gawaing kurso sa kursong "Matematika"

Kirovograd 2004

Panimula

Mga elemento pagsusuri sa matematika sumasakop sa isang makabuluhang lugar sa kurso sa paaralan matematika. Kabisado ng mga mag-aaral ang mathematical apparatus, na mabisang magagamit sa paglutas ng maraming problema ng matematika, pisika, at teknolohiya. Ginagawang posible ng wika ng derivative at integral na bumalangkas ng maraming batas ng kalikasan nang mahigpit. Sa kurso ng matematika, sa tulong ng kaugalian at integral na calculus, ang mga katangian ng mga pag-andar ay pinag-aralan, ang kanilang mga graph ay itinayo, ang mga problema ay nalutas para sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga, ang mga lugar at dami ng mga geometric na numero ay kinakalkula. Sa madaling salita, ang pagpapakilala ng isang bagong aparatong matematika ay ginagawang posible na isaalang-alang ang isang bilang ng mga problema na hindi malulutas ng mga elementarya na pamamaraan. Gayunpaman, ang mga posibilidad ng mga pamamaraan ng pagsusuri sa matematika ay hindi nauubos ng mga naturang problema.

Maraming tradisyunal na problema sa elementarya (patunay ng hindi pagkakapantay-pantay, pagkakakilanlan, pananaliksik at solusyon ng mga equation, at iba pa) ay epektibong nalutas gamit ang mga konsepto ng derivative at integral. Mga aklat-aralin sa paaralan at mga gabay sa pag-aaral maliit na pansin ang binabayaran sa mga isyung ito. Kasabay nito, ang hindi pamantayang paggamit ng mga elemento ng mathematical analysis ay ginagawang posible upang makakuha ng mas malalim na pag-unawa sa mga pangunahing konsepto ng teoryang pinag-aaralan. Dito kailangan nating pumili ng isang paraan pagtugon sa suliranin at, upang suriin ang mga kondisyon ng pagiging angkop nito, upang pag-aralan ang mga nakuhang resulta. Dahil dito, kadalasan ay kakaunting pananaliksik sa matematika ang nabubuo lohikal na pag-iisip, mga kakayahan sa matematika, pagtaas ng kultura ng matematika.

Para sa maraming problema ng elementarya na matematika, ang parehong "elementarya" at "di-elementarya" na solusyon ay pinapayagan. Ang paggamit ng derivative at integral ay kadalasang nagbibigay ng mas mahusay na solusyon. May pagkakataong suriin ang lakas, kagandahan, pangkalahatan ng bagong kasangkapang pangmatematika.

Ang mga pamamaraan ng pagsusuri sa matematika ay ginagamit hindi lamang upang malutas ang mga gawain, ngunit ito rin ay isang mapagkukunan ng pagkuha ng mga bagong katotohanan ng elementarya na matematika.

Seksyon 1. Ilang aplikasyon ng hinalaw

1.1. Application ng derivative sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay

Ang differential calculus ay malawakang ginagamit sa pag-aaral ng mga function. Gamit ang derivative, mahahanap mo ang mga pagitan ng monotonicity ng isang function, ang mga extreme point nito, ang pinakamalaki at pinakamaliit na value.

Kung ang function na f ay may positibong (negatibong) derivative sa bawat punto ng ilang pagitan, ito ay tumataas (bumababa) sa pagitan na ito. Kapag naghahanap ng mga agwat ng monotonicity, dapat itong isipin na kung ang isang function ay tumaas (bumababa) sa pagitan (a, b) at tuloy-tuloy sa mga punto a at b, pagkatapos ay tumataas (bumababa) sa pagitan .

Kung ang puntong x0 ay isang extremum point para sa function na f at mayroong isang derivative sa puntong ito, kung gayon f/(x0)=0. Sa extremum point, maaaring walang derivative ang function. Ang mga panloob na punto ng domain ng kahulugan, kung saan ang derivative ay katumbas ng zero o wala, ay tinatawag na kritikal. Upang matukoy kung ang isang function ay may extremum sa isang partikular na kritikal na punto, ang sumusunod na sapat na pamantayan para sa pagkakaroon ng isang extremum ay ginagamit.

Kung ang function na f ay tuloy-tuloy sa puntong x0 at may mga puntos a, b tulad ng f/(x0)>0 (f/(x0)<0) на интервале (a,x0) и f/(x0)<0 (f/(x0)>0) sa pagitan (x0,b), kung gayon ang puntong x0 ay ang pinakamataas (minimum) na punto ng function na f.

Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng f sa segment, sapat na upang ihambing ang mga halaga ng f sa mga punto a, b at sa mga kritikal na punto mula sa segment .

Ang mga resultang ito ay naaangkop sa solusyon ng maraming elementarya na problema na may kaugnayan sa mga hindi pagkakapantay-pantay.

Hayaan, halimbawa, kinakailangan upang patunayan na ang hindi pagkakapantay-pantay na f(x)³g(x) ay humahawak sa ilang pagitan. Tukuyin ang f(x)-g(x) ng F(x). Gamit ang derivative na F/(x), makikita natin ang pinakamaliit na halaga ng F sa isang naibigay na pagitan. Kung ito ay hindi negatibo, pagkatapos ay sa lahat ng mga punto ng itinuturing na pagitan F(x)³0, i.e.

Gawain 1.1. Patunayan na ang (e+x)e-x>(e-x)e+x para sa 0

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng sumusunod: (e-x)ln(e+x)>(e+x)ln(e-x).

Hayaan ang f(x)=(e-x)ln(e+x)-(e+x)ln(e-x),

pagkatapos ay f/(x)=-ln(e+x)+(e-x)/(e+x)-ln(e-x)+(e+x)/(e-x).

Dahil (e-x)/(e+x)+(e+x)/(e-x)=2(e2+x2)/(e2-x2)>2,

ln(e+x)+ln(e-x)=ln(e2-x2)

pagkatapos f/(x)>0 sa 0 0 sa 0

Gawain 1.2. Patunayan ang hindi pagkakapantay-pantay na tgka+ctgka³2+k2cos22a, 0

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring isulat bilang: (ctgk/2a–tgk/2a)2³k2cos22a.

Hayaan muna 0 Tg a, cos 2a>0, kaya ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay ctgk/2a–tgk/2a ³ k*cos 2a.

Hayaang f(a)=ctgna–tgna–2n*cos 2a, kung saan n=k/2.

Dito, tulad ng sa nakaraang problema, ginagamit namin ang katotohanan na ang kabuuan ng mga katumbas na positibong numero ay mas malaki kaysa o katumbas ng 2. Kaya, sa pagitan ng 0

Gawain 1.3. Ano ang mas ep o pe?

Upang malutas ang problema, pinag-aaralan namin ang tanong ng pagkakaroon ng mga solusyon sa equation na may dalawang hindi alam: ab=ba, a>0, b>0. Ibinubukod namin ang maliit na kaso a=b at, para sa katiyakan, ipinapalagay namin na a

(ln a)/a = (ln b)/b.

Hayaan ang f(x)=(log x)/x (1). Ang pagkakaroon ng mga solusyon sa equation (1) ay katumbas ng pagkakaroon ng mga halaga x1 at x2 (x1). 0 ang function f ay tumataas, at para sa x>e f/(x)<0 функция f убывает. Поэтому в точке x=e f принимает свое наибольшее значение (1/e). Так как функция (ln x)/x непрерывна и возрастает на промежутке (0,e], то она на этом промежутке принимает все значения от –¥ до 1/е. Аналогично, на промежутке . Из результатов исследования функции f вытекают следующие утверждения:

1. Kung 0

2. Kung 1

3. Kung b>a>e, pagkatapos ay ab>ba.

Kaya, kung ang (a,b) ay isang solusyon sa equation na ab=ba , kung gayon 1 e. Bukod dito, para sa bawat nakapirming halaga 1 e tulad na ab=ba

Upang masagot ang tanong ng Problema 3, sapat na ang pagtakda ng a=e, b=p at paggamit ng assertion (1). Kaya ep > pe . Nalutas ang problema 3.

Gawain 1.4. Dalawang turista ang pumunta sa parehong ruta. Sa unang araw ay tinakpan nila ang parehong distansya. Sa bawat isa sa mga sumusunod na araw, ang unang turista ay tumaas ang distansya na nilakbay, kumpara sa mga nauna, sa parehong distansya, at ang pangalawa - sa parehong bilang ng beses. Napag-alaman na sa n-th day (n>2) ng biyahe, ang mga turista ay muling sumakay sa parehong distansya. Patunayan na sa n araw ang unang turista ay naglakbay nang mas malayo kaysa sa pangalawa.

Ang distansyang nilakbay ng unang turista sa n araw ay ang kabuuan ng unang n termino ng pag-unlad ng aritmetika, at ang pangalawa ay ang kabuuan ng unang n termino ng geometric na pag-unlad. Tukuyin natin ang mga distansyang ito bilang Sn at Sn/, ayon sa pagkakabanggit. Kung ang a ay ang unang termino ng progression, ang d ay ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression, ang q ay ang denominator ng isang geometric progression, kung gayon

Ang equating ang nth termino ng progressions, nakita namin

Pagkatapos , kung saan q>1 (sa kondisyon ng problema). Ang problema 4 ay malulutas kung ipapakita natin iyon , kung saan n>2, q>1 (2)

Para sa n=3 mayroon tayo , na katumbas ng halatang hindi pagkakapantay - pantay . Ipagpalagay na ang hindi pagkakapantay-pantay (2) ay wasto para sa n=k, patunayan natin ito para sa n=k+1. Meron kami

Upang makumpleto ang patunay, sapat na upang i-verify na ang expression para sa k>2. Dito ipinapayong bumaling sa derivative.

Hayaang maging positibo ang derivative para sa x>1. Samakatuwid, ang f ay tumataas para sa x>1. Dahil ang f(1)=0 at ang function na f ay tuloy-tuloy sa puntong x=1, kung gayon ang f(x)>0 para sa x>1, i.e. f(q)>0. Kaya, Sn>Sn/. Nalutas ang problema 4.

1.2. Gamit ang mga pangunahing teorema ng differential calculus sa pagpapatunay ng mga hindi pagkakapantay-pantay

THEOREM 1 (Roll). Hayaang matugunan ng function f:®R ang mga kundisyon:

1) fОC; 2) "xн(a,b) ay umiiral f/(x); 3) f(a)=f(b). Pagkatapos ay $Cн(a,b): f/(C)=0.

Ang geometric na kahulugan ng teorem ni Rolle: sa ilalim ng mga kondisyon 1)-3) ng teorama, sa pagitan (a,b) mayroong isang punto C kung saan ang padaplis sa graph ng function ay kahanay sa x-axis. Sa pagsasagawa, ang sumusunod na pahayag ng teorema ni Rolle ay mas madalas na ginagamit: sa pagitan ng alinmang dalawang zero ng isang naiba-iba na function, mayroong hindi bababa sa isang zero ng derivative.

THEOREM 2 (Lagrange tungkol sa mean value, o tungkol sa panghuling pagtaas). Ipagpalagay na ang function na f:®R ay nakakatugon sa mga kundisyon:

1) fОC; 2) "xн(a,b) ay umiiral f/(x). Pagkatapos ay $Cн(a,b): f(b)-f(a)=f/(C)(b-a).

Ang ratio (f(b)-f(a))/(b-a) ay ang padaplis ng anggulo ng pagkahilig sa x-axis ng secant na dumadaan sa mga puntos (a, f(a)), (b, f(b)). Ang geometric na kahulugan ng theorem ni Lagrange: sa ilalim ng mga kondisyon 1)-2) ng theorem, sa pagitan (a,b) mayroong isang punto C kung saan ang tangent sa graph ng function sa punto (C, f( C)) ay parallel sa secant.

Corollary 1. Hayaang ang isang function f:®R ay may derivative f/ on (a,b) at "xО(a,b) f/(x)=0. Pagkatapos ay para sa ilang LТ R "xО(a,b) f (x )=L.

Corollary 2. Ang mga function f:®R, g:®R ay may derivatives f/ at g/ on (a,b) at "xн(a,b) f/(x)=g/(x). Pagkatapos ay para sa ilang numero LÌ R "xн(a,b): f(x)=g(x)+L.

Corollary 3. Hayaang ang isang function f:®R ay may derivative f/ on (a,b) at para sa ilang LÌ R "xО(a,b) f/(x)=L. Pagkatapos para sa ilang MÌ R "xО(a ,b ): f(x)=Lx+M.

TEOREM 3 (Cauchy). Hayaang matugunan ng mga function f:®R, g:®R ang mga sumusunod na kondisyon: 1) f, gОC; 2) "xн(a,b) may mga derivatives f/ at g/ ; 3) "xн(a,b) g/(x)¹0.

Pagkatapos ay $Cн(a,b): (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f/(C)/g/(C).

Ang Lagrange theorem ay isang espesyal na kaso ng Cauchy theorem para sa g(x)=x, xн.

Gawain 1.5. Patunayan na para sa alinmang x, y Ì R: ½ sin x – sin y½£½x–y½; x, y Ì R: ½cos x – cos y½£½x–y½; x, y Ì R: ½arctg x – arctg y½£½x–y½;

x, y Ang teorama ni Lagrange:

$Cн(x,y): ½sin x – sin y½=½cos C½(x–y). Isinasaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay ½cos u1£1, uÎR, nakukuha namin ang kinakailangang hindi pagkakapantay-pantay.

Suliranin 1.6. Patunayan na para sa anumang x Ì R: ex ³ 1+x, at ang pagkakapantay-pantay ay maaaring umiral kung at kung x=0 lamang.

Hayaan muna ang x>0. Sa pamamagitan ng Lagrange theorem para sa function na f(u)=eu, uн,

$Cн(0,x): ex – e0 = eC(x-0)>x, dahil eC>1 para sa C>0. Kung x<0, то теорему Лагранжа используем для функции f(u)=eu, uÎ. Имеем $CÎ(x,0): e0 – ex = eC(0-x)<–x, так как –x>0, at eC<1 для C<0. Таким образом, при x¹0 имеем ex >1+x.

Suliranin 1.7. Patunayan iyon para sa alinmang x >0: ex>1+x+(x2/2).

Upang patunayan ang hindi pagkakapantay-pantay, inilalapat namin ang Cauchy theorem sa mga function

f(u)=eu, g(u)=1+u+(u2/2), uн. Nakukuha namin ang $Cн(0,x): (ex – e0)/(1+x+(x2/2)–1) = eC/(1+c). Isinasaalang-alang ang napatunayang hindi pagkakapantay-pantay, makikita natin ang (ex-1)/(x+(x2/2))>1, kung saan ex>1+x+(x2/2).

Suliranin 1.8. Patunayan na para sa 0 (2/p)x.

Hayaan ang f(x)=(sin x)/x (0 f(p/2)=2/p kung 0

Suliranin 1.9. Patunayan na ang cos x >1–(1/2)x2 ay para sa x>0.

Ang function na f(x)=cos x –1+(1/2)x2 ay katumbas ng 0 para sa x=0. Ang hinango nito, para sa x>0,

f/(x) = –sin x+x>0 (o sin x< x). Т.е., функция f(x) для x³0 возрастающая, а при x<0 будет f(x)>f(0)=0, ibig sabihin. cos x>1–(1/2)x2.

Kaya, katulad din para sa x>0 nakakakuha tayo ng sin x>x–(1/6)x3.

Suliranin 1.10. Patunayan na para sa 0 X+(1/3)x3.

Upang gawin ito, sapat na upang itatag na para sa ipinahiwatig na x ang derivative ng function na tg x–x–(1/3)x3 ay katumbas ng sec2x–1–x2, ay positibo, i.e. na tg2x – x2>0, at ito ay humahantong sa kilalang hindi pagkakapantay-pantay na tg x>x.

Suliranin 1.11. Patunayan na para sa x>0 ln x £ x-1 hold.

Dahil ang function na f(x)=ln x–x (x>0) ay may derivative f/(x)=(1/x)–1 > 0 (kapag 0 1), pagkatapos ay tumataas ang function habang nagbabago ang x sa pagitan (0,1], at bumababa sa pagitan at kumukuha ng mga halaga ng iba't ibang mga palatandaan sa mga dulo nito, pagkatapos ay sa pagitan ng a at b mayroong isang punto c kung saan ang f (c)=0.

Suliranin 1.12. lutasin ang equation

Pansinin kung ano ang ugat ng equation. Patunayan natin na ang equation na ito ay walang ibang ugat. Pinag-aaralan namin ang function f, kung saan , para sa monotonicity. Derivative . Itakda natin ang mga pagitan kung saan pinapanatili ng function ang sign nito. Upang gawin ito, sinusuri namin ito para sa monotonicity. Derivative . Dahil para sa , pagkatapos ay para sa . Samakatuwid, ang pag-andar ay tumataas para sa mga positibong halaga ng x; . Samakatuwid, sa . Dahil ang function ay pantay, nangangailangan ito ng mga positibong halaga para sa lahat. Samakatuwid, ang f ay tumataas sa buong linya ng numero. Ayon sa property 1, ang equation ay may hindi hihigit sa isang ugat. Kaya, ay ang tanging ugat ng equation.

Suliranin 1.13. Lutasin ang isang sistema ng mga equation

Ang sistema ay katumbas ng mga sumusunod:

Ito ay sumusunod mula sa unang equation na , mula sa pangalawang - . Ipinapahayag namin mula sa unang equation x sa mga tuntunin ng y: , . Pagkatapos . paglalagay , nakukuha namin o . Ang derivative ng function na f, kung saan , ay katumbas ng . ito ay negatibo para sa lahat ng mga halaga ng t. Kaya, ang function f ay bumababa. Samakatuwid, ang equation ay may hindi hihigit sa isang ugat. Pansinin kung ano ang ugat nito. Kaya, ang tanging solusyon ng system.

Suliranin 1.14. Patunayan na ang equation ay may natatanging ugat na nasa pagitan.

Ang equation ay binabawasan ng mga katumbas na pagbabago sa anyo , kung saan . Ang function na f ay tumataas dahil kasama ang lahat. Ayon sa property 1, ang equation ay may hindi hihigit sa isang solusyon. Ang function f ay tuloy-tuloy, bukod pa rito, , . Dahil sa property 2, ang equation sa pagitan ay may ugat.

Sa Problema 3, kinakailangang patunayan na ang ugat ng equation ay kabilang sa ilang pagitan. Gumamit kami ng property 2 ng isang function na tuloy-tuloy sa isang segment na kumukuha ng mga value ng iba't ibang sign sa mga dulo ng segment na ito. Ang landas na ito ay hindi palaging humahantong sa layunin kapag nilutas ang mga naturang problema. Minsan ito ay kapaki-pakinabang na gamitin ang sumusunod na katangian ng mga naiba-iba na pag-andar.

Property 3 (Rolle's theorem). Kung ang function na f ay tuloy-tuloy sa interval , naiba-iba sa interval (a,b) at f(a)=f(b), kung gayon mayroong isang puntong tulad na .

Sa geometric na wika, ang property 3 ay nangangahulugang ang sumusunod: kung , pagkatapos ay sa graph ng curve mayroong isang punto C na may mga coordinate , kung saan ang tangent sa graph ay parallel sa x axis.

Suliranin 1.15. Patunayan na ang equation para sa , ay may hindi hihigit sa isang tunay na ugat.

Ipagpalagay natin na ang equation ay may hindi bababa sa dalawang ugat at . Ang function na f, kung saan ay differentiable sa buong tunay na linya. kasi , at ayon sa property 3, ang derivative nito sa interval ay may ugat. Gayunpaman, para sa , ang equation ay walang mga solusyon. Ang nakuhang kontradiksyon ay nagpapakita na ang equation ay hindi maaaring magkaroon ng higit sa isang ugat.

Suliranin 1.16. Patunayan na ang polynomial , ,

May pinakamaraming n ugat.

Ayon sa property 3, sa pagitan ng dalawang ugat ng isang polynomial ay namamalagi ang hindi bababa sa isang ugat ng derivative nito. Samakatuwid, kung ang polynomial f(x) ay may , natatanging mga ugat, kung gayon ang derivative nito ay dapat na may hindi bababa sa (k-1) na mga ugat. Sa parehong paraan - hindi bababa sa k-2 na mga ugat, atbp., ang n-th derivative - hindi bababa sa (k-n) na mga ugat, . Ito ay imposible dahil ito ay isang non-zero constant.

Suliranin 1.17. Patunayan na ang polynomial ay may ugat sa pagitan ng 0 at 1 ().

Ang paglalapat ng property 2 sa target ay hindi nagreresulta, dahil . Isaalang-alang ang function g, kung saan . Para dito, ang function f ay isang derivative. Since , then, ayon sa property 3, para sa ilan .

Problema 1.18. Patunayan na ang equation walang tunay na ugat.

Hayaan , pagkatapos . Kung x ang ugat ng equation, kung gayon , i.e. ang function f, dahil sa pagpapatuloy nito, ay bumababa sa kapitbahayan ng bawat ugat. Tandaan na kung ang equation ay may mga ugat, kung gayon ang mga ito ay negatibo. Ito ay kilala na ang isang nth degree polynomial ay hindi hihigit sa n mga ugat. Tukuyin ng - ang pinakamalaki sa mga ugat. Pagkatapos ay mayroong ganoong . Dahil , kung gayon ang pagitan ay dapat maglaman ng root x ng polynomial f(x). nagkaroon ng kontradiksyon.

Isaalang-alang ang isang equation ng form , kung saan ang f, g ay magkabaligtaran, ang pagtaas ng mga function na may parehong mga domain ng kahulugan. Ipakita natin na ang equation na ito ay katumbas ng equation. (3)

Sa katunayan, hayaan ang isang maging ugat ng equation (3), i.e. . Dahil ang domain ng function g ay tumutugma sa hanay ng mga halaga ng function f at vice versa, maaari tayong sumulat: , o , ibig sabihin. , at ang ugat ng equation .

Sa kabaligtaran, hayaan , ngunit . Pagkatapos o . unang kaso. Ang parehong ay totoo para sa pangalawang kaso.

Kaya, isang partikular na paraan ng katumbas na pagbabagong-anyo ng mga equation ang nakuha.

Problema 1.19. Lutasin ang equation.

Isulat muli natin ang equation na ito sa anyo . Function ay tuloy-tuloy, tumataas (bilang ang kabuuan ng dalawang pagtaas ng mga function at ), kaya ito ay may kabaligtaran. Hanapin natin ito: , . Kaya ang kabaligtaran ng f ay ang function , coinciding sa kanang bahagi ng equation. Batay sa itaas, ang equation ay katumbas ng equation . Malinaw na iyon ang ugat ng equation. Siguraduhin na ang equation ay walang iba pang mga ugat.

Hayaan . Pagkatapos ay positibo bilang pagkakaiba sa pagitan ng arithmetic mean at geometric mean ng dalawang positibong numero at. Kaya, ang function na h ay tumataas sa buong real axis. Since , then h(x)>0 for and for , i.e. ay ang tanging ugat ng equation.

Seksyon 2. Antiderivative at integral sa mga problema ng elementarya na matematika

2.1. Paglalapat ng integral ng monotone functions sa patunay ng hindi pagkakapantay-pantay

Kung sa , kung gayon ito ay katumbas ng lugar ng isang curvilinear trapezoid na nililimitahan ng graph ng function , isang segment ng x-axis, at mga patayo sa x-axis sa mga punto a at b.

Hayaang maging positibo, tuluy-tuloy at tumataas ng . Hatiin natin ang segment sa n bahagi ayon sa mga puntos.

Ang kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parihaba na binuo sa mga segment tulad ng sa mga base, na may taas , i.e. katumbas ng lugar ng stepped figure na "inscribed" sa isang curvilinear trapezoid. Dahil ang function f ay tumataas, ang lugar na ito ay mas mababa kaysa sa lugar ng curvilinear trapezoid. Mula rito

(2.1)

Katulad nito, isinasaalang-alang ang lugar ng "inilarawan" na stepped figure, nakuha namin

(2.2)

Kung ang function na f ay positibo, tuloy-tuloy, at bumababa sa , kung gayon

Ipakita natin sa pamamagitan ng ilang mga halimbawa kung paano ginagamit ang mga relasyon (2.1)–(2.3) sa pagpapatunay ng hindi pagkakapantay-pantay.

Gawain 2.1. Patunayan na kung , pagkatapos .

Ang expression ay nag-tutugma sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (2.1), kung saan . Ang pag-andar sa pagitan ay tumataas, tuloy-tuloy, positibo. Samakatuwid, ayon sa (1), . Ang function ay antiderivative ng function , dahil

. kaya lang . Ang kaliwang bahagi ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay ay napatunayan. Ang kanang bahagi ay nakuha mula sa kaugnayan (2.2) para sa function sa ilalim ng parehong mga pagpapalagay.

Kapag nilutas ang problema 1, ginamit namin ang katotohanan na ang lugar ng isang curvilinear trapezoid, na napapalibutan ng isang graph ng isang tuluy-tuloy, positibo, pagtaas ng function, isang segment ng x axis at mga tuwid na linya, ay nakapaloob sa pagitan ng mga lugar ng mga parihaba na binuo. sa parehong sa base, na may taas at ayon sa pagkakabanggit.

Ang mga lugar ng mga parihaba ay nagbibigay, sa pangkalahatan, medyo magaspang na pagtatantya para sa lugar ng isang curvilinear trapezoid. Ang mga mas tumpak na pagtatantya ay nakukuha sa pamamagitan ng paghahati sa segment sa isang sapat na malaking bilang ng mga bahagi.

Gawain 2.2. Hayaan . Patunayan iyon sa bawat isa .

Isaalang-alang din ang pag-andar . Ito ay tuluy-tuloy, positibo at bumababa. Gumagamit kami ng hindi pagkakapantay-pantay (2.3), kung saan . (Hinahati ng mga punto ang segment sa mga segment na may parehong haba). Kunin

Mula rito . Bukod sa,

.

Sa solusyon sa itaas, ang expression para ay madaling kinakatawan bilang lugar ng ilang stepped figure. Upang magamit ang paraan ng pagpapatunay ng mga hindi pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang sa problema, madalas na kinakailangan na baguhin muna ang mga ekspresyong nagaganap sa mga hindi pagkakapantay-pantay.

Gawain 2.3. Patunayan na para sa bawat natural n .

Ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay para sa ay maaaring katawanin tulad ng sumusunod:

Isaalang-alang ang isang function sa isang segment. Ang segment na ito ay may tuldok , ay nahahati sa n pantay na bahagi ng haba 1. Ang expression

katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parihaba na binuo sa mga segment tulad ng sa mga base na may taas . Function sa

Positibo, tuloy-tuloy, bumababa. Samakatuwid, maaari nating gamitin ang hindi pagkakapantay-pantay (2.3). Meron kami

Tandaan na para sa , kitang-kita ang hindi pagkakapantay-pantay.

2.2. Monotonicity ng integral

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng integral na para sa isang non-negatibong function f tuloy-tuloy sa isang segment para sa lahat .

Theorem 1. Hayaang ang mga function na f at g ay tuluy-tuloy sa pagitan at para sa lahat . Pagkatapos para sa lahat: . Ang katangiang ito ay tinatawag na monotonicity ng integral.

Gamit ang Theorem 1, pagsasama-sama ng parehong bahagi ng termino ng hindi pagkakapantay-pantay ayon sa termino, makakakuha tayo ng isang buong serye ng mga bagong hindi pagkakapantay-pantay. Halimbawa,

dahil mayroon tayong malinaw na hindi pagkakapantay-pantay. Inilapat namin ang Theorem 1 sa pamamagitan ng pagtatakda . Ang mga function na f, g ay nakakatugon sa mga kondisyon ng theorem sa pagitan . Samakatuwid, para sa isang arbitrary : , i.e. (isa). Ang paglalapat ng parehong paraan sa hindi pagkakapantay-pantay (1), nakukuha natin , o . Mula rito . Patuloy na katulad, mayroon kami ,

atbp.

Sa isinasaalang-alang na halimbawa, ang pagpili ng paunang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahirap. Sa ibang mga kaso, ang unang hakbang na ito sa paglutas ng problema ay hindi masyadong halata. Ang Theorem 1 ay mahalagang nagbibigay ng isang trick para sa pagkuha ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.

Hayaang kailanganin na suriin ang katotohanan ng hindi pagkakapantay-pantay

Kung ang kaugnayan ay totoo, kung gayon, ayon sa Theorem 1, ang hindi pagkakapantay-pantay

, o (2.5).

Kung mananatili ang hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon, idinaragdag ito ng termino sa pamamagitan ng termino na may (2.4), itinatatag namin ang bisa ng hindi pagkakapantay-pantay (2.5).

Gawain 2.4. Patunayan na para sa . (2.6)

Isulat muli natin ang hindi pagkakapantay-pantay (2.6) bilang . Ang kaliwa at kanang bahagi ng huling hindi pagkakapantay-pantay ay mga function ng . Ang pagtukoy , nakukuha natin ang (2.7). Patunayan natin na ang (2.7) ay nasiyahan para sa . Hanapin natin ang mga derivatives ng parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (2.7). Alinsunod dito, mayroon kaming:

. Sa . Talaga, . Ang paglalapat ng Theorem 1 para sa mga function at para sa , nakukuha namin . Simula noon

. Kaya naman, para sa , (2.6) ay sumusunod.

Gawain 2.5. Patunayan na para sa: .

Kinakalkula namin ang mga derivative ng kaliwa at kanang bahagi:

Ito ay malinaw na, dahil , . Dahil at patuloy na mga pag-andar, kung gayon, ayon sa Theorem 1, mayroon tayong hindi pagkakapantay-pantay

, ibig sabihin. , . Gawain 2.5. naresolba.

Ang Theorem 1 ay nagpapahintulot sa amin na itatag ang katotohanan ng hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Ang paninindigan na nakapaloob dito ay maaaring palakasin kung kinakailangan ang mga karagdagang kundisyon.

Theorem 2. Hayaang masiyahan ang mga kondisyon ng Theorem 1 at, bilang karagdagan, para sa ilan, ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak. Pagkatapos para din sa mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay .

Suliranin 2.6. Patunayan na para sa: (2.8).

Una, dapat suriin ng isa ang kaukulang hindi pagkakapantay-pantay para sa mga derivatives ng kaliwa at kanang bahagi, i.e. ano , o . Ang bisa nito para sa ay maitatag sa pamamagitan ng paglalapat ng Theorem 1 sa hindi pagkakapantay-pantay. Dahil, bilang karagdagan, , kung gayon ang lahat ng mga kondisyon ng Theorem 2. Samakatuwid, mayroong isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay , , o , . Pagkatapos ng mga pagbabago, dumarating tayo sa hindi pagkakapantay-pantay (2.8).

2.3. Integrals ng convex functions

Kapag nilulutas ang maraming problema, ipinapayong ilapat ang sumusunod na diskarte.

Hatiin natin ang segment kung saan ibinibigay ang tuluy-tuloy na function f. sa n bahagi na may mga tuldok. Bumuo tayo ng mga hugis-parihaba na trapezoid, ang mga base nito ay ang mga segment na xkyk, xk+1yk+1, at ang mga taas ay xkxk+1, k=0,1,…,n-1. Ang kabuuan ng mga lugar ng mga trapezoid na ito para sa sapat na laki n ay malapit sa lugar ng isang curvilinear trapezoid. Upang mailapat ang katotohanang ito sa patunay ng mga hindi pagkakapantay-pantay, dapat matugunan ng function f ang ilang karagdagang mga kinakailangan.

Laki: px

Simulan ang impression mula sa pahina:

transcript

1 1 Ang paggamit ng derivative para sa paglutas ng mga equation, pagpapatunay at paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay Materyal para sa mga opsyonal na klase Piryutko ON - Associate Professor ng Department of Mathematics and Methods of Teaching Mathematics ng BSPU, Kovgorenya LV - Master student ng Department of Mathematics and Methods of Teaching Mathematics of the Belarusian State Pedagogical University Ayon sa kaugalian, sa mga aklat-aralin sa paaralan, ang paggamit ng derivative ay tumutukoy sa pisikal at geometric na kahulugan nito, pananaliksik at pag-graph ng mga function, paglutas ng mga problema sa pag-optimize Ang artikulo ay nag-aalok ng mga materyales sa paggamit ng derivative upang malutas ang mga equation , mga hindi pagkakapantay-pantay, patunay ng mga hindi pagkakapantay-pantay na maaaring gamitin sa mga opsyonal na klase ng mga klase, ipinapayong, kasama ng mga umiiral na aklat-aralin, na gumamit ng mga aklat-aralin para sa mga klase na may malalim na pag-aaral ng matematika Paggamit ng hinango upang malutas ang mga equation (aralin 1) Mga layuning pang-edukasyon: upang mga kasanayan sa porma paglutas ng mga equation f(x)=0 sa pamamagitan ng pagsusuri sa function na f(x) gamit ang derivative; upang mabuo ang mga kasanayan sa pagpapatunay ng pagkakaroon ng isang ugat, ang pagiging natatangi ng ugat ng isang naibigay na equation sa tulong ng isang derivative Mga layunin sa pag-unlad: upang bumuo ng kakayahang mag-aplay ng mga pamamaraan ng generalization at concretization kapag nag-aaplay ng mga algorithm para sa paglutas ng mga equation; upang ituro ang paggamit ng pagkakatulad, paghahambing, paghahambing, pag-uuri, kapag pumipili ng isa o ibang paraan para sa paglutas ng mga equation Mga layuning pang-edukasyon: upang linangin ang katumpakan, kalinawan at pagkakapare-pareho sa paglutas ng mga problema; upang mabuo ang kakayahang magplano ng sariling aktibidad na pang-edukasyon at nagbibigay-malay Pag-uulit ng mga pangunahing probisyon ng teoretikal Pagtukoy sa pagtaas (pagbaba) ng isang function sa isang naibigay na agwat Ang function ay tumataas (bumababa) sa isang naibigay na agwat, kung para sa

2 2 anumang puntos at mula sa pagitan na nakakatugon sa kundisyon ay totoo ang hindi pagkakapantay-pantay Ibig sabihin, Ang Pagtaas o Pagbaba ng mga Function sa I ay tinatawag na monotonic sa I Sapat na criterion para sa pagtaas ng function Kung > 0 sa bawat punto ng interval I, kung gayon ang function ay tumaas ng I Sapat na pamantayan para sa pagbaba ng function Kung< 0 в каждой точке интервала I, то функция убывает на I Или кратко: Теорема1 (первая теорема Больцано-Коши) Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков, тогда на интервале существует хотя бы одно значение такое, что Теорема II Если функция непрерывна на промежутке I, а ее производная неотрицательна(соответственно неположительна) внутри I и равна нулю лишь в конечном множестве точек, то функция возрастает (соответственно убывает) на I Перейдем к решению задач Решить уравнение это значит найти все корни уравнения или доказать, что уравнение корней не имеет Одним из методов решения уравнений является определение корня, тн «подбором» Этот метод используется в случаях, когда вычислением находится один или несколько корней уравнения, но решить уравнение с помощью тождественных преобразований не

3 3 ay tila posible o humahantong sa masalimuot na mga pagbabagong-anyo Kung posible na patunayan na ang equation ay walang iba pang mga ugat kaysa sa mga natagpuan, kung gayon ang problema ay malulutas. , pag-aaral ng "maginhawa" na mga halaga para sa pagkalkula ng ugat ng variable na x, na ang ugat ng equation na ito Patunayan natin na ang ugat na ito ay natatangi, gamit ang monotonicity properties ng function 1 Isulat natin ang equation na ito sa anyong: 2 Let; 3; 4, sa buong domain ng kahulugan 5 Dahil ang function ay tumaas ng, ang equation ay may hindi hihigit sa isang ugat Samakatuwid, ang napiling ugat ay ang tanging ugat ng equation na ito Sagot: Bumubuo kami ng mga algorithm para sa paglutas ng mga problema ng ganitong uri ng Algorithm (I) para sa paglutas ng mga equation gamit ang isang derivative: »upang kalkulahin ang halaga ng isang variable, ang ugat ng equation 2Dalhin ang equation sa form; 3Hanapin ang domain ng function 4Imbistigahan ang function para sa monotonicity sa o mga pagitan na kabilang sa; 5Kung ang function ay tumaas (bumababa) sa interval na isinasaalang-alang, pagkatapos ay gumawa ng isang konklusyon tungkol sa pagiging natatangi ng natagpuang ugat ng equation sa interval na ito Algorithm (II) para sa pagtukoy ng bilang ng mga ugat ng equation: 1 Dalhin ang equation sa anyo; 2 Hanapin ang saklaw ng function;

4 4 3 Siyasatin ang function para sa monotonicity sa o mga agwat na kabilang sa 4 Kung maaari, suriin ang mga palatandaan ng mga halaga ng function sa mga dulo ng segment mula sa D(f); 5 Tapusin: o kung sa loob ng pagitan (), pagkatapos ay mayroong hindi hihigit sa isang halaga tulad na; o kung sa pagitan (at pagkatapos ay mayroong isang natatanging halaga na Lutasin ang mga sumusunod na equation gamit ang algorithmi 2 Solve equation 1 Tukuyin na ang ugat ng equation na ito ay 2 Ang equation na ito ay mababawasan sa anyo: 3 ; =0 4 on ang buong domain ng kahulugan (Tandaan na) 5 Dahil ang function ay tumaas ng, kung gayon ang natagpuang ugat ng equation ay ang tanging sagot: 3 Lutasin ang equation 1 Natukoy namin na ang ugat ng equation na ito ay 2 Ang equation na ito ay mababawasan sa anyo : =0 ; ; 3

5 5 Tandaan na ang pag-andar ay pantay, kaya ito rin ang ugat ng equation na ito.Samakatuwid, ito ay sapat na upang patunayan na ang function ay monotoniko sa kalahating pagitan; 4 sa; 5 Dahil ang function ay bumababa sa kalahating pagitan, ang equation, dahil sa kapantay ng function, ay walang ibang ugat maliban sa, Sagot: 4 Lutasin ang equation 1 Tandaan na ang mga ugat ng equation na ito ay ang mga halaga 2 Ito ang equation ay mababawasan sa anyo: 3; Dahil ang function ay kahit na, ito ay sapat na upang patunayan na ito ay monotonic sa kalahating pagitan; 4 sa kalahating pagitan; 5 Dahil ang function ay tumaas sa kalahating pagitan, kung gayon ang equation, dahil sa parity, ay walang ibang ugat maliban sa Sagot: 5 Patunayan na ang equation ay may iisang ugat. Ilapat natin ang algorithm II para sa patunay ; Pansinin, na,

6 6 3, 4Dahil ang derivative ay naglalaho sa isang punto, sa 5, kung gayon para sa x mayroon tayong mga pagtaas Samakatuwid, ang equation ay may isang ugat, makikita mo na ang ugat na ito ay 6 Solve Equation 1 ang ugat nito. equation; 2; 3 D 4 Sa 5 Dahil ang function ay tumaas sa kalahating pagitan, ang equation ay walang ibang mga ugat maliban sa x=1 Sagot: 7 Solve equation 1 Natukoy namin na ang ugat ng equation na ito ay 2 ; 3D; 4 Ang function ay pantay*, samakatuwid isa rin itong ugat Tandaan na ang x=0 ay hindi ugat ng equation na ito Ipakita natin na ang function ay monotonic sa pagitan sa pagitan , walang iba

7 7 *Proof of parity: 1) relative to zero 2) Ang domain ng function ay simetriko 8 Solve the equation Makikita na ang ugat ng equation na ito ay 1 Let; 2 Ang pag-andar ay pantay-pantay at panaka-nakang may pangunahing panahon Samakatuwid, ang mga solusyon ng equation ay magiging, Ipapakita namin na ang equation ay walang iba pang mga ugat Kaya, sapat na upang matiyak na ang pag-andar ay monotoniko, halimbawa, sa ang agwat 3 bilang, pagkatapos Kaya ang pagpapaandar ay tumataas sa tinukoy na agwat 4 Kaya ito ay sumusunod, na ang mga ugat ng equation ay magiging lamang, Sagot:, 9 Lutasin ang equation Natutukoy namin na ang ugat ng equation na ito ay ang halaga ng ang variable 1 Hayaan; 2 Tandaan na ang pag-andar ay pantay at panaka-nakang may pangunahing panahon. Samakatuwid, ang mga solusyon ng equation ay magiging, Ipakita natin na ang equation ay walang ibang mga ugat.

8 8 Ito ay sapat na upang matiyak na ang pag-andar sa pagitan 3 ay monotoniko sa tinukoy na agwat, ang pag-andar ay tumataas 4 Ito ay sumusunod na ang mga ugat ng equation ay magiging, Sagot:, Dapat tandaan na ang mga iminungkahing gawain ay maaaring malutas nang hindi gumagamit ng derivative. Maipapayo na isaalang-alang at talakayin sa mga mag-aaral ang iba pang mga pamamaraan ng kanilang mga solusyon Magbigay tayo ng maikling solusyon ng ilang equation gamit ang iba pang mga approach , tumataas, tumataas Samakatuwid, ang halaga ng huli, katumbas ng 24, ay kinukuha nang higit sa isang halaga ng argumento Kaya, ang napiling halaga x=4 ay ang tanging solusyon sa equation na ito ang ugat ng equation na ito ay 3 Gawin natin ang kapalit:, pagkatapos ay ang solusyon ng equation ay nabawasan sa solusyon ng system (t + k \u003d 4, k 4 + t 4 =82 Dalhin natin ang pangalawang equation sa anyo: Mula sa equation na ito makikita natin ang tk=3 o tk=29 Solving systems (t+k=4, kt=3; (t+k=4, kt=29, nakukuha natin ang t=1, k=3 o t=3, k=1 Pagpapalit sa (1), nakukuha natin ang x=

9 9 4 Napapansin na sa bawat ugat x 0 ang numero - x 0 din ang ugat ng equation, lutasin natin ito para sa x>0 Binuksan ang mga bracket at isinasali ang kaliwang bahagi ng equation sa mga salik, nakukuha natin: samakatuwid, ito ang equation ay nasa pagitan Isaalang-alang ang mga sumusunod na gawain: 1Patunayan na para sa Patunay Isaalang-alang ang function sa pagitan; Suriin natin ito para sa monotonicity kung saan sumusunod na ang function ay bumababa para sa at

11 11 Tukuyin sa pamamagitan ng kaliwang hangganan ng segment: Pagkatapos, dahil sa pagpapababa ng function sa segment, sa pamamagitan ng kahulugan ng bumababa na function para sa lahat ng x mula sa segment na ito, makakakuha tayo ng o 2 pagsisiyasat ng function para sa monotonicity para sa x: ; hanapin ang derivative ng function; Ipinapakita ng Halimbawa 1 na, samakatuwid, kapag ang function ay tuloy-tuloy at ang derivative ng function ay katumbas ng zero sa isang punto ng segment na ito, samakatuwid, ang function ay tumataas sa segment na isinasaalang-alang. Tukuyin sa pamamagitan ng kaliwang hangganan ng segment: , na ang hindi pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan para sa Patunay 1 Hayaan 2; 3, sa Kaya ang pinakamababang punto, ay din ang punto ng pinakamaliit na halaga ng function sa 4 Hanapin ang halaga ng function sa punto: 5 Samakatuwid, para sa, iyon ay, Batay sa solusyon ng mga problemang isinasaalang-alang, maaari nating bumuo ng algorithm (iii) para sa pagpapatunay ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang derivative: 1 Dalhin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo ;

12 12 2 Hanapin ang saklaw ng function; 3 Siyasatin ang function para sa monotonicity at extrema sa o ang pagitan na kabilang sa 4 Kumakatawan sa 0 (sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay) bilang (); 5 Mula sa hindi pagkakapantay-pantay upang tapusin: kung ang pag-andar ay tumaas, kung gayon; kung ang pag-andar ay bumababa, kung gayon; Ayon sa algorithm na ito, gagawin namin ang mga sumusunod na gawain: 4 Patunayan ang hindi pagkakapantay-pantay para sa Proof 1 Let; 2 3, ; 4 Let 5 and by the definition of increase function we have, those Proved 5 Patunayan na for Proof 1 Let; 2 3 kapag mayroon tayo; 4 Hayaan 5, magkakaroon tayo ng Napatunayan, 6 Tukuyin ang lahat ng halaga kung saan 1 Hayaan; 2

13 13 3, 4 Sa, sa Samakatuwid, ang pinakamataas na punto ng function; Dahil f(1)=0, kung gayon f(x)< 0 при всех Ответ: неравенство выполняется при 7 Решить неравенство: Для решения этого неравенства важно сравнить основание логарифма (x-lnx)c единицей В задаче 6 занятия 2 показано, что x-lnx 1, поэтому для x>0, x 1(1) ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay. x, Para sa mga halagang ito ng variable, ang hindi pagkakapantay-pantay 1 ay katumbas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay: ng sistemang ito x (isinasaalang-alang ang domain ng kahulugan, nakuha namin ang sagot: ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay na ito x Sagot: x

14 14 8 Totoo ba ang hindi pagkakapantay-pantay? 1 Isulat muli natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa anyo:, 2 Isaalang-alang ang function f(x) = x + cox Pagsisiyasat dito para sa monotonicity (, makuha natin na ang function ay tumataas para sa x 3 Let, then The inequality turned out to be true 8 Is the totoo ang hindi pagkakapantay-pantay? 1 Magsagawa ng ilang pagbabago, 2 Hayaan , 3 dahil ipinapayong isaalang-alang ang function sa pagitan 4, Kapag mayroon tayo, kapag mayroon tayo, ibig sabihin, ang punto ay ang pinakamataas na punto, at dahil ang puntong ito ay ang tanging extremum point sa interval, ito rin ang punto kung saan ang function ay tumatagal ng pinakamalaking halaga 5: para sa 6Kaya, ang mga Samakatuwid, ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo Batay sa mga pagsasanay na isinasaalang-alang, bumubuo kami ng isang algorithm (iv) para sa pagpapatunay ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero gamit ang derivative ano?patunay

15 15 Baguhin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo:, 1 Isaalang-alang ang function 2 Let Since, pagkatapos ay isaalang-alang ang function sa interval 3, 4, Sa ibinigay na interval Gamitin ang kahulugan ng pagtaas ng function sa ibinigay na interval: Katulad ng ang nauna, makukuha natin:, I-multiply ang mga resultang hindi pagkakapantay-pantay: Napatunayan 10Patunayan na: a ) > ; b)? a) 1 Kunin natin ang logarithm ng hindi pagkakapantay-pantay na ito: Kinakatawan natin ang huling hindi pagkakapantay-pantay sa anyo, kung saan, ; 2Hanapin ang derivative ng function:)Samakatuwid, sa, sa 3Hayaan, Ilapat ang kahulugan ng pagtaas ng function sa ibinigay na pagitan, makuha natin: b) 1Kunin natin ang logarithm ng hindi pagkakapantay-pantay na ito: ;

16 16, 2 Katawanin natin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo, kung saan, 3 Hanapin ang derivative ng function: Samakatuwid, sa, sa 4 Let, Gamitin ang kahulugan ng pagpapababa ng function sa ibinigay na interval:, 11 What is more:? 1 Ipagpalagay na, sa anyo, kung saan, 2Hanapin ang derivative ng function. 1 Ipagpalagay na 2, kung saan, ; Halimbawa 10b) ay nagpapakita na kapag

17 17, samakatuwid, ang function ay bumababa para sa 3 Hayaan, Sa isang ibinigay na pagitan, bumaba, ginagamit namin ang kahulugan ng isang function na bumababa sa isang ibinigay na pagitan:, Ang pagpapalagay ay naging mali Sagot: Ito ay ipinapayong isaalang-alang ang iba pang mga paraan ng pagpapatunay at paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay Halimbawa, upang patunayan ang hindi pagkakapantay-pantay 1, gamitin ang convexity at concavity ng function at ang tangent sa graph ng function sa punto (0;0) Upang patunayan ang hindi pagkakapantay-pantay 2, maaari mong gamitin ang mga graph ng mga function sa ang kaliwa at kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, at ang kanilang mga katangian Upang patunayan ang hindi pagkakapantay-pantay 3, maaari mong gamitin ang pag-aari ng mga katumbas na numero: 12 maaari mong gamitin ang paraan ng paghahambing ng bawat expression sa isang intermediate na numero. Maaari mong ipakita iyon, at Sa katunayan, > , (> Saan sumusunod na Mga Takdang-aralin para sa malayang gawain: 1? 2 Ano ang higit sa 2tg1 èëè tg2? 3 Patunayan na kapag paano kung 5 Ano ang higit pa: 6 Ano ang higit pa:? 7 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay Panitikan 1Vilenkin, N Ya Ivashev MusatovOSIDR "Algebra ng simula ng pagsusuri"10 (malalim na pag-aaral ng matematika) / IYA Vilenkin, - M: Edukasyon 2000 2Kolmogorov, Academy of Sciences, Abramov AM, - at iba pa "Algebra ng simula ng pagsusuri" (textbook para sa mga klase sa sekondaryang paaralan) / Academy of Sciences Kolmogorov M: Enlightenment, Piryutko, ON Pagbuo ng mga pangkalahatang pamamaraan ng cognitive

18 18 aktibidad / Piryutko ON// Narodnaya asveta -9, 2008С 32-40

19 19

Department of Mathematics and Informatics Mathematical Analysis Educational at methodological complex para sa mga mag-aaral ng HPE na nag-aaral gamit ang mga teknolohiya sa distansya Module 4 Mga aplikasyon ng derivative Compiled by: Associate Professor

Department of Mathematics and Informatics Elements of Higher Mathematics Educational and methodological complex para sa mga mag-aaral ng secondary vocational education na nag-aaral gamit ang distance technologies Module Differential calculus Compiled by:

Paksa 39. "Derivatives of functions" Ang function Ang derivative ng isang function sa puntong x 0 ay tinatawag na limit ng ratio ng increment ng function sa increment ng variable, iyon ay, = lim = lim + () Talaan ng mga derivative: Derivative

Function Exploration ng mga function at plotting. Pagsisiyasat para sa monotonicity sa isang pagitan. f sa pagitan b ay hindi bumababa kung f f ; hindi tumataas kung f f ; a ay monotonically mahigpit na tumataas kung f f

Lecture 9. Derivatives at differentials ng mas mataas na mga order, ang kanilang mga katangian. Extremum na mga punto ng pag-andar. Fermat's at Rolle's theorems. Hayaang maging differentiable ang function na y sa ilang pagitan [b]. Sa kasong ito, ang hinango nito

Pag-plot ng mga Function Gamit ang Derivative Ang paraan ng pag-plot ng function graph ayon sa mga puntos ay hindi perpekto. Kahit na ang pagkalkula ng mga ordinate ng isang malaking bilang ng mga puntos ay maaaring hindi magbigay ng tumpak na representasyon ng graph, ngunit,

1 SA Lavrenchenko Lecture 10 Investigation of a function using derivatives 1 Investigation of a function using the first derivative Sa pamamagitan ng interval, ibig sabihin ay finite interval, o isa sa mga sumusunod.

Sample Basic MA Problems at Mga Tanong para sa Semester Sequence Limit Simple Calculate Sequence Limit l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Calculate Sequence Limit

MODULE 7 "Exponential at logarithmic function". Paglalahat ng konsepto ng degree. Ang ugat ng degree at mga katangian nito.. Irrational equation.. Degree na may rational exponent.. Exponential function..

mga exponential equation. Mga paraan ng solusyon. Dubova Maria Igorevna 7 78-57 Ang exponential equation ay isang equation na naglalaman lamang ng variable sa exponent. Isaalang-alang ang ilang uri ng mga exponential equation,

Pagsisiyasat sa Lektura ng isang function at pagbuo ng graph nito Abstract: Ang function ay sinisiyasat para sa monotonicity, extremum, convexity-concavity, para sa pagkakaroon ng asymptotes

Application ng differential calculus sa pag-aaral ng isang function Monotonicity ng isang function Local extremum Convexity Monotonicity ng isang function Def. Ang function na f x ay tumataas sa pagitan (a, b) kung x 1, x 2 a,

Mga Panuntunan sa Derivative at Differentiation Hayaang dagdagan ang function na y = f y f 0 f 0 na tumutugma sa pagtaas ng argumento 0 Depinisyon Kung may limitasyon sa ratio ng pagtaas ng function na y sa tumatawag

MOSCOW STATE TECHNICAL UNIVERSITY OF CIVIL AVIATION V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov

Ministri ng Edukasyon at Agham ng Russian Federation

Pagsisiyasat ng mga function sa tulong ng isang derivative. Ang pagtaas at pagbaba ng mga function. Theorem.) Kung ang isang function f) ay may derivative sa isang interval at tumataas sa interval na ito, kung gayon ang derivative nito sa interval na ito

Ministri ng Edukasyon at Agham ng Russian Federation autonomous na institusyong pang-edukasyon ng mas mataas na propesyonal na edukasyon Pambansa

Ministri ng Edukasyon at Agham ng Russian Federation SARATOV NATIONAL RESEARCH STATE UNIVERSITY

Pagbuo ng mga graph ng mga function 1. Magplano para sa pag-aaral ng isang function kapag nagpaplano ng isang graph 1. Hanapin ang domain ng function. Madalas na kapaki-pakinabang na isaalang-alang ang maramihang mga halaga ng isang function. Galugarin ang mga espesyal na katangian ng isang function:

Lecture 23 CONVEX AND CONCAVE OF THE GRAPH OF THE FUNCTION OF THE INK POINT Ang graph ng function na y \u003d f (x) ay tinatawag na convex sa pagitan (a; b) kung ito ay matatagpuan sa ibaba ng alinman sa mga tangent nito sa pagitan na ito Graph

MGA METODOLOHIKAL NA MGA INSTRUKSYON PARA SA PAGKUKULANG GAWAIN SA KURSO NG HIGHER MATHEMATICS "ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS SERIES DOUBLE INTEGRALS" BAHAGI III SERYE NG TEMA Mga Nilalaman Serye Numerical na serye Convergence at divergence

Iba't ibang paraan sa paglutas ng mga problema C C C5 Pinag-isang Estado na Pagsusuri 9-taon Paghahanda para sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri (materyal para sa isang panayam para sa mga guro) Prokofiev AA [email protected] Mga Gawain C Halimbawa (GAMIT C) Lutasin ang sistema ng mga equation y si (si) (7 y)

Praktikal na gawain Kumpletuhin ang pag-aaral ng function at pag-plot ng graph Layunin: upang pagsama-samahin ang mga kasanayan sa pagsasaliksik ng mga function at plotting Kagamitan (mga aparato, materyales, suporta sa didaktiko): metodolohikal

Seksyon Differential calculus ng mga function ng isa at ilang variable Real argument function Real number Ang mga positive integer ay tinatawag na natural na mga numero Idagdag sa natural na mga numero

Praktikal na gawain 6 Paksa: “Buong pag-aaral ng mga tungkulin. Pagbuo ng mga graph ”Ang layunin ng gawain: upang matutunan kung paano galugarin ang mga function ayon sa isang pangkalahatang pamamaraan at bumuo ng mga graph. Bilang resulta ng gawain, ang mag-aaral ay dapat:

Mga kinakailangan para sa antas ng paghahanda ng mga mag-aaral sa algebra at ang simula ng pagsusuri sa matematika sa mga baitang 0. Bilang resulta ng pag-aaral ng matematika sa isang malalim na antas, ang kahalagahan ng agham ng matematika para sa paglutas ng mga problema,

S. shestakov, [email protected], Moscow 9 na klase. Tingnan ang simula sa, / 05 Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay

Kabanata 3. Pagsisiyasat ng mga function sa tulong ng mga derivatives 3.1. Extremums at monotonicity Isaalang-alang ang isang function na y = f () na tinukoy sa ilang interval I R. Sinasabi na mayroon itong lokal na maximum sa punto

PANANALIKSIK NG MGA FUNCTION Sapat na mga kondisyon para sa pagtaas at pagbaba ng isang function: Kung ang derivative ng isang differentiable function ay positibo sa loob ng ilang interval X, ito ay tumataas sa interval na ito Kung

0.5 Logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay. Mga Gamit na Aklat:. Algebra at ang simula ng pagsusuri 0 - na-edit ni A.N. Kolmogorov. Independent and control works on algebra 0- edited by E.P. Ershov

Mga limitasyon at pagpapatuloy. Limitasyon ng isang function Hayaang tukuyin ang function = f) sa ilang kapitbahayan ng point = a. Kasabay nito, sa mismong punto a, ang function ay hindi kinakailangang tinukoy. Kahulugan. Ang bilang b ay tinatawag na limitasyon

~ 1 ~ “Monotonicity criteria para sa isang function” x)

SUBJECT LEARNING OUTCOMES WORKING PROGRAM sa asignaturang Algebra 1Planed na resulta ng mastering sa academic subject MGA KINAKAILANGAN SA ANTAS NG PAGHAHANDA NG MGA MAG-AARAL

VA Shilinets, Associate Professor, Department of Mathematics, Belarusian State Pedagogical University MGA EQUATIONS AND INEQUALITIES WITH ARCHFUNCTIONS Itinuro ang matematika sa proseso ng paglutas ng mga problema, kung saan ang mga problema sa pananaliksik ay gumaganap ng isang espesyal na papel

Modulus at derivative V.V. Silvestrov Kapag nilulutas ang ilang mga problema, kailangan mong hanapin ang derivative ng isang function na naglalaman ng isa o higit pang mga module. Posible rin ang mga ganitong gawain sa pinag-isang pagsusulit ng estado.

Ministry of Education ng Republic of Belarus EDUCATIONAL INSTITUTION "GRODNO STATE UNIVERSITY NAMED AFTER YANKA KUPALA" Yu.Yu. Gnezdovsky, V.N. Gorbuzov, P.F. Pronevich EXPONENTIAL AT LOGARITHMIC

Sergei A Belyaev pahina 1 Minimum sa matematika Bahagi 1 Teoretikal 1 Tama ba ang kahulugan Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang integer ay ang pinakamaliit na bilang na nahahati sa bawat isa sa mga ibinigay na numero

Graph ng derivative ng isang function Mga pagitan ng monotonicity ng isang function Halimbawa 1. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y =f (x) ng derivative ng function na f (x) na tinukoy sa pagitan (1;13). Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas ng function

hanapbuhay. Degree na may di-makatwirang real exponent, ang mga katangian nito. Power function, mga katangian nito, mga graphics .. Alalahanin ang mga katangian ng isang degree na may isang rational exponent. a a a a para sa natural na panahon

I V Yakovlev Mga materyales sa matematika MathUsru Logarithmic equation at inequalities Logarithmic equation at inequalities ay mga equation at inequalities kung saan ang variable ay nasa ilalim ng sign

MODULE “Paglalapat ng continuity at derivative. Application ng derivative sa pag-aaral ng mga function. Paglalapat ng pagpapatuloy.. Paraan ng mga pagitan.. Tangent sa graph. Lagrange na formula. 4. Paglalapat ng derivative

Aralin 7 Mean value theorems. Panuntunan ng L'Hôpital 7. Ang mga teorema ng mean na halaga Ang mga teorema ng halaga ng ibig sabihin ay tatlong teorema: Rolle, Lagrange at Cauchy, na ang bawat isa ay nagsa-generalize ng nauna. Ang mga teorema na ito ay tinatawag din

Praktikal na gawain "Application ng derivative sa pag-aaral ng mga function" Layunin: upang pagsamahin at subukan ang ZUN sa pag-aaral ng mga function gamit ang derivative Kagamitan: stationery, methodological

IV Yakovlev Mga Materyales sa matematika MathUs.ru Symmetry sa mga problema sa mga parameter Ang Symmetry ay isa sa mga pangunahing konsepto ng matematika at pisika. Pamilyar ka sa geometric symmetry ng mga figure at sa pangkalahatan iba't-ibang

Paliwanag na tala Ang programang ito sa trabaho na "Algebra at ang mga Simula ng Pagsusuri" ay binuo batay sa: - Pederal na Batas Blg. 273-FZ ng Disyembre 29, 2012 (tulad ng sinusugan noong Hulyo 13, 2015) "Sa Edukasyon sa Russian Federation" ;

Ministri ng Edukasyon ng Russian Federation Russian State University of Oil and Gas na pinangalanang I.M. Gubkina V.I. Ivanov S.I. Vasin Mga Alituntunin para sa pag-aaral ng paksang PANANALIKSIK NG MGA TUNGKULIN (para sa

Lim.

Munisipal na badyet na institusyong pang-edukasyon pangalawang paaralan 4 sa Baltiysk

Gawaing Pananaliksik Mathematics "Application of extremal properties of a function for solving equation" Completed by: Elena Gudkova, student of grade 11 "G" MBOU secondary school "Anninsky Lyceum" p.g.t. Anna Head:

1. Bumuo at patunayan ang isang teorama sa pagiging natatangi ng limitasyon ng isang convergent sequence. Theorem (sa uniqueness ng limitasyon). Ang isang sequence ay maaaring magkaroon ng hindi hihigit sa isang limitasyon. Patunay. Hayaan

THEMATIC CALENDAR PLANNING Algebra at simula ng mathematical analysis class p/p p/t Paksa ng aralin Bilang ng oras Panimulang pag-uulit 2 Roots, degrees, logarithms 2 2 Trigonometric functions, trigonometric

(mga agwat ng monotonic na pagtaas at pagbaba ng isang function - convexity ng isang function sa interval - inflection point - asymptotes - paglalagay ng isang function graph) Mga agwat ng monotonic na pagtaas at pagbaba ng isang function

Ministri ng Edukasyon ng Russian Federation Russian State University of Oil and Gas na pinangalanang I.M. Gubkina V.I. Ivanov S.I. Mga Alituntunin ng Vasin para sa pag-aaral ng paksang "PANANALIKSIK NG MGA FUNCTION"

I-plot ang function y Ang domain ng function ay ang interval (;0) (0;) Ang function na y ay pantay, dahil y() y(), at () ang graph ng function ay simetriko tungkol sa OY axis 3 Isaalang-alang ang pag-uugali

ANG KONSEPTO NG DERIVATIVE FUNCTION Hayaang magkaroon tayo ng function na tinukoy sa isang set X at hayaang ang isang point X ay isang interior point, ang punto kung saan mayroong isang neighborhood ng X. Kunin ang anumang punto at tukuyin ito sa pamamagitan ng ay tinatawag na

98 MATHEMATICS: ALGEBRA AND THE BEGINNINGS OF ANALYSIS GEOMETRY Mga solusyon ng mga equation batay sa mga katangian ng isang convex function Lipatov SV Kaluga MBOU "Lyceum 9 na pinangalanang KE Tsiolkovsky" 0 "A" class Supervisor:

P0 Derivative Isaalang-alang ang ilang function f () depende sa argumento Hayaang tukuyin ang function na ito sa punto 0 at ilang kapitbahayan nito, tuluy-tuloy sa puntong ito at kapitbahayan nito.

LECTURES ON MATHEMATICAL ANALYSIS FOR MOIAIS STUDENTS 1ST SEMESTER CITIZENSEV E.Yu. Kabanata 1 Pag-aaral ng tungkulin ng isang variable 1.1 Mga palatandaan ng pagtaas at pagbaba. Kahulugan. Tinukoy ang function na f(x).

Guys, sa huling aralin natutunan namin ang isang bagong, espesyal na numero e. Ngayon ay patuloy kaming nagtatrabaho sa numerong ito. Nag-aral kami ng logarithms at alam namin na ang batayan ng logarithm ay maaaring isang set ng mga numero

Pagsisiyasat ng mga function at pagbuo ng mga graph Teoretikal na materyal Mga Nilalaman 1) Domain ng function 2) Mga katangian ng function (kahit, kakaiba, periodicity) 4) Mga punto ng intersection ng function na may mga axes

BBK 22.161 ISANG BAGONG APPROACH SA PARAAN NG IMBESTIGASYON NG MGA TUNGKULIN PARA SA PAGBABA AT PAGTAAS A.D. Novikov Armavir State Pedagogical Institute, Armavir Mga pangunahing salita at parirala: pagtaas

Differential calculus Pangunahing konsepto at formula Depinisyon 1 Ang derivative ng isang function sa isang punto ay tinatawag na limitasyon ng ratio ng increment ng function sa increment ng argument, sa kondisyon na ang increment ng argument

Federal Agency for Education Moscow State University of Geodesy and Cartography (MIIGAiK) METODOLOGICAL INSTRUCTIONS AND TASKS FOR INDEPENDENT WORK sa kursong HIGHER MATHEMATICS

WORKING PROGRAM NG ALGEBRA AT ANG SIMULA NG MATHEMATICAL ANALYSIS GRADE 11 Basic level Ang pagtuturo ng matematika sa batayang paaralan sa taong akademiko 2018/2019 ay tinutukoy ng mga sumusunod na dokumento ng regulasyon: -

Algebraic equation kung saan Definition. Ang algebraic ay isang equation ng anyong 0, P () 0, ilang tunay na numero. 0 0 Sa kasong ito, ang variable ay tinatawag na hindi alam, at ang mga numerong 0 ay tinatawag

Department of Mathematics and Informatics Elements of Higher Mathematics Educational at methodological complex para sa mga mag-aaral ng secondary vocational education na nag-aaral gamit ang distance technologies Module Theory of Limits Compiled by: Associate Professor

Mga Lektura 7-9 Kabanata 7 Pagsisiyasat ng isang Function 7 Pagtaas at Pagbaba ng Function Theorem sa monotonicity ng isang function Kung f (sa interval (a; b, pagkatapos ay sa interval na ito ang function f (tumataas) Kung f (sa interval)

APPLICATION OF THE DERIVATIVE TO THE STUDY OF FUNCTIONS Pag-aaral ng gawi ng isang function sa tulong ng derivatives Intervals of monotonicity. Extremes Depinisyon. Ang mga pagitan kung saan ang function na f (x) ay tumataas (bumababa),

Wwwfmclassru PARAAN NG PAGHAHAMBING NG BILANG Pagsusuri ng mga dami, paggamit ng mga formula na cos0 at si 40

TRABAHO NG KURSO

sa kursong "Matematika"

sa paksang: "Paglalapat ng derivative at integral upang malutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay"

Kirovograd

PANIMULA…………………………………………………………………………….3

SEKSYON 1. ILANG APLIKASYON NG DERIVATIVE……………………..4

1.1. Paglalapat ng derivative sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay………………………………………..4

1.2. Gamit ang mga pangunahing theorems ng differential calculus sa

patunay ng hindi pagkakapantay-pantay………………………………………………………………………….8

1.3. Paglalapat ng derivative sa paglutas ng mga equation………………………………….10

SEKSYON 2. DERIVATIVE AT INTEGRAL SA MGA PROBLEMA NG ELEMENTARYO

MATH................................................. ................... ................................ ........16

2.1. Paglalapat ng integral ng monotone functions sa proof

hindi pagkakapantay-pantay…………………………………………………………………………...16

2.2. Monotonisidad ng integral…………………………………………………………..19

2.3. Integrals ng convex functions…………………………………………………………21

2.4. Ang ilang mga klasikal na hindi pagkakapantay-pantay at ang kanilang aplikasyon………………………………25

LISTAHAN NG GINAMIT NA LITERATURA………………………………..28

PANIMULA

Ang mga elemento ng mathematical analysis ay sumasakop sa isang makabuluhang lugar sa kurso ng paaralan ng matematika. Kabisado ng mga mag-aaral ang mathematical apparatus, na mabisang magagamit sa paglutas ng maraming problema ng matematika, pisika, at teknolohiya. Ginagawang posible ng wika ng derivative at integral na bumalangkas ng maraming batas ng kalikasan nang mahigpit. Sa kurso ng matematika, sa tulong ng kaugalian at integral na calculus, ang mga katangian ng mga pag-andar ay pinag-aralan, ang kanilang mga graph ay itinayo, ang mga problema ay nalutas para sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga, ang mga lugar at dami ng mga geometric na numero ay kinakalkula. Sa madaling salita, ang pagpapakilala ng isang bagong aparatong matematika ay ginagawang posible na isaalang-alang ang isang bilang ng mga problema na hindi malulutas ng mga elementarya na pamamaraan. Gayunpaman, ang mga posibilidad ng mga pamamaraan ng pagsusuri sa matematika ay hindi nauubos ng mga naturang problema.

Maraming tradisyunal na problema sa elementarya (patunay ng hindi pagkakapantay-pantay, pagkakakilanlan, pananaliksik at solusyon ng mga equation, at iba pa) ay epektibong nalutas gamit ang mga konsepto ng derivative at integral. Ang mga aklat-aralin sa paaralan at mga pantulong sa pagtuturo ay hindi gaanong binibigyang pansin ang mga isyung ito. Kasabay nito, ang hindi pamantayang paggamit ng mga elemento ng mathematical analysis ay ginagawang posible upang makakuha ng mas malalim na pag-unawa sa mga pangunahing konsepto ng teoryang pinag-aaralan. Narito ito ay kinakailangan upang pumili ng isang paraan para sa paglutas ng problema, suriin ang mga kondisyon para sa applicability nito, at pag-aralan ang mga resulta na nakuha. Sa esensya, ang isang maliit na pag-aaral sa matematika ay madalas na isinasagawa, kung saan ang lohikal na pag-iisip, ang mga kakayahan sa matematika ay umuunlad, at ang kultura ng matematika ay tumataas.

Para sa maraming problema ng elementarya na matematika, ang parehong "elementarya" at "di-elementarya" na solusyon ay pinapayagan. Ang paggamit ng derivative at integral ay kadalasang nagbibigay ng mas mahusay na solusyon. May pagkakataong suriin ang lakas, kagandahan, pangkalahatan ng bagong kasangkapang pangmatematika.

Ang mga pamamaraan ng pagsusuri sa matematika ay ginagamit hindi lamang upang malutas ang mga gawain, ngunit ito rin ay isang mapagkukunan ng pagkuha ng mga bagong katotohanan ng elementarya na matematika.

SEKSYON 1

ILANG APLIKASYON NG DERIVATIVE

1.1. Application ng derivative sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay

Ang differential calculus ay malawakang ginagamit sa pag-aaral ng mga function. Gamit ang derivative, mahahanap mo ang mga pagitan ng monotonicity ng isang function, ang mga extreme point nito, ang pinakamalaki at pinakamaliit na value.

Kung ang function na f ay may positibong (negatibong) derivative sa bawat punto ng ilang pagitan, ito ay tumataas (bumababa) sa pagitan na ito. Kapag naghahanap ng mga agwat ng monotonicity, dapat isa tandaan na kung ang function ay tumaas (bumababa) sa pagitan (a, b) at tuloy-tuloy sa mga punto a at b, pagkatapos ito ay tumataas (bumababa) sa segment .

Kung punto x 0 ay ang extremum point para sa function f at sa puntong ito mayroong isang hinalaw, kung gayon f / (x 0 )=0. Sa extremum point, maaaring walang derivative ang function. Ang mga panloob na punto ng domain ng kahulugan, kung saan ang derivative ay katumbas ng zero o wala, ay tinatawag na kritikal. Upang matukoy kung ang isang function ay may extremum sa isang partikular na kritikal na punto, ang sumusunod na sapat na pamantayan para sa pagkakaroon ng isang extremum ay ginagamit.

Kung ang function f tuloy-tuloy sa punto x0 at may mga puntos a, b, Ano f / (x0)>0 (f / (x0) sa pagitan (a,x0) at f / (x0) / (x0)>0) sa pagitan (x0,b), tapos point x0 ay ang maximum (minimum) na punto ng function f.

Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga f sa segment ito ay sapat na upang ihambing ang mga halaga f sa mga punto a, b at sa mga kritikal na punto mula sa segment .

Ang mga resultang ito ay naaangkop sa solusyon ng maraming elementarya na problema na may kaugnayan sa mga hindi pagkakapantay-pantay.

Hayaan, halimbawa, kinakailangan upang patunayan na sa ilang pagitan ang hindi pagkakapantay-pantay f(x)g(x). Magpakilala f(x)-g(x) sa pamamagitan ng F(x). Sa tulong ng derivative F / (x) hanapin ang pinakamaliit na halaga F sa pagitan na ito. Kung ito ay hindi negatibo, pagkatapos ay sa lahat ng mga punto ng itinuturing na agwat F(x)0, ibig sabihin.

f(x)g(x).

Gawain 1.1. Patunayan mo yan (e+x) e-x >(e-x) e+x para sa 0

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng mga sumusunod: (e-x)ln(e+x)>(e+x)ln(e-x).

Hayaan f(x)=(e-x)ln(e+x)-(e+x)ln(e-x),

pagkatapos f / (x)=-ln(e+x)+(e-x)/(e+x)-ln(e-x)+(e+x)/(e-x).

kasi (e-x)/(e+x)+(e+x)/(e-x)=2(e 2 +x 2 )/(e 2 -x 2 )>2,

ln(e+x)+ln(e-x)=ln(e 2 -x 2 ) 2 =2,

pagkatapos f / (x)>0 sa 0 . Samakatuwid, ang pag-andar f tumataas sa pagitan (0, e). Function f(0) - tuloy-tuloy. Samakatuwid, ang puntong ito ay maaaring isama sa pagitan ng pagtaas. Dahil ang f(0)=0, a f nagdaragdag sa 0x pagkatapos f(x)>0 sa 0 Mula dito nakuha namin ang solusyon ng Problema 1.

Gawain 1.2. Patunayan ang hindi pagkakapantay-pantay tg k isang+ctg k a2+k 2 cos 2 2a, 0 – natural.

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring isulat bilang: (ctg k/2 a–tg k/2 a) 2 k 2 cos 2 2a.

Ilagay natin f(a)=ctg n a–tg n a–2n*cos 2a, saan n=k/2.

Dagdag pa, f / (a) = –(n/kasalanan 2 a)ctg n-1 a – (n/cos 2 a) tg n-1 a + 4n*sin 2a = – n((ctg n-1 a+tg n-1 a) + (ctg n+1 a+tg n+1 a) - 4sin 2a) - n(2-2sin 2a) na may 0 .

Dito, tulad ng sa nakaraang problema, ginagamit namin ang katotohanan na ang kabuuan ng mga katumbas na positibong numero ay mas malaki kaysa o katumbas ng 2. Kaya, sa pagitan 0 function f bumababa. Sa punto a=/4 ito ay tuluy-tuloy, kaya (0 ; /4] ay ang pagitan ng pagbaba f. Ang pinakamaliit na halaga ng function sa pagitan na ito ay f(/4)=0. Dahil dito, f(a)0 sa 0 . Para sa tinukoy na agwat, ang hindi pagkakapantay-pantay ay napatunayan. Kung ang /40 – a Gayunpaman, ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago kung kailan a sa /2 – a. Nalutas ang problema 2.

Gawain 1.3. Alin ang mas malaki e o e ?

Upang malutas ang problema, pinag-aaralan namin ang tanong ng pagkakaroon ng mga solusyon sa equation na may dalawang hindi alam: a b =b a , a>0, b>0. Ibinubukod namin ang maliit na kaso a=b at para sa katiyakan ay ipapalagay natin iyon a . Dahil sa symmetry ng entry a at b sa equation, hindi nililimitahan ng huling pangungusap ang pangkalahatan ng pangangatwiran. Ito ay malinaw na ang equation a b =b a ay katumbas ng equation b*(ln a)=a*(ln b), o

(ln a)/a = (ln b)/b.

Hayaan f(x)=(log x)/x(isa). Ang pagkakaroon ng mga solusyon sa equation (1) ay katumbas ng pagkakaroon ng mga halaga x 1 at x 2 (x 1 2 ) ganyan f(x 1 )=f(x 2 ). Sa kasong ito, isang mag-asawa (x 1 ,x 2 ) ay isang solusyon sa equation (1). Sa madaling salita, kailangan nating malaman kung may linya y=c, intersecting function graph f hindi bababa sa dalawang magkaibang lokasyon. Upang gawin ito, pinag-aaralan namin ang pag-andar f. Ang hinango nito f / (x)=(1–ln x)/x 2 sa domain ng kahulugan f ay may isang kritikal na punto x=e. Sa 0 / (x)>0 function f tumataas, at x>e f / (x)0 function f bumababa. Samakatuwid, sa punto x=e f tinatanggap ang kanyang pinakamataas na halaga (1 /e). Dahil ang function (lnx)/x ay tuloy-tuloy at tumataas sa pagitan (0,e], pagkatapos ito sa pagitan na ito ay tumatagal ng lahat ng mga halaga mula sa - hanggang 1/e. Katulad nito, sa pagitan . Mula sa mga resulta ng pag-aaral ng function f sumusunod ang mga sumusunod na pahayag:

3. Kung b>a>e, pagkatapos a b >b a .

Kaya, kung (a,b) ay isang solusyon sa equation a b =b a, pagkatapos 1, b>e. Bukod dito, para sa bawat nakapirming halaga 1may isang halaga lamang b>e ganyan a b =b a

Upang masagot ang tanong ng Problema 3, sapat na itong ilagay a=e, b= at gumamit ng assertion (1). Kaya , e> e. Nalutas ang problema 3.

Gawain 1.4. Dalawang turista ang pumunta sa parehong ruta. Sa unang araw ay tinakpan nila ang parehong distansya. Sa bawat isa sa mga sumusunod na araw, ang unang turista ay tumaas ang distansya na nilakbay, kumpara sa mga nauna, sa parehong distansya, at ang pangalawa - sa parehong bilang ng beses. Napag-alaman na sa n-th day (n>2) ng biyahe, ang mga turista ay muling sumakay sa parehong distansya. Patunayan na sa n araw ang unang turista ay naglakbay nang mas malayo kaysa sa pangalawa.

Ang distansyang nilakbay ng unang turista sa n araw ay ang kabuuan ng unang n termino ng pag-unlad ng aritmetika, at ang pangalawa ay ang kabuuan ng unang n termino ng geometric na pag-unlad. Tinutukoy namin ang mga distansyang ito ayon sa pagkakabanggit S n at S n / . Kung ang a ay ang unang miyembro ng pag-unlad, d ay ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression, q ay ang denominator ng isang geometric na pag-unlad, kung gayon

Pagtutumbas ika-1 miyembro pag-unlad, nakita namin

Pagkatapos , kung saan q>1 (ayon sa kondisyon ng problema). Ang problema 4 ay malulutas kung ipapakita natin iyon , saan n>2, q>1 (2)

Para sa n=3 mayroon tayo , na katumbas ng halatang hindi pagkakapantay - pantay . Ipagpalagay na ang hindi pagkakapantay-pantay (2) ay wasto para sa n=k, patunayan namin ito para sa n=k+1. Meron kami

Upang makumpleto ang patunay, sapat na upang i-verify na ang expression para sa k>2. Dito ipinapayong bumaling sa derivative.

Hayaang maging positibo ang derivative sa x>1. kaya lang f sa x>1 nadadagdagan. kasi f(1)=0 at pag-andar f tuloy-tuloy sa punto x=1, pagkatapos f(x)>0 sa x>1, ibig sabihin. f(q)>0. Kaya, S n >S n / . Nalutas ang problema 4.

1.2. Gamit ang mga pangunahing theorems ng differential calculus

kapag nagpapatunay ng hindi pagkakapantay-pantay

TEOREM 1 (Roll).Hayaan ang function na f:R na matugunan ang mga kondisyon:

1) fC; 2) x(a,b) ay umiiral f / (x); 3) f(a)=f(b). Pagkatapos C(a,b): f / (C)=0.

Ang geometric na kahulugan ng teorem ni Rolle: sa ilalim ng mga kondisyon 1)-3) ng teorama, sa pagitan (a,b) mayroong isang punto C kung saan ang padaplis sa graph ng function ay kahanay sa x-axis. Sa pagsasagawa, ang sumusunod na pahayag ng teorema ni Rolle ay mas madalas na ginagamit: sa pagitan ng alinmang dalawang zero ng isang naiba-iba na function, mayroong hindi bababa sa isang zero ng derivative.

TEOREM 2(Lagrange tungkol sa average na halaga, o tungkol sa huling pagtaas) . Ipagpalagay natin na ang function na f:R ay nakakatugon sa mga kondisyon:

1) fC; 2) Umiiral ang x(a,b) f / (x). Pagkatapos C(a,b): f(b)-f(a)=f / (C)(b-a).

Ang ratio (f(b)-f(a))/(b-a) ay ang padaplis ng anggulo ng pagkahilig sa x-axis ng secant na dumadaan sa mga puntos (a, f(a)), (b, f(b)). Ang geometric na kahulugan ng theorem ni Lagrange: sa ilalim ng mga kondisyon 1)-2) ng theorem, sa pagitan (a,b) mayroong isang punto C kung saan ang tangent sa graph ng function sa punto (C, f( C)) ay parallel sa secant.

Bunga 1. Hayaang ang function na f:R ay may derivative na f / on (a,b) at x(a,b) f / (x)=0. Pagkatapos para sa ilang L R x(a,b) f(x)=L.

Bunga 2. Ang mga function na f:R, g:R ay may mga derivatives f / at g / on (a,b) at x(a,b) f / (x)=g / (x). Pagkatapos para sa ilang numero L R x(a,b): f(x)=g(x)+L.

Bunga 3. Hayaang ang function na f:R ay may derivative na f / on (a,b) at para sa ilang L R x(a,b) f / (x)=L. Pagkatapos para sa ilang M R x(a,b): f(x)=Lx+M.

TEOREM 3 (Cauchy). Hayaang matugunan ng mga function f:R, g:R ang mga sumusunod na kondisyon: 1) f, gC; 2) x(a,b) may mga derivatives f / at g / ; 3) x(a,b) g / (x)0.

Pagkatapos C(a,b): (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f / (C)/g / (C).

Ang theorem ni Lagrange ay isang espesyal na kaso ng theorem ni Cauchy para sa g(x)=x, x.

Gawain 1.5. Patunayan na para sa alinmang x, y R: sin x – sin yx – y; x, y R: cos x – cos yx–y; x, y R: arctan x – arctan yx–y;

x, y

C(0,x): e x – e 0 = e C (x-0)>x, dahil e C >1 para sa C>0. Kung x 1+x.

Suliranin 1.7. Patunayan iyon para sa alinmang x >0: e x >1+x+(x 2 /2).

Upang patunayan ang hindi pagkakapantay-pantay, inilalapat namin ang Cauchy theorem sa mga function

f(u)=e u , g(u)=1+u+(u 2 /2), u. Nakukuha natin ang C(0,x): (e x – e 0)/(1+x+(x 2 /2)–1) = e C /(1+c). Isinasaalang-alang ang napatunayang hindi pagkakapantay-pantay, makikita natin ang (e x -1) / (x+(x 2 /2))>1, kung saan e x >1+x+(x 2 /2).

Suliranin 1.8. Patunayan na para sa 0

Hayaan ang f(x)=(sin x)/x (0 Suliranin 1.9. Patunayan na ang cos x >1–(1/2)x 2 ay para sa x>0.

Ang function na f(x)=cos x –1+(1/2)x 2 ay katumbas ng 0 sa x=0. Ang hinango nito, para sa x>0,

f / (x) = –sin x+x>0 (o sin x1–(1/2)x 2 .

Kaya, katulad din para sa x>0 nakakakuha tayo ng sin x>x–(1/6)x 3 .

Suliranin 1.10. Patunayan na para sa 0

Upang gawin ito, sapat na upang itatag na para sa ipinahiwatig na x ang derivative ng function na tg x–x–(1/3)x 3 ay katumbas ng sec 2 x–1–x 2 , ay positibo, i.e. na tg 2 x – x 2 >0, at ito ay humahantong sa kilalang hindi pagkakapantay-pantay na tg x>x.

Suliranin 1.11. Patunayan na para sa x>0, ang ln x x-1 ay humahawak.

Dahil ang function na f(x)=ln x–x (x>0) ay may derivative f / (x)=(1/x)–1 > 0 (kapag 0 0, ln x x-1.

1.3. Ang paggamit ng derivative sa paglutas ng mga equation

Ipakita natin kung paano, sa tulong ng derivative, malulutas ng isa ang mga problema ng pagkakaroon ng mga ugat ng equation, at sa ilang mga kaso, ang kanilang paghahanap. Tulad ng dati, ang pangunahing papel dito ay gagampanan ng pag-aaral ng function para sa monotonicity, paghahanap ng mga matinding halaga nito. Bilang karagdagan, ang ilang mga katangian ng monotone at tuluy-tuloy na mga pag-andar ay gagamitin.

Ari-arian 1. Kung ang function na f ay tumaas o bumaba sa ilang pagitan, kung gayon ang equation na f(x)=0 ay may hindi hihigit sa isang ugat sa pagitan na ito.

Direktang sumusunod ang assertion na ito mula sa kahulugan ng pagtaas at pagbaba ng mga function. Ang ugat ng equation na f(x)=0 ay katumbas ng abscissa ng punto ng intersection ng graph ng function na y=f(x) sa x-axis.

Ari-arian 2. Kung ang function na f ay tinukoy at tuloy-tuloy sa isang pagitan at kumukuha ng mga halaga ng iba't ibang mga palatandaan sa mga dulo nito, pagkatapos ay sa pagitan ng a at b mayroong isang punto c kung saan ang f(c)=0.

Suliranin 1.12. lutasin ang equation

Pansinin kung ano ang ugat ng equation. Patunayan natin na ang equation na ito ay walang ibang ugat. Suriin natin ang function f, kung saan , para sa monotonicity. Derivative . Itakda natin ang mga pagitan kung saan pinapanatili ng function ang sign nito. Upang gawin ito, sinusuri namin ito para sa monotonicity. Derivative . Dahil para sa , pagkatapos ay para sa . Samakatuwid, ang pag-andar ay tumataas para sa mga positibong halaga ng x; . Samakatuwid, sa . Dahil ang function ay pantay, nangangailangan ito ng mga positibong halaga para sa lahat. Samakatuwid, ang f ay tumataas sa buong linya ng numero. Ayon sa property 1, ang equation ay may hindi hihigit sa isang ugat. Kaya, ay ang tanging ugat ng equation.

Suliranin 1.13. Lutasin ang isang sistema ng mga equation

Ang sistema ay katumbas ng mga sumusunod:

Ito ay sumusunod mula sa unang equation na , mula sa pangalawang - . Ipinapahayag namin mula sa unang equation x sa mga tuntunin ng y: , . Tapos . paglalagay , nakukuha natin o . Ang derivative ng function na f, kung saan , ay katumbas ng . ito ay negatibo para sa lahat ng mga halaga ng t. Kaya, ang function f ay bumababa. Samakatuwid, ang equation ay may hindi hihigit sa isang ugat. Pansinin kung ano ang ugat nito. Kaya, ang tanging solusyon ng system.

Suliranin 1.14. Patunayan na ang equation ay may natatanging ugat na nasa pagitan.

Ang equation ay binabawasan ng katumbas na pagbabago sa anyo , kung saan . Ang function na f ay tumataas, dahil para sa lahat . Ayon sa property 1, ang equation ay may hindi hihigit sa isang solusyon. Ang function na f ay tuloy-tuloy, bukod dito, , . Dahil sa property 2, ang equation sa pagitan ay may ugat.

Sa Problema 3, kinakailangang patunayan na ang ugat ng equation ay kabilang sa ilang pagitan. Gumamit kami ng property 2 ng isang function na tuloy-tuloy sa isang segment na kumukuha ng mga value ng iba't ibang sign sa mga dulo ng segment na ito. Ang landas na ito ay hindi palaging humahantong sa layunin kapag nilutas ang mga naturang problema. Minsan ito ay kapaki-pakinabang na gamitin ang sumusunod na katangian ng mga naiba-iba na pag-andar.

Ari-arian 3(Roll's theorem). Kung ang function na f ay tuloy-tuloy sa interval , naiba-iba sa interval (a,b) at f(a)=f(b), kung gayon mayroong isang puntong tulad na .

Sa geometric na wika, ang property 3 ay nangangahulugang ang sumusunod: kung , pagkatapos ay sa graph ng curve mayroong isang punto C na may mga coordinate , kung saan ang tangent sa graph ay parallel sa x axis.

Suliranin 1.15. Patunayan na ang equation para sa , ay may hindi hihigit sa isang tunay na ugat.

Ipagpalagay natin na ang equation ay may hindi bababa sa dalawang ugat at . Ang function na f, kung saan ay differentiable sa buong tunay na linya. Dahil , ayon sa property 3, ang derivative nito sa interval ay may ugat. Gayunpaman, para sa , ang equation ay walang mga solusyon. Ang nakuhang kontradiksyon ay nagpapakita na ang equation ay hindi maaaring magkaroon ng higit sa isang ugat.

Suliranin 1.16. Patunayan na ang polynomial , ,

May pinakamaraming n ugat.

Ayon sa property 3, sa pagitan ng dalawang ugat ng isang polynomial ay namamalagi ang hindi bababa sa isang ugat ng derivative nito. Samakatuwid, kung ang polynomial f(x) ay may , natatanging mga ugat, kung gayon ang derivative nito ay dapat na may hindi bababa sa (k-1) na mga ugat. Sa parehong paraan - hindi bababa sa k-2 na mga ugat, atbp., ang n-th derivative - hindi bababa sa (k-n) na mga ugat, . Ito ay imposible dahil ito ay isang non-zero constant.

Suliranin 1.17. Patunayan na ang polynomial ay may ugat sa pagitan ng 0 at 1 ().

Ang paglalapat ng property 2 sa target ay hindi nagreresulta, dahil . Isaalang-alang ang function g, kung saan . Para dito, ang function f ay isang derivative. Dahil , noon, ayon sa property 3, para sa ilang .

Problema 1.18. Patunayan na ang equation ay walang tunay na ugat.

Hayaan , tapos . Kung x ang ugat ng equation, kung gayon , i.e. ang function f, dahil sa pagpapatuloy nito, ay bumababa sa kapitbahayan ng bawat ugat. Tandaan na kung ang equation ay may mga ugat, kung gayon ang mga ito ay negatibo. Ito ay kilala na ang polynomial nth degree may pinakamaraming n ugat. Tukuyin ng - ang pinakamalaki sa mga ugat. Pagkatapos ay mayroong ganoong . Dahil , kung gayon ang pagitan ay dapat maglaman ng root x ng polynomial f(x). nagkaroon ng kontradiksyon.

Isaalang-alang ang isang equation ng form , kung saan ang f, g ay magkabaligtaran, ang pagtaas ng mga function na may parehong mga domain ng kahulugan. Ipakita natin na ang equation na ito ay katumbas ng equation. (3)

Sa katunayan, hayaan a ay ang ugat ng equation (3), i.e. . Given na ang saklaw ng function g tumutugma sa hanay ng mga halaga ng function f vice versa, maaari silang isulat: , o , i.e. , at ang ugat ng equation .

Sa kabaligtaran, hayaan , ngunit . Pagkatapos o . unang kaso. Ang parehong ay totoo para sa pangalawang kaso.

Kaya, isang partikular na paraan ng katumbas na pagbabagong-anyo ng mga equation ang nakuha.

Problema 1.19. Lutasin ang equation.

Isulat muli natin ang equation na ito sa anyo . Ang function ay tuloy-tuloy, tumataas (bilang ang kabuuan ng dalawang pagtaas ng mga function at ), kaya ito ay may kabaligtaran. hanapin natin:,. Kaya, ang kabaligtaran para sa f ay ang function na tumutugma sa kanang bahagi ng equation. Batay sa itaas, ang equation ay katumbas ng equation . Malinaw na iyon ang ugat ng equation. Siguraduhin na ang equation ay walang iba pang mga ugat.

Hayaan . Pagkatapos ito ay positibo bilang ang pagkakaiba sa pagitan ng arithmetic mean at ang geometric mean ng dalawang positibong numero at . Kaya, ang function na h ay tumataas sa buong real axis. Since , then h(x)>0 for and for , i.e. ay ang tanging ugat ng equation.

SEKSYON 2

ANTIDEATIVE AT INTEGRAL SA MGA PROBLEMA NG ELEMENTARY MATHEMATICS

2.1. Paglalapat ng integral ng monotone functions sa patunay ng hindi pagkakapantay-pantay

Kung sa , kung gayon ito ay katumbas ng lugar ng isang curvilinear trapezoid na nililimitahan ng graph ng function , isang segment ng x-axis, at mga patayo sa x-axis sa mga punto a at b.

Hayaang maging positibo, tuluy-tuloy at tumataas ng . Hatiin natin ang segment sa n bahagi ayon sa mga puntos.

Ang kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parihaba na binuo sa mga segment tulad ng sa mga base, na may taas , i.e. katumbas ng lugar ng stepped figure na "inscribed" sa isang curvilinear trapezoid. Dahil ang function f ay tumataas, ang lugar na ito mas kaunting lugar curvilinear trapezoid. Mula rito

(2.1)

Katulad nito, isinasaalang-alang ang lugar ng "inilarawan" na stepped figure, nakuha namin

(2.2)

Kung ang function na f ay positibo, tuloy-tuloy, at bumababa sa , kung gayon

Ipakita natin sa pamamagitan ng ilang mga halimbawa kung paano ginagamit ang mga relasyon (2.1)–(2.3) sa pagpapatunay ng hindi pagkakapantay-pantay.

Gawain 2.1. Patunayan na kung , pagkatapos .

Ang expression ay nag-tutugma sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (2.1), kung saan . Ang pag-andar sa pagitan ay tumataas, tuloy-tuloy, positibo. Samakatuwid, ayon sa (1), . Ang function ay antiderivative ng function , dahil

. kaya lang . Ang kaliwang bahagi ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay ay napatunayan. Ang kanang bahagi ay nakuha mula sa kaugnayan (2.2) para sa function sa ilalim ng parehong mga pagpapalagay.

Kapag nilutas ang problema 1, ginamit namin ang katotohanan na ang lugar ng isang curvilinear trapezoid, na napapalibutan ng isang graph ng isang tuluy-tuloy, positibo, pagtaas ng function, isang segment ng x axis at mga tuwid na linya, ay nakapaloob sa pagitan ng mga lugar ng mga parihaba na binuo. sa parehong sa base, na may taas at ayon sa pagkakabanggit.

Ang mga lugar ng mga parihaba ay nagbibigay, sa pangkalahatan, medyo magaspang na pagtatantya para sa lugar ng isang curvilinear trapezoid. Ang mga mas tumpak na pagtatantya ay nakukuha sa pamamagitan ng paghahati sa segment sa isang sapat na malaking bilang ng mga bahagi.

Gawain 2.2. Hayaan . Patunayan iyon sa bawat isa.

Isaalang-alang natin ang pag-andar. Ito ay tuluy-tuloy, positibo at bumababa. Gumagamit kami ng hindi pagkakapantay-pantay (2.3), kung saan . (Hinahati ng mga punto ang segment sa mga segment na may parehong haba). Kunin

Mula rito. Bukod sa,

Sa solusyon sa itaas, ang expression para ay madaling kinakatawan bilang lugar ng ilang stepped figure. Upang magamit ang paraan ng pagpapatunay ng mga hindi pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang sa problema, madalas na kinakailangan na baguhin muna ang mga ekspresyong nagaganap sa mga hindi pagkakapantay-pantay.

Gawain 2.3. Patunayan na para sa bawat natural n .

Ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay para sa ay maaaring katawanin tulad ng sumusunod:

Isaalang-alang ang isang function sa segment . Ang segment na ito ay hinati ng mga puntos sa n pantay na bahagi ng haba 1. Ang expression

Ito ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parihaba na binuo sa mga segment tulad ng sa mga base na may taas. Function sa

Positibo, tuloy-tuloy, bumababa. Samakatuwid, maaari nating gamitin ang hindi pagkakapantay-pantay (2.3). Meron kami

Tandaan na para sa , kitang-kita ang hindi pagkakapantay-pantay.

2.2. Monotonicity ng integral

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng integral na para sa isang non-negatibong function f tuloy-tuloy sa isang segment para sa lahat .

Teorama 1. Hayaang ang mga function na f at g ay tuloy-tuloy sa pagitan at para sa lahat . Pagkatapos para sa lahat : . Ang katangiang ito ay tinatawag na monotonicity ng integral.

Gamit ang Theorem 1, pagsasama-sama ng parehong bahagi ng termino ng hindi pagkakapantay-pantay ayon sa termino, makakakuha tayo ng isang buong serye ng mga bagong hindi pagkakapantay-pantay. Halimbawa,

dahil mayroon tayong malinaw na hindi pagkakapantay-pantay. Inilapat namin ang Theorem 1 sa pamamagitan ng pagtatakda . Ang mga function na f, g ay nakakatugon sa mga kondisyon ng theorem sa pagitan . Samakatuwid, para sa isang arbitrary : , i.e. (isa). Ang paglalapat ng parehong paraan sa hindi pagkakapantay-pantay (1), nakukuha natin ang , o . Mula rito. Patuloy na katulad, mayroon kami

Sa isinasaalang-alang na halimbawa, ang pagpili ng paunang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahirap. Sa ibang mga kaso, ang unang hakbang na ito sa paglutas ng problema ay hindi masyadong halata. Ang Theorem 1 ay mahalagang nagbibigay ng isang trick para sa pagkuha ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.

Hayaang kailanganin na suriin ang katotohanan ng hindi pagkakapantay-pantay

Kung ang kaugnayan ay totoo, kung gayon, ayon sa Theorem 1, ang hindi pagkakapantay-pantay

O (2.5).

Kung mananatili ang hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon, idinaragdag ito ng termino sa pamamagitan ng termino na may (2.4), itinatatag namin ang bisa ng hindi pagkakapantay-pantay (2.5).

Gawain 2.4. Patunayan na para sa . (2.6)

Isulat muli natin ang hindi pagkakapantay-pantay (2.6) bilang . Ang kaliwa at kanang bahagi ng huling hindi pagkakapantay-pantay ay mga function ng . Ang pagtukoy , nakukuha natin ang (2.7). Patunayan natin na ang (2.7) ay nasiyahan para sa . Hanapin natin ang mga derivatives ng parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (2.7). Alinsunod dito, mayroon kaming:

. Sa . Talaga, . Ang paglalapat ng Theorem 1 para sa mga function at para sa , nakukuha namin . Simula noon

Kaya naman, para sa , (2.6) ay sumusunod.

Gawain 2.5. Patunayan na para sa : .

Kinakalkula namin ang mga derivative ng kaliwa at kanang bahagi:

Malinaw na, dahil , . Dahil at patuloy na mga pag-andar, kung gayon, ayon sa Theorem 1, mayroon tayong hindi pagkakapantay-pantay

Yung. , . Gawain 2.5. naresolba.

Ang Theorem 1 ay nagpapahintulot sa amin na itatag ang katotohanan ng hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Ang paninindigan na nakapaloob dito ay maaaring palakasin kung kinakailangan ang mga karagdagang kundisyon.

Teorama 2. Hayaang masiyahan ang mga kondisyon ng Theorem 1 at, bilang karagdagan, para sa ilan, ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak. Pagkatapos, para sa , ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay mayroon din.

Suliranin 2.6. Patunayan na para sa : (2.8).

Una, dapat suriin ng isa ang kaukulang hindi pagkakapantay-pantay para sa mga derivatives ng kaliwa at kanang bahagi, i.e. ano , o . Ang bisa nito para sa ay maitatag sa pamamagitan ng paglalapat ng Theorem 1 sa hindi pagkakapantay-pantay. Dahil, bilang karagdagan, , kung gayon ang lahat ng mga kondisyon ng Theorem 2. Samakatuwid, ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay , , o , ay nagaganap. Pagkatapos ng mga pagbabago, dumarating tayo sa hindi pagkakapantay-pantay (2.8).

PANIMULA

Ang mga elemento ng mathematical analysis ay sumasakop sa isang makabuluhang lugar sa kurso ng paaralan ng matematika. Kabisado ng mga mag-aaral ang mathematical apparatus, na mabisang magagamit sa paglutas ng maraming problema ng matematika, pisika, at teknolohiya. Ginagawang posible ng wika ng derivative at integral na bumalangkas ng maraming batas ng kalikasan nang mahigpit. Sa kurso ng matematika, gamit ang differential at integral calculus, ang mga katangian ng mga function ay pinag-aralan, ang kanilang mga graph ay itinayo, ang mga problema ay nalutas para sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga, ang mga lugar at volume ay kinakalkula. mga geometric na hugis. Sa madaling salita, ang pagpapakilala ng isang bagong aparatong matematika ay ginagawang posible na isaalang-alang ang isang bilang ng mga problema na hindi malulutas ng mga elementarya na pamamaraan. Gayunpaman, ang mga posibilidad ng mga pamamaraan ng pagsusuri sa matematika ay hindi nauubos ng mga naturang problema.

Maraming tradisyunal na problema sa elementarya (patunay ng hindi pagkakapantay-pantay, pagkakakilanlan, pananaliksik at solusyon ng mga equation, at iba pa) ay epektibong nalutas gamit ang mga konsepto ng derivative at integral. Ang mga aklat-aralin sa paaralan at mga pantulong sa pagtuturo ay hindi gaanong binibigyang pansin ang mga isyung ito. Kasabay nito, ang hindi pamantayang paggamit ng mga elemento ng mathematical analysis ay ginagawang posible upang makakuha ng mas malalim na pag-unawa sa mga pangunahing konsepto ng teoryang pinag-aaralan. Narito ito ay kinakailangan upang pumili ng isang paraan para sa paglutas ng problema, suriin ang mga kondisyon para sa applicability nito, at pag-aralan ang mga resulta na nakuha. Sa esensya, ang isang maliit na pag-aaral sa matematika ay madalas na isinasagawa, kung saan ang lohikal na pag-iisip, ang mga kakayahan sa matematika ay umuunlad, at ang kultura ng matematika ay tumataas.

Para sa maraming problema ng elementarya na matematika, ang parehong "elementarya" at "di-elementarya" na solusyon ay pinapayagan. Ang paggamit ng derivative at integral ay kadalasang nagbibigay ng mas mahusay na solusyon. May pagkakataong suriin ang lakas, kagandahan, pangkalahatan ng bagong kasangkapang pangmatematika.

Ang mga pamamaraan ng pagsusuri sa matematika ay ginagamit hindi lamang upang malutas ang mga gawain, ngunit ito rin ay isang mapagkukunan ng pagkuha ng mga bagong katotohanan ng elementarya na matematika.

SEKSYON 1

ILANG APLIKASYON NG DERIVATIVE

Application ng derivative sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay

Ang differential calculus ay malawakang ginagamit sa pag-aaral ng mga function. Gamit ang derivative, mahahanap mo ang mga pagitan ng monotonicity ng isang function, ang mga extreme point nito, ang pinakamalaki at pinakamaliit na value.

Kung ang isang function ay may positibo (negatibong) derivative sa bawat punto ng isang tiyak na agwat, ito ay tumataas (bumababa) sa pagitan na ito. Kapag naghahanap ng mga agwat ng monotonicity, dapat isaisip na kung ang isang function ay tumaas (bumababa) sa isang agwat at tuluy-tuloy sa mga punto at , pagkatapos ito ay tumataas (bumababa) sa pagitan .

Kung ang punto ay isang extremum point para sa function at mayroong isang derivative sa puntong ito, kung gayon . Sa extremum point, maaaring walang derivative ang function. Ang mga panloob na punto ng domain ng kahulugan, kung saan ang derivative ay katumbas ng zero o wala, ay tinatawag na kritikal. Upang matukoy kung ang isang function ay may extremum sa isang partikular na kritikal na punto, ang sumusunod na sapat na pamantayan para sa pagkakaroon ng isang extremum ay ginagamit.

Kung ang pag-andar ay tuloy-tuloy sa isang punto at may mga puntong ganoon sa pagitan at sa pagitan kung gayon ang punto ay ang maximum (minimum) na punto ng function .

Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga sa segment, sapat na upang ihambing ang mga halaga sa mga punto at sa mga kritikal na punto mula sa segment.

Ang mga resultang ito ay naaangkop sa solusyon ng maraming elementarya na problema na may kaugnayan sa mga hindi pagkakapantay-pantay.

Hayaan, halimbawa, ito ay kinakailangan upang patunayan na ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak sa ilang pagitan. Magpakilala sa pamamagitan ng Sa tulong ng derivative nakita namin ang pinakamaliit na halaga sa ibinigay na pagitan. Kung ito ay hindi negatibo, pagkatapos ay sa lahat ng mga punto ng itinuturing na agwat, i.e. .

Gawain 1.1. Patunayan mo yan para sa

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng mga sumusunod:

kasi ,

pagkatapos para sa Samakatuwid, ang pag-andar ay tumataas sa pagitan Ang pag-andar ay tuloy-tuloy. Samakatuwid, ang puntong ito ay maaaring isama sa pagitan ng pagtaas. Dahil , ang а ay tumataas tulad noon para sa Mula dito nakuha natin ang solusyon ng Problema 1.

Gawain 1.2. Dalawang turista ang pumunta sa parehong ruta. Sa unang araw ay tinakpan nila ang parehong distansya. Sa bawat isa sa mga sumusunod na araw, ang unang turista ay tumaas ang distansya na nilakbay, kumpara sa mga nauna, sa parehong distansya, at ang pangalawa - sa parehong bilang ng beses. Lumalabas na sa araw ng paglalakbay, ang mga turista ay muling sumaklaw sa parehong distansya. Patunayan na sa mga araw ang unang turista ay naglakbay nang mas malayo kaysa sa pangalawa.

Ang distansyang nilakbay ng unang turista sa mga araw ay ang kabuuan ng mga unang miyembro ng arithmetic progression, at ang pangalawa ay ang kabuuan ng mga unang miyembro ng geometric progression. Tukuyin natin ang mga distansyang ito sa pamamagitan ng at , ayon sa pagkakabanggit. Kung ang unang termino ng progression, ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression, ang denominator ng isang geometric progression, kung gayon

Equating ang mga tuntunin ng progressions, nakita namin

Pagkatapos , kung saan (ayon sa kondisyon ng problema). Ang problema 4 ay malulutas kung ipapakita natin iyon saan

Para sa , mayroon tayo ay katumbas ng halatang hindi pagkakapantay-pantay Kung ipagpalagay na ang hindi pagkakapantay-pantay (2) ay may bisa para sa , pinatutunayan namin ito dahil mayroon kaming

Upang makumpleto ang patunay, sapat na upang i-verify na ang expression

Sa . Dito ipinapayong bumaling sa derivative.

Ang derivative ay positibo sa Samakatuwid, kapag tumaas. Dahil ang function ay tuloy-tuloy din sa isang punto, kung gayon para sa i.e. Kaya nalutas ang Problema 2.

"Pagkalkula ng mga derivatives" - Sat. siyentipiko - mga materyales sa pagtuturo, Novosibirsk: NSU, - 2004. Derivative ng isang kumplikadong function. David Gilbert. Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ay tinatawag na differentiation. (u+v)"=u"+v" (uv)"=u"v+uv" (u/v)"=(u"v-uv"):v?. Guro. Makasaysayang background. Mga tulong sa pagtuturo : interactive na board, computer.

"Derived classes" - May mga pamamaraan na minana ng bawat klase mula sa Object class. Ang pangalawang punto ay may ilang mahahalagang implikasyon. Multilevel derived classes. HALIMBAWA. Parang ama, parang anak. Walang muling pagpapatupad ng mga initializer. Mga konstruktor kapag namamana. nagmula na mga klase. Mana. Ang tawag sa super ay dapat ang unang aksyon na ginawa ng constructor.

"Mga gawain sa derivative" - ​​Tukuyin ang mga posibilidad ng paglalapat ng bagong konsepto - derivative. Mga problema na humahantong sa konsepto ng isang derivative. Unti-unting tumataas ang bilis v. Derivative. Isang mathematician ang gagawa matematikal na modelo proseso. Kahulugan ng isang derivative. Inaayos namin ang sandali t kung saan gusto naming malaman ang halaga ng bilis v(t). Ang problema ng isang tangent sa graph ng isang function.

"Paglalapat ng derivative sa pag-aaral ng mga function" - Bumuo ng sketch ng graph ng isang function, alam iyon. Gottfried Wilhelm von Leibniz. Warm up. Dot. Ang derivative ay wala. Application ng derivative sa pag-aaral ng mga function. Ang panuntunan para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function na f(x) sa segment . Mula sa graph ng derivative ng isang function, tukuyin ang mga pagitan ng pagtaas at mga pagitan ng pagbaba ng function.

"Aralin ng derivative ng isang kumplikadong function" - Ang punto ay gumagalaw sa isang tuwid na linya ayon sa batas s (t) \u003d s (t) \u003d (s ay ang landas sa metro, t ay oras sa mga segundo). Hanapin ang slope ng tangent na iginuhit sa graph ng function. Hanapin. Brooke Taylor. Hanapin ang pagkakaiba ng isang function: Hanapin ang mga derivatives ng mga function: Para sa anong mga halaga ng x ang hawak ng pagkakapantay-pantay. Derivative ng isang kumplikadong function.

"Derivative ng isang function" - Maghanap ng mga derivatives ng mga function. Mga gawain. Pagtaas ng function. Pagdaragdag ng argumento. Derivative. Kaugnayan ng pagkakaiba. Mga panuntunan para sa pagkalkula ng mga derivatives. Mga formula para sa pagkalkula ng mga derivatives.