Prezentácia na tému "Najjednoduchšie transformácie grafov funkcií". Najjednoduchšie transformácie prezentácie grafov funkcií na lekciu algebry na tému Najjednoduchšie transformácie prezentácie grafov funkcií

28.12.2021 | pôžička na auto

snímka 2

Keď poznáme typ grafu určitej funkcie, je možné pomocou geometrických transformácií zostrojiť graf zložitejšej funkcie. Zvážte graf funkcie y=x2 a zistite, ako ho môžete zostaviť pomocou posunov pozdĺž súradnicových osí , grafy funkcií tvaru y=(xm)2 a y=x2+n.

snímka 3

Príklad 1. Zostrojme graf funkcie y=(x- 2)2 na základe grafu funkcie y=x2 (kliknutie myšou) Graf funkcie y=x2 je určitá množina bodov na súradnicová rovina, ktorej súradnice menia rovnicu y=x2 na správnu číselnú rovnosť. Označme túto množinu bodov, teda graf funkcie y=x2, písmenom F a graf nám zatiaľ neznámej funkcie y=(x-2)2 označíme. písmeno G. Porovnajme súradnice tých bodov grafov F a G, ktoré majú rovnaké súradnice. Aby sme to urobili, urobme tabuľku: Vzhľadom na tabuľku (ktorú možno neobmedzene rozširovať doprava aj doľava) si všimneme, že tie isté súradnice majú body tvaru (x0; y0) grafu F a ( x0 + 2; y0) grafu G, kde x0, y0 sú niektoré dobre definované čísla. Na základe tohto pozorovania môžeme usúdiť, že graf funkcie y=(x-2)2 možno získať z grafu funkcie y=x2 posunutím všetkých jej bodov doprava o 2 jednotky (kliknutie myšou).

snímka 4

Graf funkcie y=(x- 2)2 teda získame z grafu funkcie y=x2 posunutím doprava o 2 jednotky. Argumentujúc podobne môžeme dokázať, že graf funkcie y=(x + 3)2 možno získať aj z grafu funkcie y=x2, ale posunutím nie doprava, ale doľava o 3 jednotky. Je jasne vidieť, že osi symetrie grafov funkcií y=(x- 2)2 a y=(x - 3)2 sú priamky x = 2 a x = - 3, v tomto poradí. grafy, kliknite myšou

snímka 5

Ak namiesto grafu y=(x- 2)2 alebo y=(x + 3)2 uvažujeme o grafe funkcie y=(x - m)2, kde m je ľubovoľné číslo, potom v zásade nič zmeny v predchádzajúcej úvahe. Z grafu funkcie y \u003d x2 teda môžete získať graf funkcie y \u003d (x - m) 2 posunutím doprava o m jednotiek v smere osi Ox, ak m> 0 , alebo doľava, ak m 0, alebo doľava, ak m

snímka 6

Príklad 2. Zostavme graf funkcie y=x2 + 1 na základe grafu funkcie y=x2 (kliknutie myšou) Porovnajme súradnice bodov týchto grafov, ktoré majú rovnakú os. Aby sme to urobili, vytvoríme tabuľku: Vzhľadom na tabuľku si všimneme, že tie isté úsečky majú body v tvare (x0; y0) pre graf funkcie y=x2 a (x0; y0 + 1) pre graf. funkcie y=x2 + 1. Na základe tohto pozorovania môžeme usúdiť, že graf funkcie y=x2 + 1 možno získať z grafu funkcie y=x2 posunutím všetkých jej bodov nahor (pozdĺž Oy os) o 1 jednotku (kliknutie myšou).

Snímka 7

Ak teda poznáme graf funkcie y=x2, môžeme nakresliť graf funkcie y=x2 + n posunutím prvého grafu nahor o pediku, ak n>0, alebo nadol o | n | jedničky, ak n je 0, alebo dole, ak n

Snímka 8

Z uvedeného vyplýva, že grafom funkcie y=(x - m)2 + n je parabola s vrcholom v bode (m; n). Dá sa získať z paraboly y=x2 pomocou dvoch po sebe nasledujúcich posunov. Príklad 3. Dokážme, že graf funkcie y \u003d x2 + 6x + 8 je parabola a zostavme graf. Riešenie. Predstavme si trojčlenku x2 + 6x + 8 ako (x - m)2 + n. Máme x2 + 6x + 8= x2 + 2x*3 + 32 - 1 = (x + 3)2 - 1. Preto y = (x + 3)2 - 1. Grafom funkcie y \u003d x2 + 6x + 8 je teda parabola s vrcholom v bode (- 3; - 1). Vzhľadom na to, že osou symetrie paraboly je priamka x = - 3, pri zostavovaní tabuľky by sa hodnoty argumentu funkcie mali brať symetricky vzhľadom na priamku x = - 3: Po označení v súradnicová rovina body, ktorých súradnice sú uvedené v tabuľke (kliknite myšou), nakreslite parabolu (kliknutím ).

Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Najjednoduchšie transformácie grafov funkcií

Poznaním tvaru grafu určitej funkcie je možné pomocou geometrických transformácií zostrojiť graf zložitejšej funkcie. Zvážte graf funkcie y=x 2 a zistite, ako môžete pomocou posunov pozdĺž súradnicových osí zostaviť grafy funkcií v tvare y=(x-m) 2 a y=x 2 +n.

Príklad 1. Zostavme graf funkcie y=(x - 2) 2 na základe grafu funkcie y=x 2 (kliknutie myšou) . Graf funkcie y=x 2 je určitá množina bodov súradnicovej roviny, ktorej súradnice menia rovnicu y=x 2 na správnu číselnú rovnosť. Označme túto množinu bodov, teda graf funkcie y=x 2, písmenom F a graf funkcie y=(x - 2) 2, nám zatiaľ neznámej, označíme. písmeno G. Porovnajme súradnice tých bodov grafov F a G, ktoré majú rovnaké súradnice. Na tento účel vytvoríme tabuľku: x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x 2 4 1 0 1 4 9 16 25 36 (x - 2) 2 16 9 4 1 0 1 4 9 16 Vzhľadom na tabuľky (v ktorej možno pokračovať donekonečna a vpravo a vľavo), poznamenávame, že body tvaru (x 0; y 0) grafu F a (x 0 + 2; y 0) grafu G majú rovnaké súradnice, kde x 0, y 0 sú niektoré dobre definované čísla. Na základe tohto pozorovania môžeme usúdiť, že graf funkcie y=(x - 2) 2 možno získať z grafu funkcie y=x 2 posunutím všetkých jej bodov doprava o 2 jednotky (kliknutie myšou) .

Graf funkcie y=(x - 2) 2 teda získame z grafu funkcie y=x 2 posunutím doprava o 2 jednotky. Argumentujúc podobne môžeme dokázať, že graf funkcie y=(x + 3) 2 možno získať aj z grafu funkcie y=x 2, ale posunutím nie doprava, ale doľava o 3 jednotky. . Je jasne vidieť, že osi symetrie grafov funkcií y=(x - 2) 2 a y=(x - 3) 2 sú priamky x = 2 a x = - 3, v tomto poradí. Kliknutím zobrazíte grafy

Ak namiesto grafu y=(x - 2) 2 alebo y=(x + 3) 2 uvažujeme o grafe funkcie y=(x - m) 2, kde m je ľubovoľné číslo, potom sa v zásade nič nemení. predchádzajúce zdôvodnenie. Z grafu funkcie y \u003d x 2 teda môžete získať graf funkcie y \u003d (x - m) 2 posunutím doprava o m jednotiek v smere osi Ox, ak m> 0, alebo doľava, ak m 0, alebo doľava, ak m

Príklad 2. Zostavme graf funkcie y = x 2 + 1 na základe grafu funkcie y=x 2 (kliknutie myšou) . Porovnajme súradnice bodov týchto grafov, ktoré majú rovnaké úsečky. Na tento účel vytvoríme tabuľku: x -3 -2 -1 0 1 2 3 x 2 9 4 1 0 1 4 9 x 2 + 1 10 5 2 1 2 5 10 Pri pohľade na tabuľku si všimneme, že body tvaru (x 0 ; y 0) pre graf funkcie y \u003d x 2 a (x 0; y 0 + 1) pre graf funkcie y \u003d x 2 + 1. Na základe tohto pozorovania môžeme dospieť k záveru, že graf funkcie y \u003d x 2 + 1 možno získať z grafu funkcie y \u003d x 2 posunutím všetkých jej bodov nahor (pozdĺž osi Oy) o 1 jednotku. (kliknutie myšou).

Ak teda poznáme graf funkcie y=x 2 , môžeme nakresliť graf funkcie y=x 2 + n posunutím prvého grafu nahor o n jednotiek, ak n>0, alebo nadol o | n | jedničky, ak n je 0, alebo dole, ak n

Z vyššie uvedeného vyplýva, že graf funkcie y \u003d (x - m) 2 + p je parabola s vrcholom v bode (m; p). Dá sa získať z paraboly y=x 2 pomocou dvoch po sebe nasledujúcich posunov. Príklad 3. Dokážme, že graf funkcie y \u003d x 2 + 6x + 8 je parabola a zostavme graf. Riešenie. Predstavme si trojčlenku x 2 + 6x + 8 v tvare (x - m) 2 + n. Máme x 2 + 6x + 8 \u003d x 2 + 2x * 3 + 3 2 - 1 \u003d (x + 3) 2 - 1. Preto y \u003d (x + 3) 2 – 1. To znamená, že graf funkcie y \u003d x 2 + 6x + 8 je parabola s vrcholom v bode (- 3; - 1). Vzhľadom na to, že osou symetrie paraboly je priamka x = - 3, pri zostavovaní tabuľky by sa hodnoty argumentu funkcie mali brať symetricky vzhľadom na priamku x = - 3: x -6 - 5 -4 -3 -2 -1 0 y 8 3 0 -1 0 3 8 Po vyznačení bodov v súradnicovej rovine bodov, ktorých súradnice sú zadané v tabuľke (kliknutím myšou), nakreslite parabolu (kliknutím).

2) Transformácia symetrie okolo osi y f(x) f(-x) Graf funkcie y=f(-x) získame transformáciou symetrie grafu funkcie y=f(x) okolo os y. Komentujte. Priesečník grafu s osou y zostáva nezmenený. Poznámka 1. Graf párnej funkcie sa pri odraze okolo osi y nemení, pretože pre párnu funkciu f(-x)=f(x). Príklad: (-x)²=x² Poznámka 2. Graf nepárnej funkcie sa mení rovnakým spôsobom, keď sa odráža okolo osi x, aj keď sa odráža okolo osi y, pretože f(-x)=-f( x) pre nepárnu funkciu. Príklad: sin(-x)=-sinx.

3) Rovnobežný posun pozdĺž osi x f(x) f(xa) Graf funkcie y=f(xa) získame rovnobežným prekladom grafu funkcie y=f(x) pozdĺž osi x. od |a| vpravo pre a>0 a vľavo pre a 0 a doľava pre a"> 0 a doľava pre a"> 0 a doľava pre a" title="(!LANG:3) paralelný preklad grafu funkcie y=f(x) pozdĺž osi x o | a| vpravo pre a>0 a vľavo pre a"> title="3) Rovnobežný posun pozdĺž osi x f(x) f(xa) Graf funkcie y=f(xa) získame rovnobežným prekladom grafu funkcie y=f(x) pozdĺž osi x. od |a| vpravo pre a>0 a vľavo pre a"> !}

4) Rovnobežný posun pozdĺž osi y f(x) f(x)+b Graf funkcie y=f(x)+b získame paralelným prekladom grafu funkcie y=f(x) pozdĺž na osi y podľa |b| hore pre b>0 a dole pre b 0 a dole pri b"> 0 a dole pri b"> 0 a dole pri b" title="(!LANG:4) Paralelný preklad pozdĺž osi yf(x) f(x)+b Graf funkcie y= f(x )+b sa získa paralelným prekladom grafu funkcie y=f(x) pozdĺž osi y pomocou |b| hore pre b>0 a dole pre b"> title="4) Rovnobežný posun pozdĺž osi y f(x) f(x)+b Graf funkcie y=f(x)+b získame paralelným prekladom grafu funkcie y=f(x) pozdĺž os y podľa |b| hore pre b>0 a dole pre b"> !}

0 >1 Graf funkcie y=а(x) získame kompresiou grafu funkcie y=f(x) pozdĺž osi x faktorom 1. Komentujte. Body z priesečníka grafu s osou y zostávajú nezmenené. 00 >1 Graf funkcie y=а(x) získame kompresiou grafu funkcie y=f(x) pozdĺž osi x súčiniteľom. Komentujte. Body z priesečníka grafu s osou y zostávajú nezmenené. 0 8 5) Stlačenie a natiahnutie pozdĺž osi x f(x) f(x), kde >0 >1 Graf funkcie y=a(x) získame stlačením grafu funkcie y=f(x) pozdĺž osi x v časoch. Komentujte. Body z priesečníka grafu s osou y zostávajú nezmenené. 0 0 >1 Graf funkcie y=a(x) získame kompresiou grafu funkcie y=f(x) pozdĺž osi x koeficientom. Komentujte. Body z priesečníka grafu s osou y zostávajú nezmenené. 0 0 >1 Graf funkcie y=a(x) získame kompresiou grafu funkcie y=f(x) pozdĺž osi x koeficientom. Komentujte. Body z priesečníka grafu s osou y zostávajú nezmenené. 0 0 >1 Graf funkcie y=a(x) získame kompresiou grafu funkcie y=f(x) pozdĺž osi x koeficientom. Komentujte. Body z priesečníka grafu s osou y zostávajú nezmenené. 00 >1 Graf funkcie y=а(x) získame kompresiou grafu funkcie y=f(x) pozdĺž osi x súčiniteľom. Komentujte. Body z priesečníka grafu s osou y zostávajú nezmenené. 0 title="(!LANG:5) Stlačte a natiahnite pozdĺž osi xf(x) f(x), kde >0 >1 Graf funkcie y=a(x) získame zmenšením grafu funkcie y=f(x) pozdĺž osi x Poznámka: Body z priesečníka grafu s osou y zostávajú nezmenené.

6) Stlačenie a natiahnutie pozdĺž osi y f(x) kf(x), kde k>0 k>1 Graf funkcie y=kf(x) získame natiahnutím grafu funkcie y=f( x) pozdĺž osi y k krát. 0 0 k>1 Graf funkcie y=kf(x) získame pretiahnutím grafu funkcie y=f(x) pozdĺž osi y o k-krát. 0"> 0 k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз. 0"> 0 k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз. 0" title="6) Stlačenie a natiahnutie pozdĺž osi y f(x) kf(x), kde k>0 k>1 Graf funkcie y=kf(x) získame natiahnutím grafu funkcie y=f( x) pozdĺž osi y k krát."> title="6) Stlačenie a natiahnutie pozdĺž osi y f(x) kf(x), kde k>0 k>1 Graf funkcie y=kf(x) získame natiahnutím grafu funkcie y=f( x) pozdĺž osi y k krát."> !}

7) Vykreslenie funkcie y=|f(x)| Časti grafu funkcie y=f(x), ktoré ležia nad osou x a na osi x, zostávajú nezmenené, zatiaľ čo tie, ktoré ležia pod osou x, sú zobrazené symetricky vzhľadom na túto os (smerom nahor). Komentujte. Funkcia y=|f(x)| je nezáporný (jeho graf sa nachádza v hornej polrovine). Príklady:

8) Vykreslenie funkčného grafu y=f(|x|) y (vľavo). Bod grafu ležiaci na osi y zostáva nezmenený. Komentujte. Funkcia y=f(|x|) je párna (jej graf je symetrický podľa osi y). Príklady:

9) Vykreslenie grafu inverznej funkcie Graf funkcie y=g(x), inverznej funkcie y=f(x), získame prevodom symetrie grafu funkcie y=f(x) vzhľadom na priamku y=x. Komentujte. Opísaná konštrukcia sa vykonáva iba pre funkciu, ktorá má inverznú funkciu.

Riešte sústavu rovníc: V jednom súradnicovom systéme zostavíme grafy funkcií: a) Graf tejto funkcie získame vynesením do nového súradnicového systému xoy, kde O(1;0) b) V xoy systém, kde o(4;3) zostavíme graf y=|x|. Riešením sústavy sú súradnice priesečníka grafov a Dvojica čísel: Skontrolujte: (správne) Odpoveď: (2;5)..)5;2(y x

Riešte rovnicu: f(g(x))+g(f(x))=32, ak je to známe a Riešenie: Transformujme funkciu f(x). Odvtedy potom g(f(x))=20. Dosadíme do rovnice f(g(x))+g(f(x))=32, dostaneme f(g(x))+20=32; f(g(x))=12 Nech g(x)=t, potom f(t)=12 alebo pre at alebo Máme: g(x)=0 alebo g(x)=4 Keďže pre x5 g(x )=20, potom sa budú hľadať riešenia rovníc: g(x)=0 a g(x)=4 medzi x

─ formovanie praktických zručností

vykresľovanie základných funkcií;

─ rozvoj vedomého používania algoritmov

funkcie vykresľovania;

─ vytváranie zručností na analýzu úlohy,

postup výstavby, výsledok;

─ rozvoj zručností v čítaní grafov funkcií;

─ vytváranie priaznivého prostredia

pre rozvoj

"úspešná osoba"

študent.

Hlavné ciele voliteľného predmetu:

Relevantnosť používania počítačovej prezentácie na túto tému:

─ viditeľnosť a dostupnosť

teoretický a praktický materiál;

─ opakovaná možnosť vidieť dynamiku

transformácie grafov;

─ schopnosť individuálne si zvoliť tempo a

úroveň procesu asimilácie a upevňovania vzdelanosti

materiál;

─ racionálne využívanie vyučovacieho času;

─ možnosť samoštúdia;

─ udržiavanie pozitívneho

psychologický postoj k učeniu.

Paralelný preklad pozdĺž osi Oy.

Paralelný preklad pozdĺž osi Ox.

Symetrické zobrazenie okolo osi x.

Symetrický displej okolo osi Oy.

Grafy funkcií obsahujúcich modul.

Napätie (stlačenie) pozdĺž osi Oy.

Napätie (stlačenie) pozdĺž osi Ox.

Úlohy.

Ovládacie tlačidlá:─ dopredu, ─ dozadu,

T1. Paralelný preklad pozdĺž osi y

pri

y = f(x)

originálny

funkcie

y = f(x) + a

paralelný

vyniesť

pozdĺž osi y

-a

y = f(x)

y = f(x) – a

paralelný

zniesť dole

pozdĺž osi y

y = f(x) - a

Transformácia grafov funkcií. T2. Paralelný preklad pozdĺž osi x

pri

y = f(x)

originálny

funkcie

y = f(x+a )

- a

+ a

paralelný

posun doľava

pozdĺž osi x

y = f(x +a )

y = f(x-a )

y = f(x)

y = f(x -ale )

paralelný

posun doprava

pozdĺž osi x

Transformácia grafov funkcií. T3. Symetrický displej vzhľadom na os x

pri

y = f(x)

originálny

funkcie

y= - f(x)

symetrické

displej

pomerne

Os ox

-od

y = f(x)

Transformácia grafov funkcií. T4. Symetrický displej okolo osi y

pri

y = f(x)

originálny

funkcie

y= f( - X)

y = f( - X)

-a

symetrické

displej

pomerne

os y

-od

y = f(x)

Transformácia grafov funkcií. T5.1. Grafy funkcií obsahujúcich modul.

pri

y=|f(x)|

y = f(x)

originálny

funkcie

y = f(x)

y=|f(x)|

časť grafu

ležiace nad osou Ox

zachovalý, diel

ležiace pod osou x,

symetricky

zobrazené

vzhľadom na os x

0 sa zachová, zobrazí sa aj symetricky okolo osi Oy y = f(| x|) "width="640"

Transformácia grafov funkcií. T5.2 Grafy funkcií obsahujúcich modul.

pri

y = f(x) -

originálny

funkcie

y = f(x)

y = f(|x|)

časť grafu

pri x 0 je zachovaná,

je symetrická

zobrazené

pomerne

os y

y = f( | x|)

1 (na obrázku k = 2) y = f(x) -1 - 2 11 "width="640"

Transformácia grafov funkcií. T6.1. Napätie pozdĺž osi y

pri

y = f(x)

originálny

funkcie

y= 2 f(x)

y = kf(x)

tiahnuci sa pozdĺž

os y v k krát ak

k 1

( na obrázku k = 2)

y = f(x)

-1

- 2

Transformácia grafov funkcií. T6.2. Kompresia pozdĺž osi y

pri

y = f(x)

originálny

funkcie

y = 1/ 2 f(x)

1/ 2

y = kf(x)

kompresia pozdĺž

os y v 1 / k raz

ak k 1

( na obrázku k = 1 / 2)

-1/ 2

y = f(x)

-1

Transformácia grafov funkcií. T7.1. Napätie pozdĺž osi Ox

pri

y = f(x)

originálny

funkcie

y = f(x)

y = f(kx)

- 2

- 1

tiahnuci sa pozdĺž

Oxova os 1 / k krát ak

k 1

( na obrázku k = 1/ 2)

y = f( 2x )

1 (na obrázku k = 2) - 1 1 y = f(x) "width="640"

Transformácia grafov funkcií. T7.2. Kompresia pozdĺž osi Ox

pri

y = f(x)

originálny

funkcie

y = f( 2x )

y = f(kx)

- 2

kompresia pozdĺž

Oxova os k krát ak

k 1

( na obrázku k = 2)

- 1

y = f(x)

Úlohy

1. (paralelný preklad pozdĺž osi Oy)

2. (paralelný preklad pozdĺž osi Ox)

1.,2. (paralelný preklad pozdĺž súradnicových osí)

3. (symetrické zobrazenie okolo osi x)

4. (symetrické zobrazenie okolo osi y)

5.1

5.2 (grafy funkcií obsahujúcich modul)

6. ( napätie a stlačenie pozdĺž osi y)

7. (napätie a stlačenie pozdĺž osi Ox)

Téma 1. Cvičenie 1

Graf pôvodnej funkcie y = f(x) daný bodkami

A(-5;-3) -> B(-2;3) -> C(1;3) -> D(5;0). Funkcie grafu y= f(x) +3 a funkcie y= f(x) ─2

odpoveď

Pomoc

Úloha 2

Vymenujte funkcie, ktorých grafy možno zostrojiť paralelným prenosom pôvodného grafu pozdĺž osi Oy : , pri = (X – 8) 2 , pri = X 3 + 3 , pri = X + 4 ,

, pri = X 2 – 2 ,

odpoveď

Úloha 3

Nakreslite grafy funkcií,

nájdete v úlohe 2.

odpoveď

Pomoc. Téma 1. Úloha 1.

Na zostavenie grafu y= f(x) +3 y= f(x) 3 jednotky nahor pozdĺž osi y .

1 (-5;0), bod B(-2;3) → B 1 (-2;6) , bod С(1;3) → С 1 (1;6), bodka

D(5;0) -> D 1 (5;3)

Na zostavenie grafu y= f(x) -2 je potrebné vykonať paralelný prenos grafu y= f(x) 2 jednotky nadol pozdĺž osi y .

Bod A(-5;-3) teda prejde do bodu A 2 (-5;-5), bod B(-2;3) → B 2 (-2;1) , bod С(1;3) → С 2 (1;1), bodka

D(5;0) -> D 2 (5;-2)

Odpoveď 1.1.

Odpoveď 1.2.

pri

Paralelným prenosom pôvodného grafu pozdĺž osi Oy

y = x 3 +3 ,

y = x + 4,

y = x 2 –2 ,

y = f(x) + 3

y = f(x) - 2

y = f(x)

y = x 3 +3

Odpoveď 1.3.

y = x + 4

pri

y = x 2 –2

pri

-2

pri

-2

Téma 2 Cvičenie 1

Graf pôvodnej funkcie y = f(x) daný bodkami

A(-5;-3) -> B(-2;3) -> C(1;-2) -> D(5;0). Funkcie grafu y= f(x +2 ) a funkcie y= f(x ─3 )

odpoveď

Pomoc

Úloha 2

Vymenujte funkcie, ktorých grafy možno zostrojiť paralelným prenosom pôvodného grafu pozdĺž osi x : , pri = (X – 4) 2 , pri = X 3 + 3 , pri = X + 4 ,

, pri = X 2 – 2 ,

odpoveď

Úloha 3

Nakreslite grafy funkcií,

nájdete v úlohe 2.

odpoveď

Pomoc. Téma 2. Úloha 1.

Na zostavenie grafu y= f(x +2 ) je potrebné vykonať paralelný prenos grafu y= f(x) .

Bod A(-5;-3) teda prejde do bodu A 1 (-7;-3), bod B(-2;3) → B 1 (-4;3) , bod С(1;-2) → С 1 (-1;-2), bodka

D(5;0) -> D 1 (3;0)

Na zostavenie grafu y= f(x -3 ) je potrebné vykonať paralelný prenos grafu y= f(x) 3 jednotky doprava pozdĺž osi x .

Bod A(-5;-3) teda prejde do bodu A 2 (-2;-3), bod B(-2;3) → B 2 (1;3) , bod С(1;-2) → С 2 (4;-2), bodka

D(5;0) -> D 2 (8;0)

Odpoveď 2.2.

Odpoveď 2.1.

pri

Paralelným prenosom pôvodného grafu pozdĺž osi Ox môžete vykresliť nasledujúce funkcie:

y \u003d (x - 4) 2 ,

y = (x +4),

y = f(x+ 2 )

y = f(x)

y = f(x– 3 )

Odpoveď 2.3.

y = (x –4) 2

pri

-3

T 1.2. Paralelný posun pozdĺž súradnicových osí pozdĺž osi y pozdĺž osi x

pri

y = f(x) + a

- a

+ a

y = f(x +a )

-a

y = f(x)

y = f(x -ale )

y = f(x) - a

Téma 1, téma 2. Cvičenie 1.

Pomocou pravidiel paralelného prekladu pozdĺž súradnicových osí vytvorte súlad medzi vzorcom, ktorý definuje funkciu, a pravidlom na transformáciu jej grafu.

Graf tejto funkcie je zostavený podľa

paralelný prenos funkčného grafu

y= f(x) :

- pre 3 jednotky. nadol po osi y;
- pre 3 jednotky. vpravo na Ox a 3 dole na Oy;
- pre 3 jednotky. nahor po osi y;
- 3 jednotky vľavo pozdĺž osi Ox a 3 jednotky dole pozdĺž Oy;
- pre 3 jednotky. vpravo pozdĺž osi x;
- pre 3 jednotky. vľavo na osi Ox a 3 hore na Oy;
- pre 3 jednotky. hore na osi Oy a 3 doprava na Ox

Téma 1, téma 2. Úloha 2.

Pomocou pravidiel paralelného prekladu pozdĺž súradnicových osí nakreslite grafy funkcií:

1) y=(x+2) 2 – 3 , 2) ,

3) y=(x–3) 3 – 4 , 4)

Pomoc

pri

-2

-3

y \u003d (x + 2) 2 –3

pri

-4

y \u003d (x -3) 3 – 4

-3

-2

Pomoc. Téma 1. Téma 2. Úloha 1.

1. Na zostavenie grafu y = ( X +2 ) 2 –3 je potrebné vykonať paralelný prenos grafu y= X 2 2 jednotky vľavo pozdĺž osi x , potom preneste výsledný graf 3 jednotky nadol pozdĺž osi y .

2. Tento graf je možné zostaviť paralelným prenosom súradnicových osí: os y je o 2 jednotky vľavo a os oh je o 3 jednotky nižšie. Potom vytvorte graf y= X 2 v novom súradnicovom systéme.

Téma 3. Cvičenie 1

Graf pôvodnej funkcie y = f(x) daný bodkami

A(-6;-3) -> B(-3;2) -> C(1;0) -> D(3;3) -> E(7;-4).

Nakreslite funkciu y = - f(x) .

odpoveď

Pomoc

Úloha 2

Pomenujte funkcie, ktoré je možné zobraziť v grafe : pri = (4 – X) 2 , pri = – X 3 ,

, pri = – (x +2) 2 ,

odpoveď

Úloha 3

odpoveď

Nakreslite grafy funkcií,

nájdete v úlohe 2.

Pomoc

Pomoc. Téma 3. Úloha 1.

Na zostavenie grafu y = - f(x)

y= f(x) vzhľadom na os x .

Bod A(-6;-3) teda prejde do bodu A 1 (-6;3), bod B(-3;2) → B 1 (-3;-2) , bod С(1;0) → С 1 (1;0), bodka

D(3;3) -> D 1 (3;-3), bod E(7;-4) → E 1 (7;4)

Úloha 3.

Grafy funkcií y \u003d - (x + 2) 2 A postavený pomocou dve premeny : symetrické zobrazenie okolo osi Ox a paralelný posun pozdĺž osi Oy. Treba mať na pamäti, že tieto premeny možno vykonať v akomkoľvek poradí:

1. y=x 2 → y=(x+2) 2 → y \u003d - (x + 2) 2

pôvodná funkcia → posun doľava o 2 jednotky. → zobrazenie rel. Oh.

2. y=x 2 → y= -x 2 → y \u003d - (x + 2) 2 pôvodná funkcia → zobrazenie rel. Oh → posun doľava o 2 jednotky.

→

Odpoveď 3.1.

Odpoveď 3.2.

Zobrazením pôvodného grafu symetricky okolo osi x môžete vykresliť nasledujúce funkcie:

y = - x 3 ,

y \u003d - (x + 2) 2 ,

y= - f(x)

y = f(x)

Odpoveď 3.3.

y= – X 3

y = - (x +2) 2

Téma 4. Cvičenie 1

Graf pôvodnej funkcie y = f(x) daný bodkami

A(-6;2) -> B(-3;2) -> C(0;-1) -> D(3;3) -> E(7;-4).

Nakreslite funkciu y= f( - X) .

odpoveď

Pomoc

Úloha 2

Pomenujte funkcie, ktorých grafy možno zostaviť zobrazením pôvodného grafu symetricky podľa osi y : pri = (2 – X) 3 , pri = – X ,

, pri = – (x +2) 2 ,

odpoveď

Úloha 3

odpoveď

Nakreslite grafy funkcií,

nájdete v úlohe 2.

Pomoc

Pomoc. Téma 4. Úloha 1.

Na zostavenie grafu y= f( - X) je potrebné vykonať symetrické zobrazenie grafu

y= f(x) okolo osi y .

Bod A (-6; 2) teda prejde do bodu A 1 (6;2), bod B(-3;2) → B 1 (3;2) , bod С(0;-1) → С 1 (0;-1), bodka

D(3;3) -> D 1 (-3;3), bod E(7;-4) → E 1 (-7;-4)

Úloha 3.

Grafy funkcií y = (4–x) 3 A , postavený pomocou dve premeny : symetrické zobrazenie okolo osi Oy a paralelný posun pozdĺž osi Ox. Treba mať na pamäti, že tieto premeny sa vykonávajú v nasledujúcom poradí:

1. y=x 3 → y=(2+x) 3 → y=(2-x) 3

pôvodná funkcia → posun doľava o 2 jednotky. → zobrazenie rel. OU.

2. → →

pôvodná funkcia → posun doľava o 4 jednotky. → zobrazenie rel. OU

→

Odpoveď 4.1.

Odpoveď 4.2.

Zobrazením pôvodného grafu symetricky okolo osi x môžete vykresliť nasledujúce funkcie:

y \u003d - x,

y = (2-x) 3 ,

y = f( - X)

y = f(x)

Odpoveď 4.3.

y= – X

y \u003d (2 - x) 3

Téma 5.1. Cvičenie 1

Graf pôvodnej funkcie y = f(x) daný bodkami

A(-6;1) -> B(-3;4) -> C(0;-2) -> D(3;2) -> E(7;-5).

Nakreslite funkciu y= | f(x) | .

odpoveď

Pomoc.

Na zostavenie grafu y= | f(x) | je potrebné vykonať symetrické zobrazenie časti grafu y= f(x) pod osou x okolo osi y , ktorá sa nachádza v časti grafu nad osou Ox plne zachovaná .

Teda body A(-6;1) , B(-3;4), D(3;2) si zachová svoje súradnice a bod C(0;-2) pôjde k veci OD 1 (0;2) , bodka E(7;-5) prejde do bodu E 1 (7;5).

Odpoveď 5.1.1.

y= | f(x) |

y = f(x)

Téma 5.1. Úloha 2

nakreslite grafy funkcií:

odpoveď

funkciu

y= | X |

y = x → y= | X | -

y= | x+1 |

y = x → y = x+1 paralelný posun nahor o 1 jednotku. → y= | x+1 | - časť grafu ležiaca nad osou sa uloží, časť pod osou x sa zobrazí vzhľadom na os x

y= | x–3 |

y = x → y = x–3 → y= | X – 3 | - časť grafu ležiaca nad osou sa uloží, časť pod osou x sa zobrazí vzhľadom na os x

y= | 2-x |

y= || X | –4 |

y = x → y = -x zobrazenie okolo osi y → y = 2–x paralelný prenos až 2 jednotky. → y= | 2 – X | - časť grafu ležiaca nad osou sa uloží, časť pod osou x sa zobrazí vzhľadom na os x

y=x → y= | X | - časť grafu ležiaca nad osou sa uloží, časť pod osou x sa zobrazí vzhľadom na os x → y= | X | –4 paralelný prenosový nos dole o 4 jednotky. → y= || X | –4 | - časť grafu ležiaca nad osou sa uloží, časť pod osou x sa zobrazí vzhľadom na os x

Odpoveď 5.1.2.

y = |x +1 |

y = |x – 3 |

y= | X |

y= X +1

y=x – 3

y=x

y= || X | – 4 |

y=| 2 - x |

y= –x +2

y = |x| – 4

Téma 5.1. Úloha 3

Pomocou základných pravidiel transformácie grafu

nakreslite grafy funkcií:

odpoveď

funkciu

y= | X 2 |

y=x 2 → y= | X 2 |

y= | X 2 – 4 |

y= | ( X- 2) 2 – 1 |

y = x 2 → y = x 2 – 4 paralelný prenos o 4 jednotky. → y= | X 2 – 4 | - časť grafu ležiaca nad osou sa uloží, časť pod osou x sa zobrazí vzhľadom na os x

y = x 2 → y = (x -2) 2 paralelný posun doprava o 2 jednotky. → y = (x - 2) 2 –1 →

y= | (X - 2) 2 –1 | - časť grafu ležiaca nad osou sa uloží, časť pod osou x sa zobrazí vzhľadom na os x

y= || X 2 – 1 | – 3 |

y = x 2 → y = x 2 –1 paralelný posun nadol o 1 jednotku. → y= | X 2 –1 | - časť grafu ležiaca nad osou sa uloží, časť pod osou x sa zobrazí vzhľadom na os x →

y= | X 2 –1 | – 3 paralelný prenos o 3 jednotky. →

y= || X 2 –1 | – 3 | časť grafu ležiaca nad osou sa uloží, časť pod osou x sa zobrazí vzhľadom na os x

Odpoveď 5.1.3.

y= | (X – 2) 2 –1 |

y= | X 2 |

y=x 2

y = (x – 2) 2 –1

y= | X 2 – 1 |

y= | | X 2 – 1 | – 3 |

y= | X 2 – 4 |

y= | X 2 – 1 | – 3

y=x 2 – 4

Téma 5.2. Cvičenie 1.

Graf pôvodnej funkcie y = f(x) daný bodkami

A(-8;2) -> B(-4;2) -> C(-2;-6) -> D(6;6) -> E(9;6) -> K(11;9).

Nakreslite funkciu y= f( | X | ) .

odpoveď

Pomoc

Úloha 2.

Použitie pravidiel na zostavenie grafu funkcie y \u003d f( | X |) nakreslite grafy funkcií:

1) y= | X | , 2) y= | X | 2 , 3) y= | X | 3 , 4) , 5)

odpoveď

Úloha 3.

1) y= | X | + 2 , 2) y=( | X | + 1) 2 , 3) y=( | X | – 1) 2 ,

4) , 5)

Pomoc

odpoveď

Pomoc. Téma 5.2. Cvičenie 1.

Na stavbu grafika y= f(|x|) potrebujú časť rozvrhu

y= f(x) , klamstvo napravo od osi OU uložiť A jej rovnaký symetricky displej pomerne osi OU .

Takže spôsobom bodov A(-8;2), B(-4;2), C(-2;-6) na daný graf nie vôľa; bodov D(6;6), E(9;6) a K(11;9) zachovať ich súradnice, A oni sa zobrazí v bodov D 1 (-6;6), E 1 (-9;6) A TO 1 (-11;9).

Úloha 3.

funkciu

Techniky vykresľovania funkčného grafu

y= | X | +2

y = ( | X | +1) 2

y = ( | X | –1) 2

y = x → y = x + 2 → y = | X | + 2

hore 2 displej

y = x 2 → y = (x + 1) 2 → y = ( | X | + 1) 2

vľavo o 1 displej

y = x 2 → y \u003d (x - 1) 2 → y = ( | X | – 1) 2

vpravo 1 displej

vľavo o 1 displej

Odpoveď 5.2.1.

y = f( | X | )

y = f(x)

Odpoveď 5.2.2.

y = |x| 2

y = |x|

y = |x| 3

y=x 2

y=x 3

y=x

Odpoveď 5.2.3.

y= ( |x| +1) 2

y= ( X -1) 2

y= ( |x| -1) 2

y = |x| +2

y= ( X +1) 2

y=x +2

téma 6. Cvičenie 1.

Graf pôvodnej funkcie y = f(x) daný bodky

A(-7;0) → B(-5;2) → C(-2;0) → D(0;-2) → E(3;-2) → K(4;0) → P(9 ;3).

Funkcie grafu y = 3 f(x) A y = 0,5 f(x)

odpoveď

Pomoc

Úloha 2.

Použitie pravidiel na zostavenie grafu funkcie y \u003d k f(x ) nakreslite grafy funkcií:

1) y= – 0,5x , 2) y = 3x 2 , 3) y= 0,5x 3 , 4) , 5)

odpoveď

Úloha 3.

Pomocou všetkých študovaných pravidiel transformácie grafov vytvorte grafy nasledujúcich funkcií:

1) y = 3x + 3 , 2) y= 2(x+2) 2 , 3) y= – 0,5 (X – 1) 2 ,

4) , 5)

odpoveď

Pomoc

Pomoc. Téma 6. Úloha 1.

Na zostavenie grafu y = 3 f(x) y= f(x) 3 krát pozdĺž osi y . Body A (-7; 0), C (-2; 0) a K (4; 0) si zachovajú svoje súradnice a bod B (-5; 2) pôjde do bodu IN 1 (-5;6), bod D(0;-2) → D 1 (0;-6), bod E(3;-2) → E 1 (3;-6), bod Р(9;3) → Р 1 (9;9)

Na zostavenie grafu y = 0,5 f(x) y= f(x) 2-krát pozdĺž osi y .

Body A (-7; 0), C (-2; 0) a K (4; 0) si zachovajú svoje súradnice a bod B (-5; 2) pôjde do bodu IN 1 (-5;1), bod D(0;-2) → D 1 (0;-1), bod E(3;-2) → E 1 (3;-1), bod Р(9;3) → Р 1 (9;1,5)

Pomoc. Téma 6. Úloha 3.

funkciu

y= 3x+3

Techniky vykresľovania funkčného grafu

y = 2 (x + 2) 2

y \u003d -0,5 (x-1) 2

y = x → y = 3x → y = 3x + 3

Oy strečing sa posuňte nahor o 3

y = x 2 → y = (x + 2) 2 → y = 2 (x + 2) 2

doľava o 2 natiahnutie na Oy

y = x 2 → y = (x -1) 2 → y \u003d 0,5 (x -1) 2 → y \u003d - 0,5 (x -1) 2

doprava o 1 Oy zobrazenie kompresie rel. Oh

→ → →

stretch mapping posunúť nahor o 1

odišiel o 1 oy úsek

Odpoveď 6.1.

y= 3 f(x)

y = f(x)

y= 0,5 f(x)

Odpoveď 6.2.

y= 3 X 2

y= 0,5 X 3

y= - X

y=x 2

y= -0,5 X

y=x 3

y= 0,5( X -1) 2

y= 2( X +2) 2

Odpoveď 6.3.

y= ( X +2) 2

y=x 2

y= ( X -1) 2

y=x 2

y= 3 X

y=x

y= 3 X +3

y= -0,5( X -1) 2

Téma 7. Cvičenie 1.

Graf pôvodnej funkcie y = f(x) daný bodkami

A(-6;-2) -> B(-3;0) -> C(0;8) -> D(3;3) -> E(6;-4) -> K(9;0).

Funkcie grafu y= f( 3 X) A y= f( 0,5 X)

odpoveď

Pomoc

Úloha 2.

Pomocou všetkých študovaných pravidiel transformácie grafov vytvorte grafy nasledujúcich funkcií:

1) y = 3x + 3 , 2) y= 2(x+2) 2 , 3) y= – 0,5 (X – 1) 2 ,

4) , 5)

Pomoc. Téma 7. Úloha 1.

Na zostavenie grafu y= f( 3 X) musíte graf skomprimovať y= f(x) 3-krát pozdĺž osi x 1 (-2;-2), bod B(-3;0) → B 1 (-1; 0), bod C (0; 8) si zachová súradnice, bod D (3; 3) → D 1 (1;3), bodka E(6;-4) → E 1 (2;-4), bod K(9;0) → K 1 (3;0)

Na zostavenie grafu y= f( 0,5x ) musíte rozšíriť graf y= f(x) 2-krát pozdĺž osi x . Bod A(-6;-2) teda prejde do bodu A 1 (-12;-2), bod B(-3;0) → B 1 (-6;0), bod C(0;8) si zachová súradnice, bod D(3;3) → D 1 (6;3), bodka E(6;-4) → E 1 (12;-4), bod K(9;0) → K 1 (18;0)