mga infinitesimal na sequence ay mismong isang infinitesimal na sequence.

Ang produkto ng isang bounded sequence ng isang infinitesimal sequence ay isang infinitesimal sequence.

Ang produkto ng anumang may hangganang bilang ng mga infinitesimal na sequence ay isang infinitesimal na sequence.

Ang anumang infinitesimal na pagkakasunud-sunod ay limitado.

Kung ang isang nakatigil na pagkakasunud-sunod ay infinitesimal, kung gayon ang lahat ng mga elemento nito, simula sa isa, ay katumbas ng zero.

Kung ang buong infinitesimal na pagkakasunud-sunod ay binubuo ng magkatulad na mga elemento, kung gayon ang mga elementong ito ay mga zero.

Kung ang (xn) ay isang infinitely large sequence na hindi naglalaman ng zero terms, may sequence (1 / xn) na infinitely small. Kung, gayunpaman, ang (xn) ay naglalaman ng mga zero na elemento, kung gayon ang pagkakasunud-sunod (1 / xn) ay maaari pa ring tukuyin, simula sa ilang bilang n, at magiging napakaliit pa rin.

Kung ang (an) ay isang walang katapusang maliit na pagkakasunod-sunod na hindi naglalaman ng mga zero na termino, kung gayon mayroong isang sequence (1 / an) na walang katapusan na malaki. Kung, gayunpaman, ang (an) ay naglalaman ng mga zero na elemento, kung gayon ang sequence (1 / an) ay maaari pa ring tukuyin simula sa ilang numero n, at magiging walang hanggan ang laki.

1.1.5 Converging at diverging sequence at ang kanilang mga katangian.

Ang converging sequence ay isang sequence ng mga elemento ng isang set X na may limitasyon sa set na ito.

Ang divergent sequence ay isang sequence na hindi convergent.

Ang anumang infinitesimal na sequence ay convergent. Ang limitasyon nito ay zero.

Ang pag-alis ng anumang may hangganang bilang ng mga elemento mula sa isang walang katapusang sequence ay hindi makakaapekto sa convergence o sa limitasyon ng sequence na ito.

Ang anumang converging sequence ay may hangganan. Gayunpaman, hindi lahat ng limitadong pagkakasunud-sunod ay nagtatagpo.

Kung ang sequence (xn) ay nagtatagpo, ngunit hindi infinitesimal, kung gayon, simula sa ilang numero, ang sequence (1 / xn) ay tinukoy, na may hangganan.

Ang kabuuan ng converging sequence ay isa ring converging sequence.

Ang pagkakaiba ng converging sequence ay isa ring converging sequence.

Ang produkto ng converging sequence ay isa ring converging sequence.

Ang quotient ng dalawang converging sequence ay tinukoy simula sa ilang elemento, maliban kung ang pangalawang sequence ay infinitesimal. Kung ang quotient ng dalawang converging sequence ay tinukoy, kung gayon ito ay isang converging sequence.

Kung ang isang converging sequence ay bounded mula sa ibaba, kung gayon wala sa mga lower bounds nito ang lalampas sa limitasyon nito.

Kung ang isang converging sequence ay bounded mula sa itaas, ang limitasyon nito ay hindi lalampas sa alinman sa mga upper bounds nito.

Kung para sa anumang bilang ang mga miyembro ng isang converging sequence ay hindi lalampas sa mga miyembro ng isa pang converging sequence, kung gayon ang limitasyon ng unang sequence ay hindi rin lalampas sa limitasyon ng pangalawa.

Kahulugan. Kung ang bawat natural na numero n ay nauugnay sa bilang na xn, pagkatapos ay sinasabi nila na ang pagkakasunod-sunod ay ibinigay

x1, x2, ..., xn = (xn)

Ang karaniwang elemento ng sequence ay isang function ng n.

Kaya, ang pagkakapare-pareho ay maaaring tingnan bilang isang function.

Maaari kang magtakda ng isang sequence sa iba't ibang paraan - ang pangunahing bagay ay ang isang paraan para sa pagkuha ng sinumang miyembro ng sequence ay tinukoy.

Halimbawa. (xn) = ((-1) n) o (xn) = -1; 1; -1; 1; ...

(xn) = (sinn / 2) o (xn) = 1; 0; 1; 0; ...

Maaari mong tukuyin ang mga sumusunod na operasyon para sa mga sequence:

Pagpaparami ng pagkakasunod-sunod sa bilang na m: m (xn) = (mxn), i.e. mx1, mx2, ...

Pagdaragdag (pagbabawas) ng mga sequence: (xn) (yn) = (xn yn).

Produkto ng mga sequence: (xn) (yn) = (xnyn).

Ang quotient ng mga sequence: sa (yn) 0.

Limitado at walang limitasyong mga pagkakasunud-sunod.

Kahulugan. Ang isang sequence (xn) ay tinatawag na bounded kung mayroong isang numerong M> 0 na para sa alinmang n ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay totoo:

mga. lahat ng miyembro ng sequence ay nabibilang sa interval (-M; M).

Kahulugan. Ang isang sequence (xn) ay tinatawag na upper bounded kung para sa alinmang n mayroong isang numerong M na ang xn M.

Kahulugan. Ang isang sequence (xn) ay tinatawag na bounded mula sa ibaba kung, para sa alinmang n, mayroong isang numerong M na ang xn M

Halimbawa. (xn) = n - may hangganan mula sa ibaba (1, 2, 3,…).

Kahulugan. Ang numerong a ay tinatawag na limitasyon ng pagkakasunod-sunod (xn) kung para sa alinmang positibong> 0 mayroong isang bilang na N para sa lahat n> N ang sumusunod na kondisyon ay natupad: Ito ay nakasulat: lim xn = a.

Sa kasong ito, ang sequence (xn) ay sinasabing nagtatagpo sa a para sa n.

Pag-aari: Kung itatapon namin ang anumang bilang ng mga miyembro ng pagkakasunud-sunod, kung gayon ang mga bagong pagkakasunud-sunod ay makukuha, at kung ang isa sa mga ito ay nagtatagpo, kung gayon ang iba ay nagtatagpo.

Halimbawa. Patunayan na ang limitasyon ng sequence lim.

Hayaan itong maging totoo para sa n> N, i.e. ... Ito ay totoo para sa, kung gayon, kung gagawin natin ang integer na bahagi ng N bilang N, kung gayon ang pahayag sa itaas ay humahawak.

Halimbawa. Ipakita na para sa n ang sequence 3 ay may limitasyon na 2.

Kabuuan: (xn) = 2 + 1 / n; 1 / n = xn - 2

Malinaw, mayroong isang numero n tulad na, i.e. lim (xn) = 2.

Teorama. Ang isang sequence ay hindi maaaring magkaroon ng higit sa isang limitasyon.

Patunay. Ipagpalagay na ang sequence (xn) ay may dalawang limitasyon a at b na hindi pantay sa isa't isa.

xn a; xn b; a b.

Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan, mayroong isang numero> 0 tulad na

3. Limitasyon ng isang numerical sequence

3.1. Ang konsepto ng isang pagkakasunod-sunod ng numero at isang function ng isang natural na argumento

Kahulugan 3.1. Ang numerical sequence (simula dito ay isang sequence lang) ay isang ordered countable set of numbers

{x1, x2, x3, ... }.

Bigyang-pansin ang dalawang punto.

1. Mayroong walang katapusang maraming numero sa sequence. Kung ang mga numero ay may hangganan, ito ay hindi isang pagkakasunod-sunod!

2. Ang lahat ng mga numero ay nakaayos, iyon ay, sila ay nakaayos sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod.

Sa sumusunod, para sa pagkakasunud-sunod, madalas naming gagamitin ang pinaikling notasyon ( xn}.

Ang ilang mga operasyon ay maaaring isagawa sa mga pagkakasunud-sunod. Tingnan natin ang ilan sa kanila.

1. Pagpaparami ng isang sequence sa isang numero.

Kasunod c×{ xn) Ay isang pagkakasunod-sunod na may mga elemento ( c× xn), yan ay

c×{ x1, x2, x3, ... }={c× x1, c× x2, c× x3, ... }.

2. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga sequence.

{xn}±{ yn}={xn± yn},

o, nang mas detalyado,

{x1, x2, x3, ...}±{ y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Pagpaparami ng mga sequence.

{xn}×{ yn}={xn× yn}.

4. Dibisyon ng mga pagkakasunud-sunod.

{xn}/{yn}={xn / yn}.

Naturally, ito ay ipinapalagay na sa kasong ito lahat yn¹ 0.

Kahulugan 3.2. Kasunod ( xn) ay tinatawag na bounded mula sa itaas kung https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif "width =" 71 height = 20 "height =" 20 ">. gif" width = "53" height = "25 src =">. Ang isang sequence (xn) ay sinasabing bounded kung ito ay sabay-sabay na bounded sa itaas at sa ibaba.

3.2. Limitasyon ng pagkakasunud-sunod. Walang katapusang malaking pagkakasunod-sunod

Kahulugan 3.3. Numero a ay tinatawag na limitasyon ng pagkakasunod-sunod ( xn) sa n tending to infinity kung

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif "width =" 77 "height =" 33 src = ">. gif" width = "93" height = "33">, kung.

Sabi nila kung.

Kahulugan 3.4. Kasunod ( xn) ay tinatawag na walang hanggan malaki kung (iyon ay, kung ).

3.3. Walang katapusang maliit na pagkakasunod-sunod.

Kahulugan 3.5. Ang sequence (xn) ay tinatawag na infinitesimal kung, iyon ay, kung.

Ang mga infinitesimal sequence ay may mga sumusunod na katangian.

1. Ang kabuuan at pagkakaiba ng infinitesimal sequence ay isa ring infinitesimal na sequence.

2. Ang isang walang katapusang maliit na sequence ay may hangganan.

3. Ang produkto ng isang infinitesimal sequence sa pamamagitan ng bounded sequence ay isang infinitesimal sequence.

4. Kung ( xn) Ay isang walang katapusang malaking sequence, kung gayon, simula sa ilan N, ang pagkakasunod-sunod (1 / xn), at ito ay isang infinitesimal na pagkakasunod-sunod. Sa kabaligtaran, kung ( xn) Ay isang walang katapusang maliit na pagkakasunod-sunod at lahat xn ay nonzero, kung gayon (1 / xn) ay isang walang katapusang malaking pagkakasunod-sunod.

3.4. Nag-uugnay na mga pagkakasunud-sunod.

Kahulugan 3.6. Kung mayroong limitasyon sa pagtatapos https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif "width =" 149 "height =" 33 ">.

5. Kung , pagkatapos .

3.5. Pagpasa sa limitasyon sa hindi pagkakapantay-pantay.

Teorama 3.1. Kung, simula sa ilan N, lahat xn ³ b, tapos .

Bunga. Kung, simula sa ilan N, lahat xn ³ yn, pagkatapos .

Magkomento... Tandaan na kung, simula sa ilan N, lahat xn > b, iyon ay, kapag pumasa sa limitasyon, ang isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring maging isang hindi mahigpit.

Teorama 3.2.("Ang teorama tungkol sa dalawang pulis") Kung, simula sa ilan N, nasiyahan ang mga sumusunod na katangian

1..gif "width =" 163 "height =" 33 src = ">,

tapos meron.

3.6. Limitasyon ng isang monotonic sequence.

Kahulugan 3.7. Kasunod ( xn) ay tinatawag na monotonically increase kung para sa alinman n xn + 1 ³ xn.

Kasunod ( xn) ay tinatawag na mahigpit na monotonically pagtaas kung para sa anumang n xn + 1> xn.

xn­.

Kahulugan 3.8. Kasunod ( xn) ay tinatawag na monotonically decreasing kung para sa alinman n xn + 1 £ xn.

Kasunod ( xn) ay tinatawag na mahigpit na monotonically decreasing kung para sa alinman n xn + 1< xn.

Ang parehong mga kasong ito ay pinagsama ng simbolo xn¯.

Isang theorem sa pagkakaroon ng limitasyon ng isang monotone sequence.

1. Kung ang pagkakasunod-sunod ( xn) monotonically tumataas (bumababa) at nakatali sa itaas (sa ibaba), pagkatapos ay mayroon itong hangganan na katumbas ng sup ( xn) (inf ( xn}).

2 Kung ang pagkakasunod-sunod ( xn) monotonically tumataas (bumababa), ngunit hindi nakatali mula sa itaas (mula sa ibaba), pagkatapos ay mayroon itong limitasyon na katumbas ng + ¥ (- ¥).

Batay sa teorama na ito, napatunayan na mayroong tinatawag na kahanga-hangang limitasyon

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif "width =" 176 "height =" 28 src = ">. Tinatawag itong subsequence ng sequence ( xn}.

Teorama 3.3. Kung ang pagkakasunod-sunod ( xn) ay nagtatagpo at ang limitasyon nito ay a, kung gayon ang anumang kasunod nito ay nagtatagpo rin at may parehong limitasyon.

kung ( xn) Ay isang walang katapusang malaking pagkakasunod-sunod, kung gayon ang alinman sa mga kasunod nito ay walang katapusan din na malaki.

Lemma Bolzano - Weierstrass.

1. Mula sa anumang bounded sequence, maaaring kunin ng isa ang isang subsequence na converges sa isang may hangganang limitasyon.

2. Ang isang walang katapusang malaking kasunod ay maaaring makuha mula sa anumang walang hangganang pagkakasunod-sunod.

Batay sa lemma na ito, ang isa sa mga pangunahing resulta ng teorya ng mga limitasyon ay napatunayan - Ang Bolzano-Cauchy convergence criterion.

Upang ang pagkakasunud-sunod ( xn) nagkaroon ng hangganan, kailangan at sapat iyon

Ang isang sequence na nakakatugon sa property na ito ay tinatawag na pangunahing sequence, o isang sequence na nagtatagpo sa sarili nito.

Ang matematika ay ang agham na bumubuo sa mundo. Parehong isang siyentipiko at isang ordinaryong tao - walang magagawa kung wala siya. Una, ang mga maliliit na bata ay tinuturuan na magbilang, pagkatapos ay idagdag, ibawas, i-multiply at hatiin, ang mga pagtatalaga ng titik ay papasok sa gitnang paaralan, at sa mas matanda ay hindi mo na magagawa kung wala sila.

Ngunit ngayon ay pag-uusapan natin kung ano ang batayan ng lahat ng kilalang matematika. Tungkol sa komunidad ng mga numero na tinatawag na "mga limitasyon ng pagkakasunud-sunod".

Ano ang mga sequence at nasaan ang mga limitasyon nito?

Ang kahulugan ng salitang "sequence" ay hindi mahirap bigyang kahulugan. Ito ay tulad ng isang pagtatayo ng mga bagay, kung saan ang isang tao o isang bagay ay nakaayos sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod o pila. Halimbawa, ang pila para sa mga tiket sa zoo ay isang pagkakasunod-sunod. Bukod dito, maaaring isa lamang! Kung, halimbawa, titingnan mo ang pila sa tindahan, ito ay isang sequence. At kung ang isang tao ay biglang umalis sa pila na ito, kung gayon ito ay ibang pila, ibang pagkakasunud-sunod.

Ang salitang "limitasyon" ay madaling bigyang-kahulugan - ito ang katapusan ng isang bagay. Gayunpaman, sa matematika, ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay ang mga halaga sa linya ng numero kung saan ang pagkakasunud-sunod ng mga numero. Bakit ito nagsusumikap at hindi nagtatapos? Ito ay simple, ang linya ng numero ay walang katapusan, at karamihan sa mga sequence, tulad ng mga ray, ay may simula lamang at ganito ang hitsura:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Samakatuwid ang kahulugan ng isang sequence ay isang function ng isang natural na argumento. Higit pa sa simpleng salita Ay isang serye ng mga miyembro ng isang set.

Paano nabuo ang pagkakasunud-sunod ng numero?

Ang pinakasimpleng halimbawa ng isang numerical sequence ay maaaring magmukhang ganito: 1, 2, 3, 4, ... n ...

Sa karamihan ng mga kaso, para sa mga praktikal na layunin, ang mga pagkakasunud-sunod ay binuo mula sa mga numero, at ang bawat susunod na miyembro ng serye, sabihin natin itong X, ay may sariling pangalan. Halimbawa:

x 1 - ang unang miyembro ng sequence;

x 2 - ang pangalawang miyembro ng sequence;

x 3 - ikatlong termino;

x n - ikasiyam na termino.

Sa mga praktikal na pamamaraan, ang pagkakasunod-sunod ay ibinibigay ng isang pangkalahatang formula kung saan mayroong ilang variable. Halimbawa:

X n = 3n, kung gayon ang mga serye ng mga numero mismo ay magiging ganito:

Dapat tandaan na sa pangkalahatang pagtatala ng mga pagkakasunud-sunod, maaari mong gamitin ang anumang mga Latin na titik, hindi lamang X. Halimbawa: y, z, k, atbp.

Arithmetic progression bilang bahagi ng mga sequence

Bago hanapin ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod, ipinapayong mag-plunge ng mas malalim sa mismong konsepto ng naturang serye ng numero, na nakatagpo ng lahat sa gitnang klase. Ang arithmetic progression ay isang serye ng mga numero kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing termino ay pare-pareho.

Problema: "Hayaan ang isang 1 = 15, at ang hakbang ng pag-unlad ng serye ng numero d = 4. Buuin ang unang 4 na miyembro ng row na ito "

Solusyon: a 1 = 15 (ayon sa kondisyon) - ang unang miyembro ng progression (serye ng numero).

at 2 = 15 + 4 = 19 ang pangalawang termino ng progression.

at 3 = 19 + 4 = 23 ang ikatlong termino.

at 4 = 23 + 4 = 27 ang ikaapat na termino.

Gayunpaman, ang paggamit ng paraang ito ay mahirap makarating sa malalaking halaga, halimbawa, sa isang 125.. Lalo na para sa mga ganitong kaso, isang maginhawang formula ang nakuha: a n = a 1 + d (n-1). Sa kasong ito, isang 125 = 15 + 4 (125-1) = 511.

Mga uri ng pagkakasunud-sunod

Karamihan sa mga pagkakasunud-sunod ay walang katapusan at nagkakahalaga ng pag-alala sa buong buhay. Mayroong dalawang kawili-wiling uri ng serye ng numero. Ang una ay ibinigay ng formula а n = (- 1) n. Kadalasang tinutukoy ng mga mathematician ang sequence na ito bilang kumikislap na ilaw. Bakit? Suriin natin ang numerical series nito.

1, 1, -1, 1, -1, 1, atbp. Sa halimbawang ito, nagiging malinaw na ang mga numero sa pagkakasunud-sunod ay madaling maulit.

Factorial sequence. Madaling hulaan - mayroong factorial sa formula na tumutukoy sa sequence. Halimbawa: at n = (n + 1)!

Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod ay magiging ganito:

a 2 = 1x2x3 = 6;

a 3 = 1x2x3x4 = 24, atbp.

Ang isang pagkakasunod-sunod na ibinigay ng isang pag-unlad ng aritmetika ay tinatawag na walang katapusang pagbaba kung ang hindi pagkakapantay-pantay -1

a 3 = - 1/8, atbp.

Mayroong kahit isang pagkakasunod-sunod ng parehong numero. Kaya, at n = 6 ay binubuo ng isang walang katapusang set ng sixes.

Pagtukoy sa Limitasyon ng isang Sequence

Ang mga limitasyon ng pagkakasunud-sunod ay nasa loob ng mahabang panahon sa matematika. Siyempre karapat-dapat sila sa kanilang sariling matalinong disenyo. Kaya oras na upang malaman ang kahulugan ng mga limitasyon ng pagkakasunud-sunod. Upang magsimula, isaalang-alang nang detalyado ang limitasyon para sa isang linear na function:

1. Ang lahat ng limitasyon ay dinaglat bilang lim.
2. Ang notasyon ng limitasyon ay binubuo ng abbreviation na lim, anumang variable na naglalayong sa isang tiyak na numero, zero o infinity, gayundin mula sa mismong function.

Madaling maunawaan na ang kahulugan ng limitasyon ng isang sequence ay maaaring bumalangkas tulad ng sumusunod: ito ay isang tiyak na numero kung saan ang lahat ng miyembro ng sequence ay lumalapit nang walang hanggan. Isang simpleng halimbawa: a x = 4x + 1. Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod mismo ay magiging ganito.

5, 9, 13, 17, 21 ... x ...

Kaya, ang sequence na ito ay tataas nang walang hanggan, at, samakatuwid, ang limitasyon nito ay katumbas ng infinity bilang x → ∞, at dapat itong isulat bilang sumusunod:

Kung kukuha tayo ng katulad na pagkakasunud-sunod, ngunit ang x ay may posibilidad na 1, pagkatapos ay makukuha natin ang:

At ang serye ng mga numero ay magiging ganito: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, atbp. Sa bawat oras na kailangan mong palitan ang numero na mas malapit sa isa (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Ipinapakita ng seryeng ito na ang limitasyon ng function ay lima.

Mula sa bahaging ito ito ay nagkakahalaga ng pag-alala kung ano ang limitasyon ng isang numerical sequence, ang kahulugan at paraan ng paglutas ng mga simpleng problema.

Pangkalahatang notasyon para sa mga pagkakasunud-sunod ng limitasyon

Ang pagkakaroon ng disassembled ang limitasyon ng numerical sequence, ang kahulugan nito at mga halimbawa, maaari kang magpatuloy sa isang mas kumplikadong paksa. Ganap na lahat ng mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay maaaring buuin gamit ang isang formula, na karaniwang sinusuri sa unang semestre.

Kaya ano ang ibig sabihin ng hanay ng mga titik, moduli, at hindi pagkakapantay-pantay na ito?

Ang ∀ ay isang unibersal na quantifier, na pinapalitan ang mga pariralang "para sa lahat", "para sa lahat", atbp.

Ang ∃ ay isang existential quantifier, sa kasong ito, nangangahulugan ito na mayroong ilang value N na kabilang sa set ng mga natural na numero.

Ang isang mahabang patayong stick na sumusunod sa N ay nangangahulugan na ang ibinigay na set N ay "ganyan". Sa pagsasagawa, maaari itong mangahulugan ng "ganyan", "ganyan", atbp.

Upang pagsama-samahin ang materyal, basahin nang malakas ang formula.

Kawalang-katiyakan at katiyakan ng limitasyon

Ang pamamaraan para sa paghahanap ng limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod, na isinasaalang-alang sa itaas, bagama't simpleng gamitin, ay hindi masyadong makatwiran sa pagsasanay. Subukang hanapin ang limitasyon para sa isang function na tulad nito:

Kung papalitan natin ang iba't ibang mga halaga ng "x" (sa bawat oras na tumataas: 10, 100, 1000, atbp.), pagkatapos ay makakakuha tayo ng ∞ sa numerator, ngunit ∞ din sa denominator. Ito ay lumalabas na isang medyo kakaibang bahagi:

Pero ganun ba talaga? Ang pagkalkula ng limitasyon ng isang numerical sequence sa kasong ito ay tila madaling sapat. Maaari naming iwanan ang lahat ng ito, dahil handa na ang sagot, at natanggap ito sa mga makatwirang termino, ngunit may isa pang paraan partikular para sa mga ganitong kaso.

Una, hanapin natin ang pinakamataas na antas sa numerator ng fraction - ito ay 1, dahil ang x ay maaaring katawanin bilang x 1.

Ngayon hanapin natin ang pinakamataas na antas sa denominator. Gayundin 1.

Hatiin ang numerator at ang denominator ng variable sa pinakamataas na antas. Sa kasong ito, ang fraction ay nahahati sa x 1.

Susunod, makikita namin ang halaga kung saan ang bawat termino na naglalaman ng variable ay may kaugaliang. Sa kasong ito, ang mga fraction ay isinasaalang-alang. Bilang x → ∞, ang halaga ng bawat isa sa mga fraction ay may posibilidad na zero. Kapag nagrerehistro ng isang gawa sa pagsulat, sulit na gawin ang mga sumusunod na footnote:

Ang sumusunod na expression ay nakuha:

Siyempre, ang mga fraction na naglalaman ng x ay hindi nagiging mga zero! Ngunit ang kanilang halaga ay napakaliit na lubos na pinahihintulutan na huwag isaalang-alang ito sa mga kalkulasyon. Sa katunayan, ang x ay hindi kailanman magiging katumbas ng 0 sa kasong ito, dahil hindi mo maaaring hatiin sa zero.

Ano ang kapitbahayan?

Ipagpalagay na ang propesor ay may isang kumplikadong pagkakasunud-sunod, na malinaw na ibinibigay ng isang pantay na kumplikadong formula. Natagpuan ng propesor ang sagot, ngunit tama ba? Tutal, lahat ng tao ay mali.

Minsan ay nakaisip si Auguste Cauchy ng isang mahusay na paraan upang patunayan ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod. Ang kanyang pamamaraan ay tinatawag na pagpapatakbo sa paligid.

Ipagpalagay na mayroong ilang punto a, ang kapitbahayan nito sa magkabilang direksyon sa linya ng numero ay ε ("epsilon"). Dahil ang huling variable ay distansya, ang halaga nito ay palaging positibo.

Ngayon ay tukuyin natin ang ilang sequence x n at ipagpalagay na ang ikasampung termino ng sequence (x 10) ay pumapasok sa kapitbahayan ng a. Paano isulat ang katotohanang ito sa wikang matematika?

Sabihin nating ang x 10 ay nasa kanan ng point a, at ang distansya ay x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Ngayon na ang oras upang ipaliwanag sa pagsasanay ang pormula na binanggit sa itaas. Makatarungang tawagan ang ilang numero bilang dulong punto ng pagkakasunud-sunod kung ang hindi pagkakapantay-pantay na ε> 0 ay nananatili para sa alinman sa mga limitasyon nito, at ang buong kapitbahayan ay may natural na numerong N upang ang lahat ng miyembro ng sequence na may mas makabuluhang mga numero ay nasa loob. ang pagkakasunod-sunod | xn - a |< ε.

Sa ganitong kaalaman, madaling ipatupad ang desisyon ng mga limitasyon ng pagkakasunud-sunod, upang patunayan o pabulaanan ang handa na sagot.

Theorems

Ang sequence limit theorems ay isang mahalagang bahagi ng teorya, kung wala ang pagsasanay ay imposible. Mayroon lamang apat na pangunahing theorems, na naaalala kung alin, maaari mong makabuluhang mapadali ang kurso ng solusyon o patunay:

1. Kakaiba ng sequence limit. Ang anumang pagkakasunud-sunod ay maaaring magkaroon lamang ng isang limitasyon o wala. Ang parehong halimbawa na may isang pila na maaari lamang magkaroon ng isang dulo.
2. Kung may limitasyon ang hanay ng mga numero, limitado ang pagkakasunod-sunod ng mga numerong ito.
3. Ang limitasyon ng kabuuan (pagkakaiba, produkto) ng mga sequence ay katumbas ng kabuuan (pagkakaiba, produkto) ng kanilang mga limitasyon.
4. Ang quotient na limitasyon ng paghahati ng dalawang sequence ay katumbas ng quotient ng mga limitasyon kung at kung ang denominator ay hindi mawala.

Patunay ng mga pagkakasunod-sunod

Minsan kinakailangan upang malutas ang isang kabaligtaran na problema, upang patunayan ang isang ibinigay na limitasyon ng isang numerical sequence. Tingnan natin ang isang halimbawa.

Patunayan na ang limitasyon ng sequence na ibinigay ng formula ay katumbas ng zero.

Ayon sa tuntuning isinasaalang-alang sa itaas, para sa anumang pagkakasunod-sunod ang hindi pagkakapantay-pantay | x n - a |<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Ipahayag natin ang n sa mga tuntunin ng epsilon upang ipakita ang pagkakaroon ng ilang numero at upang patunayan ang pagkakaroon ng limitasyon ng pagkakasunod-sunod.

Sa yugtong ito, mahalagang tandaan na ang "epsilon" at "en" ay mga positibong numero at hindi katumbas ng zero. Ang pagbabago ay maaari na ngayong ipagpatuloy gamit ang kaalaman sa hindi pagkakapantay-pantay na natutunan sa mataas na paaralan.

Saan lumalabas na ang n> -3 + 1 / ε. Dahil ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga natural na numero, ang resulta ay maaaring bilugan sa pamamagitan ng paglalagay nito sa mga square bracket. Kaya, napatunayan na para sa anumang halaga ng kapitbahayan na "epsilon" ng puntong a = 0, mayroong isang halaga na ang paunang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak. Samakatuwid, maaari nating ligtas na igiit na ang numero a ay ang limitasyon ng isang naibigay na pagkakasunud-sunod. Q.E.D.

Sa ganitong maginhawang paraan, maaari mong patunayan ang limitasyon ng isang numerical sequence, gaano man ito kakomplikado sa unang tingin. Ang pangunahing bagay ay hindi mag-panic sa paningin ng gawain.

O baka hindi siya?

Ang pagkakaroon ng limitasyon ng pagkakasunud-sunod ay hindi kinakailangan sa pagsasanay. Madaling makahanap ng ganitong serye ng mga numero na talagang walang katapusan. Halimbawa, ang parehong "flasher" x n = (-1) n. malinaw na ang isang sequence na binubuo lamang ng dalawang digit na paulit-ulit na paikot ay hindi maaaring magkaroon ng limitasyon.

Ang parehong kuwento ay umuulit sa sarili nito sa mga pagkakasunud-sunod na binubuo ng isang numero, mga fractional, pagkakaroon ng isang kawalan ng katiyakan ng anumang pagkakasunud-sunod (0/0, ∞ / ∞, ∞ / 0, atbp.) sa kurso ng mga kalkulasyon. Gayunpaman, dapat tandaan na ang maling pagkalkula ay nagaganap din. Minsan ito ay makakatulong sa iyo na mahanap ang limitasyon ng sunod-sunod sa pamamagitan ng muling pagsusuri sa sarili mong solusyon.

Monotonic na pagkakasunud-sunod

Sa itaas ay isinasaalang-alang namin ang ilang mga halimbawa ng mga pagkakasunud-sunod, mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito, at ngayon ay susubukan naming kumuha ng isang mas tiyak na kaso at tatawagin itong isang "monotonic sequence".

Depinisyon: makatarungang tawagan ang anumang pagkakasunod-sunod na monotonikong tumataas kung ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Kasama ng dalawang kundisyong ito, mayroon ding mga katulad na mahinang hindi pagkakapantay-pantay. Alinsunod dito, x n ≤ x n +1 (hindi bumababa na pagkakasunod-sunod) at x n ≥ x n +1 (hindi tumataas na pagkakasunud-sunod).

Ngunit mas madaling maunawaan ito sa mga halimbawa.

Ang sequence na ibinigay ng formula x n = 2 + n ay bumubuo sa sumusunod na row ng mga numero: 4, 5, 6, atbp. Ito ay isang monotonically increases sequence.

At kung kukuha tayo ng x n = 1 / n, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang serye: 1/3, ¼, 1/5, atbp. Ito ay isang monotonically decreasing sequence.

Convergent at bounded sequence limit

Ang limitadong sequence ay isang sequence na may limitasyon. Ang convergent sequence ay isang serye ng mga numero na may infinitesimal na limitasyon.

Kaya, ang limitasyon ng isang bounded sequence ay anumang tunay o kumplikadong numero. Tandaan na maaari lamang magkaroon ng isang limitasyon.

Ang limitasyon ng isang converging sequence ay isang infinitesimal na halaga (real o complex). Kung gumuhit ka ng isang diagram ng pagkakasunud-sunod, pagkatapos ay sa isang tiyak na punto, ito ay, bilang ito ay, magtatagpo, ay may posibilidad na maging isang tiyak na halaga. Kaya ang pangalan - convergent sequence.

Monotonic Sequence Limit

Ang ganitong pagkakasunod-sunod ay maaaring may limitasyon o wala. Sa una, kapaki-pakinabang na maunawaan kung kailan ito, mula dito maaari kang magsimula kapag nagpapatunay na walang limitasyon.

Kabilang sa mga monotonic sequence, ang converging at diverging ay nakikilala. Ang convergent sequence ay isang sequence na nabuo ng set x at may real o complex na limitasyon sa set na ito. Divergent - isang sequence na walang limitasyon sa set nito (ni real or complex).

Bukod dito, ang pagkakasunud-sunod ay nagtatagpo kung, sa isang geometric na imahe, ang itaas at mas mababang mga limitasyon ay nagtatagpo.

Ang limitasyon ng isang converging sequence ay maaaring zero sa maraming kaso, dahil ang anumang infinitesimal na sequence ay may alam na limitasyon (zero).

Alinmang converging sequence ang kukunin mo, lahat sila ay limitado, ngunit hindi lahat ng limitadong sequence ay nagtatagpo.

Ang kabuuan, pagkakaiba, produkto ng dalawang nagtatagpo na pagkakasunud-sunod ay isa ring nagtatagpo na pagkakasunud-sunod. Gayunpaman, ang quotient ay maaari ding maging convergent kung ito ay tinukoy!

Iba't ibang aksyon na may limitasyon

Ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay ang parehong mahalaga (sa karamihan ng mga kaso) na dami ng mga numero at numero: 1, 2, 15, 24, 362, atbp. Lumalabas na ang ilang operasyon ay maaaring isagawa nang may mga limitasyon.

Una, tulad ng mga numero at numero, ang mga limitasyon ng anumang sequence ay maaaring idagdag at ibawas. Batay sa ikatlong teorama sa mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo: ang limitasyon ng kabuuan ng mga pagkakasunud-sunod ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga limitasyon.

Pangalawa, batay sa ika-apat na teorama sa mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo: ang limitasyon ng produkto ng n-ika na bilang ng mga pagkakasunud-sunod ay katumbas ng produkto ng kanilang mga limitasyon. Ang parehong ay totoo para sa paghahati: ang quotient na limitasyon ng dalawang sequence ay katumbas ng quotient ng kanilang mga limitasyon, sa kondisyon na ang limitasyon ay hindi zero. Pagkatapos ng lahat, kung ang limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay katumbas ng zero, ang paghahati sa pamamagitan ng zero ay magreresulta, na imposible.

Mga Katangian ng Dami ng Pagkakasunud-sunod

Mukhang nasuri na sa ilang detalye ang limitasyon ng numerical sequence, ngunit ang mga pariralang tulad ng "walang hanggan maliit" at "walang hanggan malaki" na mga numero ay binanggit nang higit sa isang beses. Malinaw, kung mayroong isang sequence 1 / x, kung saan ang x → ∞, kung gayon ang naturang fraction ay walang katapusan na maliit, at kung ang parehong pagkakasunud-sunod, ngunit ang limitasyon ay may posibilidad na zero (x → 0), kung gayon ang fraction ay nagiging walang hanggan na malaki. At ang mga dami na ito ay may sariling katangian. Ang mga katangian ng limitasyon ng isang sequence na mayroong anumang maliit o malalaking halaga ay ang mga sumusunod:

1. Ang kabuuan ng anumang bilang ng mga di-makatwirang maliliit na dami ay magiging maliit din na dami.
2. Ang kabuuan ng anumang bilang ng malalaking dami ay magiging walang hanggan na malaki.
3. Ang produkto ng di-makatwirang maliit na dami ay walang katapusang maliit.
4. Ang produkto ng anumang bilang ng malalaking numero ay walang katapusan na malaki.
5. Kung ang orihinal na pagkakasunud-sunod ay may posibilidad na isang walang katapusang malaking bilang, kung gayon ang halaga na kabaligtaran nito ay magiging napakaliit at malamang na zero.

Sa katunayan, ang pagkalkula ng limitasyon ng isang sequence ay hindi isang mahirap na gawain kung alam mo ang isang simpleng algorithm. Ngunit ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay isang paksa na nangangailangan ng pinakamataas na atensyon at tiyaga. Siyempre, sapat na upang maunawaan lamang ang kakanyahan ng solusyon sa gayong mga ekspresyon. Simula sa maliit, maaari mong maabot ang malalaking taluktok sa paglipas ng panahon.

Hayaan X (\ displaystyle X) ay alinman sa isang hanay ng mga tunay na numero R (\ displaystyle \ mathbb (R)), o ang hanay ng mga kumplikadong numero C (\ displaystyle \ mathbb (C))... Tapos yung sequence (x n) n = 1 ∞ (\ displaystyle \ (x_ (n) \) _ (n = 1) ^ (\ infty)) mga elemento ng set X (\ displaystyle X) tinawag numerical sequence.

Mga halimbawa ng

Mga operasyon ng pagkakasunud-sunod

Mga kasunod

Kasunod mga pagkakasunod-sunod (x n) (\ displaystyle (x_ (n))) ay ang pagkakasunod-sunod (x n k) (\ displaystyle (x_ (n_ (k))))), saan (n k) (\ displaystyle (n_ (k)))- isang pagtaas ng pagkakasunud-sunod ng mga elemento ng hanay ng mga natural na numero.

Sa madaling salita, ang isang kasunod ay nakuha mula sa isang pagkakasunod-sunod sa pamamagitan ng pag-alis ng isang may hangganan o mabibilang na bilang ng mga elemento.

Mga halimbawa ng

• Ang pagkakasunod-sunod ng mga primes ay isang pagkakasunod-sunod ng pagkakasunod-sunod ng mga natural na numero.
• Ang pagkakasunod-sunod ng mga multiple ng natural na mga numero ay isang pagkakasunod-sunod ng isang pagkakasunod-sunod ng kahit na natural na mga numero.

Ari-arian

Limitahan ang punto ng pagkakasunud-sunod ay isang punto, sa anumang kapitbahayan kung saan mayroong walang katapusang maraming elemento ng pagkakasunod-sunod na ito. Para sa converging na mga pagkakasunud-sunod ng numero, ang limitasyon ng punto ay pareho sa limitasyon.

Limitasyon ng pagkakasunud-sunod

Limitasyon ng pagkakasunud-sunod ay isang bagay na nilalapitan ng mga miyembro ng sequence na may pagtaas ng bilang. Kaya, sa isang arbitrary na topological space, ang limitasyon ng isang sequence ay isang elemento sa anumang kapitbahayan kung saan ang lahat ng mga miyembro ng sequence ay namamalagi, simula sa isa. Sa partikular, para sa mga numerical sequence, ang limitasyon ay isang numero sa alinmang kapitbahayan kung saan lahat ng miyembro ng sequence ay namamalagi simula sa isa.

Mga pangunahing pagkakasunud-sunod

Pangunahing pagkakasunud-sunod (converging sequence , Cauchy sequence ) ay isang pagkakasunud-sunod ng mga elemento ng metric space, kung saan para sa anumang paunang natukoy na distansya mayroong tulad ng isang elemento, ang distansya mula sa kung saan sa alinman sa mga sumusunod na elemento ay hindi lalampas sa isang ibinigay na isa. Para sa mga numerical sequence, ang mga konsepto ng fundamental at convergent sequence ay katumbas, ngunit sa pangkalahatan ay hindi ito ang kaso.