10 pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan. Lahat ng mga formula ng trigonometry

Ang mga ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing trigonometric function - sine, cosine, tangent at cotangent - ay nakatakda mga formula ng trigonometriko... At dahil maraming koneksyon sa pagitan ng mga trigonometriko na pag-andar, ipinapaliwanag nito ang kasaganaan ng mga formula ng trigonometriko. Ang ilang mga formula ay kumonekta sa mga function ng trigonometriko ng parehong anggulo, ang iba - mga function ng isang maramihang anggulo, ang iba pa - nagbibigay-daan sa iyo upang babaan ang antas, ika-apat - ipahayag ang lahat ng mga function sa pamamagitan ng tangent ng kalahating anggulo, atbp.

Sa artikulong ito, ililista namin sa pagkakasunud-sunod ang lahat ng mga pangunahing trigonometric formula, na sapat upang malutas ang karamihan ng mga problema sa trigonometrya. Para sa kadalian ng pagsasaulo at paggamit, ipapangkat namin ang mga ito ayon sa layunin at ilalagay ang mga ito sa mga talahanayan.

Pag-navigate sa pahina.

Mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko

Mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko itakda ang ugnayan sa pagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo. Sinusundan nila ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent, pati na rin ang konsepto ng unit circle. Pinapayagan ka nitong ipahayag ang isang trigonometric function sa mga tuntunin ng anumang iba pa.

Para sa isang detalyadong paglalarawan ng mga formula ng trigonometrya, ang kanilang hinango at mga halimbawa ng aplikasyon, tingnan ang artikulo.

Mga formula ng cast

Mga formula ng cast sundin mula sa mga katangian ng sine, cosine, tangent at cotangent, iyon ay, sinasalamin nila ang pag-aari ng periodicity ng trigonometric function, ang ari-arian ng simetrya, pati na rin ang pag-aari ng paglilipat ng isang naibigay na anggulo. Binibigyang-daan ka ng mga trigonometrikong formula na ito mula sa pagtatrabaho sa mga di-makatwirang anggulo hanggang sa pagtatrabaho sa mga anggulo na mula sa zero hanggang 90 degrees.

Ang katwiran para sa mga formula na ito, ang mnemonic na panuntunan para sa pagsasaulo ng mga ito at mga halimbawa ng kanilang aplikasyon ay maaaring pag-aralan sa artikulo.

Mga formula ng karagdagan

Mga formula sa pagdaragdag ng trigonometric ipakita kung paano ang trigonometriko function ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang anggulo ay ipinahayag sa mga tuntunin ng trigonometriko function ng mga anggulong ito. Ang mga formula na ito ay nagsisilbing batayan para makuha ang mga sumusunod na trigonometric formula.

Mga formula para sa doble, triple, atbp. sulok

Mga formula para sa doble, triple, atbp. anggulo (tinatawag ding maraming angle formula) ay nagpapakita kung paano gumagana ang trigonometriko ng doble, triple, atbp. ang mga anggulo () ay ipinahayag sa mga tuntunin ng trigonometric function ng isang solong anggulo. Ang kanilang derivation ay batay sa mga formula ng karagdagan.

Ang mas detalyadong impormasyon ay kinokolekta sa mga formula ng artikulo para sa doble, triple, atbp. sulok.

Mga formula ng kalahating anggulo

Mga formula ng kalahating anggulo ipakita kung paano ipinahayag ang mga function ng trigonometriko ng kalahating anggulo sa mga tuntunin ng cosine ng isang integer na anggulo. Ang mga trigonometrikong formula na ito ay sumusunod mula sa mga formula ng dobleng anggulo.

Ang kanilang konklusyon at mga halimbawa ng aplikasyon ay matatagpuan sa artikulo.

Mga formula ng pagbabawas ng degree

Trigonometric Degree Reduction Formulas ay idinisenyo upang mapadali ang paglipat mula sa natural na mga antas ng trigonometriko function sa mga sine at cosine sa unang antas, ngunit maramihang mga anggulo. Sa madaling salita, pinapayagan ka nitong babaan ang mga antas ng trigonometric function sa una.

Mga formula ng kabuuan at pagkakaiba para sa mga function ng trigonometriko

Ang pangunahing layunin mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng trigonometriko function ay upang pumunta sa produkto ng mga function, na kung saan ay lubhang kapaki-pakinabang kapag pinasimple ang trigonometriko expression. Ang mga formula na ito ay malawakang ginagamit din sa paglutas ng mga trigonometric equation, dahil pinapayagan ka nitong i-factor ang kabuuan at pagkakaiba ng mga sine at cosine.

Mga formula para sa produkto ng mga sine, cosine at sine sa pamamagitan ng cosine

Ang paglipat mula sa produkto ng trigonometriko function sa kabuuan o pagkakaiba ay isinasagawa gamit ang mga formula para sa produkto ng mga sine, cosine at sine sa pamamagitan ng cosine.

Generic na trigonometric substitution

Tinatapos namin ang pagsusuri ng mga pangunahing formula ng trigonometrya na may mga formula na nagpapahayag ng mga function ng trigonometriko sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo. Ang kapalit na ito ay pinangalanan unibersal na trigonometrikong pagpapalit... Ang kaginhawahan nito ay nakasalalay sa katotohanan na ang lahat ng mga trigonometriko na pag-andar ay ipinahayag sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo nang makatwiran na walang mga ugat.

Bibliograpiya.

• Algebra: Teksbuk. para sa 9 cl. Miyerkules paaralan / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teleyakovsky.- M .: Edukasyon, 1990.- 272 p.: may sakit.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Textbook. para sa 10-11 cl. Miyerkules shk. - 3rd ed. - M .: Edukasyon, 1993 .-- 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra at simula ng pagsusuri: Teksbuk. para sa 10-11 cl. Pangkalahatang edukasyon. mga institusyon / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn at iba pa; Ed. A. N. Kolmogorov - ika-14 na ed. - M .: Edukasyon, 2004. - 384 p.: may sakit - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan): Textbook. manwal - M.; Mas mataas. shk., 1984.-351 p., may sakit.

Copyright ng mga matalinong mag-aaral

Lahat ng karapatan ay nakalaan.
Pinoprotektahan ng batas sa copyright. Walang bahagi ng site, kabilang ang mga panloob na materyales at panlabas na disenyo, ang maaaring kopyahin sa anumang anyo o gamitin nang walang paunang nakasulat na pahintulot ng may-ari ng copyright.

Sa pahinang ito makikita mo ang lahat ng mga pangunahing trigonometriko na mga formula na tutulong sa iyo na malutas ang maraming mga pagsasanay, na lubos na pinapasimple ang expression mismo.

Ang mga formula ng trigonometriko ay mga pagkakapantay-pantay sa matematika para sa mga function ng trigonometriko na ginagawa para sa lahat ng wastong halaga ng argumento.

Ang mga formula ay nagtatakda ng ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing trigonometric function - sine, cosine, tangent, cotangent.

Ang sine ng isang anggulo ay ang y-coordinate ng isang punto (ordinate) sa unit circle. Ang cosine ng isang anggulo ay ang x-coordinate ng punto (abscissa).

Ang tangent at cotangent ay, ayon sa pagkakabanggit, ang ratio ng sine sa cosine at vice versa.
`sin \ \ alpha, \ cos \ \ alpha`
`tg \ \ alpha = \ frac (sin \ \ alpha) (cos \ \ alpha),` `\ alpha \ ne \ frac \ pi2 + \ pi n, \ n \ sa Z`
`ctg \ \ alpha = \ frac (cos \ \ alpha) (sin \ \ alpha),` `\ alpha \ ne \ pi + \ pi n, \ n \ sa Z`

At dalawa, na hindi gaanong ginagamit - secant, cosecant. Kinakatawan nila ang mga ratio ng 1 sa cosine at sine.

`seg \ \ alpha = \ frac (1) (cos \ \ alpha),` `\ alpha \ ne \ frac \ pi2 + \ pi n, \ n \ sa Z`
`cosec \ \ alpha = \ frac (1) (sin \ \ alpha),` `\ alpha \ ne \ pi + \ pi n, \ n \ sa Z`

Mula sa mga kahulugan ng trigonometric function, makikita mo kung anong mga palatandaan ang mayroon sila sa bawat quarter. Ang tanda ng function ay nakasalalay lamang sa kung aling quarter ang argumento.

Kapag ang argument sign ay nagbago mula sa "+" sa "-", tanging ang cosine function ay hindi nagbabago ng halaga nito. Ito ay tinatawag na kahit. Ang graph nito ay simetriko tungkol sa ordinate axis.

Ang iba pang mga function (sine, tangent, cotangent) ay kakaiba. Kapag binago mo ang sign ng argument mula sa "+" sa "-", ang kanilang halaga ay nagbabago din sa negatibo. Ang kanilang mga plot ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

`kasalanan (- \ alpha) = - kasalanan \ \ alpha`
`cos (- \ alpha) = cos \ \ alpha`
`tg (- \ alpha) = - tg \ \ alpha`
`ctg (- \ alpha) = - ctg \ \ alpha`

Mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko

Ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay mga formula na nagtatatag ng koneksyon sa pagitan ng mga trigonometric na function ng isang anggulo (`sin \ \ alpha, \ cos \ \ alpha, \ tg \ \ alpha, \ ctg \ \ alpha`) at nagbibigay-daan sa iyong mahanap ang halaga ng bawat isa sa mga function na ito sa pamamagitan ng anumang iba pang kilala.
`sin ^ 2 \ alpha + cos ^ 2 \ alpha = 1`
`tg \ \ alpha \ cdot ctg \ \ alpha = 1, \ \ alpha \ ne \ frac (\ pi n) 2, \ n \ sa Z`
`1 + tg ^ 2 \ alpha = \ frac 1 (cos ^ 2 \ alpha) = sec ^ 2 \ alpha,` `\ alpha \ ne \ frac \ pi2 + \ pi n, \ n \ sa Z`
`1 + ctg ^ 2 \ alpha = \ frac 1 (sin ^ 2 \ alpha) = cosec ^ 2 \ alpha,` `\ alpha \ ne \ pi n, \ n \ sa Z`

Mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga anggulo ng trigonometriko function

Ang mga formula para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga argumento ay nagpapahayag ng mga trigonometriko na pag-andar ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang anggulo sa mga tuntunin ng mga trigonometriko na pag-andar ng mga anggulong ito.
`sin (\ alpha + \ beta) =` `sin \ \ alpha \ cos \ \ beta + cos \ \ alpha \ sin \ \ beta`
`sin (\ alpha- \ beta) =` `sin \ \ alpha \ cos \ \ beta-cos \ \ alpha \ sin \ \ beta`
`cos (\ alpha + \ beta) =` `cos \ \ alpha \ cos \ \ beta-sin \ \ alpha \ sin \ \ beta`
`cos (\ alpha- \ beta) =` `cos \ \ alpha \ cos \ \ beta + sin \ \ alpha \ sin \ \ beta`
`tg (\ alpha + \ beta) = \ frac (tg \ \ alpha + tg \ \ beta) (1-tg \ \ alpha \ tg \ \ beta)`
`tg (\ alpha- \ beta) = \ frac (tg \ \ alpha-tg \ \ beta) (1 + tg \ \ alpha \ tg \ \ beta)`
`ctg (\ alpha + \ beta) = \ frac (ctg \ \ alpha \ ctg \ \ beta-1) (ctg \ \ beta + ctg \ \ alpha)`
`ctg (\ alpha- \ beta) = \ frac (ctg \ \ alpha \ ctg \ \ beta + 1) (ctg \ \ beta-ctg \ \ alpha)`

Mga formula ng dobleng anggulo

`sin \ 2 \ alpha = 2 \ sin \ \ alpha \ cos \ \ alpha =` `\ frac (2 \ tg \ \ alpha) (1 + tg ^ 2 \ alpha) = \ frac (2 \ ctg \ \ alpha ) (1 + ctg ^ 2 \ alpha) = `` \ frac 2 (tg \ \ alpha + ctg \ \ alpha) `
`cos \ 2 \ alpha = cos ^ 2 \ alpha-sin ^ 2 \ alpha =` `1-2 \ sin ^ 2 \ alpha = 2 \ cos ^ 2 \ alpha-1 =` `\ frac (1-tg ^ 2 \ alpha) (1 + tg ^ 2 \ alpha) = \ frac (ctg ^ 2 \ alpha-1) (ctg ^ 2 \ alpha + 1) = `` \ frac (ctg \ \ alpha-tg \ \ alpha) (ctg \ \ alpha + tg \ \ alpha) `
`tg \ 2 \ alpha = \ frac (2 \ tg \ \ alpha) (1-tg ^ 2 \ alpha) =` `\ frac (2 \ ctg \ \ alpha) (ctg ^ 2 \ alpha-1) =` `\ frac 2 (\ ctg \ \ alpha-tg \ \ alpha)`
`ctg \ 2 \ alpha = \ frac (ctg ^ 2 \ alpha-1) (2 \ ctg \ \ alpha) =` `\ frac (\ ctg \ \ alpha-tg \ \ alpha) 2`

Mga formula ng triple angle

`sin \ 3 \ alpha = 3 \ sin \ \ alpha-4sin ^ 3 \ alpha`
`cos \ 3 \ alpha = 4cos ^ 3 \ alpha-3 \ cos \ \ alpha`
`tg \ 3 \ alpha = \ frac (3 \ tg \ \ alpha-tg ^ 3 \ alpha) (1-3 \ tg ^ 2 \ alpha)`
`ctg \ 3 \ alpha = \ frac (ctg ^ 3 \ alpha-3 \ ctg \ \ alpha) (3 \ ctg ^ 2 \ alpha-1)`

Mga formula ng kalahating anggulo

`sin \ \ frac \ alpha 2 = \ pm \ sqrt (\ frac (1-cos \ \ alpha) 2)`
`cos \ \ frac \ alpha 2 = \ pm \ sqrt (\ frac (1 + cos \ \ alpha) 2)`
`tg \ \ frac \ alpha 2 = \ pm \ sqrt (\ frac (1-cos \ \ alpha) (1 + cos \ \ alpha)) =` `\ frac (sin \ \ alpha) (1 + cos \ \ alpha) = \ frac (1-cos \ \ alpha) (sin \ \ alpha) `
`ctg \ \ frac \ alpha 2 = \ pm \ sqrt (\ frac (1 + cos \ \ alpha) (1-cos \ \ alpha)) =` `\ frac (sin \ \ alpha) (1-cos \ \ alpha) = \ frac (1 + cos \ \ alpha) (sin \ \ alpha) `

Ang mga formula para sa kalahati, doble at triple na argumento ay nagpapahayag ng mga function na `sin, \ cos, \ tg, \ ctg` ng mga argumentong ito (` \ frac (\ alpha) 2, \ 2 \ alpha, \ 3 \ alpha, ... ` ) sa pamamagitan ng argumento ng mga function na ito `\ alpha`.

Ang kanilang output ay maaaring makuha mula sa nakaraang pangkat (dagdag at pagbabawas ng mga argumento). Halimbawa, ang mga pagkakakilanlan ng double angle ay madaling makuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng `\ beta` ng` \ alpha`.

Mga formula ng pagbabawas ng degree

Ang mga formula para sa mga parisukat (cube, atbp.) ng trigonometriko function ay nagbibigay-daan sa isa na pumasa mula sa 2,3, ... degrees sa trigonometric function ng unang degree, ngunit maramihang mga anggulo (`\ alpha, \ 3 \ alpha, \ ... ` o `2 \ alpha, \ 4 \ alpha, \ ... `).
`sin ^ 2 \ alpha = \ frac (1-cos \ 2 \ alpha) 2,` `(sin ^ 2 \ frac \ alpha 2 = \ frac (1-cos \ \ alpha) 2)`
`cos ^ 2 \ alpha = \ frac (1 + cos \ 2 \ alpha) 2,` `(cos ^ 2 \ frac \ alpha 2 = \ frac (1 + cos \ \ alpha) 2)`
`sin ^ 3 \ alpha = \ frac (3sin \ \ alpha-sin \ 3 \ alpha) 4`
`cos ^ 3 \ alpha = \ frac (3cos \ \ alpha + cos \ 3 \ alpha) 4`
`sin ^ 4 \ alpha = \ frac (3-4cos \ 2 \ alpha + cos \ 4 \ alpha) 8`
`cos ^ 4 \ alpha = \ frac (3 + 4cos \ 2 \ alpha + cos \ 4 \ alpha) 8`

Mga formula ng kabuuan at pagkakaiba para sa mga function ng trigonometriko

Ang mga formula ay mga pagbabagong-anyo ng kabuuan at pagkakaiba ng mga trigonometriko na pag-andar ng iba't ibang argumento sa isang produkto.

`sin \ \ alpha + sin \ \ beta =` `2 \ sin \ frac (\ alpha + \ beta) 2 \ cos \ frac (\ alpha- \ beta) 2`
`sin \ \ alpha-sin \ \ beta =` `2 \ cos \ frac (\ alpha + \ beta) 2 \ sin \ frac (\ alpha- \ beta) 2`
`cos \ \ alpha + cos \ \ beta =` `2 \ cos \ frac (\ alpha + \ beta) 2 \ cos \ frac (\ alpha- \ beta) 2`
`cos \ \ alpha-cos \ \ beta =` `-2 \ sin \ frac (\ alpha + \ beta) 2 \ sin \ frac (\ alpha- \ beta) 2 =` `2 \ sin \ frac (\ alpha + \ beta) 2 \ sin \ frac (\ beta- \ alpha) 2`
`tg \ \ alpha \ pm tg \ \ beta = \ frac (sin (\ alpha \ pm \ beta)) (cos \ \ alpha \ cos \ \ beta)`
`ctg \ \ alpha \ pm ctg \ \ beta = \ frac (sin (\ beta \ pm \ alpha)) (sin \ \ alpha \ sin \ \ beta)`
`tg \ \ alpha \ pm ctg \ \ beta =` `\ pm \ frac (cos (\ alpha \ mp \ beta)) (cos \ \ alpha \ sin \ \ beta)`

Dito ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga function ng isang argumento ay na-convert sa isang produkto.

`cos \ \ alpha + sin \ \ alpha = \ sqrt (2) \ cos (\ frac (\ pi) 4- \ alpha)`
`cos \ \ alpha-sin \ \ alpha = \ sqrt (2) \ sin (\ frac (\ pi) 4- \ alpha)`
`tg \ \ alpha + ctg \ \ alpha = 2 \ cosec \ 2 \ alpha;` `tg \ \ alpha-ctg \ \ alpha = -2 \ ctg \ 2 \ alpha`

Ang mga sumusunod na formula ay nagko-convert ng kabuuan at pagkakaiba ng isang yunit at isang trigonometric function sa isang produkto.

`1 + cos \ \ alpha = 2 \ cos ^ 2 \ frac (\ alpha) 2`
`1-cos \ \ alpha = 2 \ sin ^ 2 \ frac (\ alpha) 2`
`1 + sin \ \ alpha = 2 \ cos ^ 2 (\ frac (\ pi) 4- \ frac (\ alpha) 2)`
`1-sin \ \ alpha = 2 \ sin ^ 2 (\ frac (\ pi) 4- \ frac (\ alpha) 2)`
`1 \ pm tg \ \ alpha = \ frac (sin (\ frac (\ pi) 4 \ pm \ alpha)) (cos \ frac (\ pi) 4 \ cos \ \ alpha) =` `\ frac (\ sqrt (2) kasalanan (\ frac (\ pi) 4 \ pm \ alpha)) (cos \ \ alpha) `
`1 \ pm tg \ \ alpha \ tg \ \ beta = \ frac (cos (\ alpha \ mp \ beta)) (cos \ \ alpha \ cos \ \ beta);` `\ ctg \ \ alpha \ ctg \ \ beta \ pm 1 = \ frac (cos (\ alpha \ mp \ beta)) (sin \ \ alpha \ sin \ \ beta) `

Mga formula para sa pag-convert ng mga produkto ng mga function

Mga formula para sa pag-convert ng produkto ng trigonometriko function na may mga argumento `\ alpha` at` \ beta` sa kabuuan (pagkakaiba) ng mga argumentong ito.
`sin \ \ alpha \ sin \ \ beta =` `\ frac (cos (\ alpha - \ beta) -cos (\ alpha + \ beta)) (2)`
`sin \ alpha \ cos \ beta =` `\ frac (sin (\ alpha - \ beta) + sin (\ alpha + \ beta)) (2)`
`cos \ \ alpha \ cos \ \ beta =` `\ frac (cos (\ alpha - \ beta) + cos (\ alpha + \ beta)) (2)`
`tg \ \ alpha \ tg \ \ beta =` `\ frac (cos (\ alpha - \ beta) -cos (\ alpha + \ beta)) (cos (\ alpha - \ beta) + cos (\ alpha + \ beta)) = `` \ frac (tg \ \ alpha + tg \ \ beta) (ctg \ \ alpha + ctg \ \ beta) `
`ctg \ \ alpha \ ctg \ \ beta =` `\ frac (cos (\ alpha - \ beta) + cos (\ alpha + \ beta)) (cos (\ alpha - \ beta) -cos (\ alpha + \ beta)) = `` \ frac (ctg \ \ alpha + ctg \ \ beta) (tg \ \ alpha + tg \ \ beta) `
`tg \ \ alpha \ ctg \ \ beta =` `\ frac (sin (\ alpha - \ beta) + sin (\ alpha + \ beta)) (sin (\ alpha + \ beta) -sin (\ alpha - \ beta)) `

Generic na trigonometric substitution

Ang mga formula na ito ay nagpapahayag ng mga trigonometriko na function sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo.
`sin \ \ alpha = \ frac (2tg \ frac (\ alpha) (2)) (1 + tg ^ (2) \ frac (\ alpha) (2)),` `\ alpha \ ne \ pi +2 \ pi n, n \ sa Z`
`cos \ \ alpha = \ frac (1 - tg ^ (2) \ frac (\ alpha) (2)) (1 + tg ^ (2) \ frac (\ alpha) (2)),` `\ alpha \ ne \ pi +2 \ pi n, n \ sa Z`
`tg \ \ alpha = \ frac (2tg \ frac (\ alpha) (2)) (1 - tg ^ (2) \ frac (\ alpha) (2)),` `\ alpha \ ne \ pi +2 \ pi n, n \ sa Z, `` \ alpha \ ne \ frac (\ pi) (2) + \ pi n, n \ sa Z`
`ctg \ \ alpha = \ frac (1 - tg ^ (2) \ frac (\ alpha) (2)) (2tg \ frac (\ alpha) (2)),` `\ alpha \ ne \ pi n, n \ sa Z, `` \ alpha \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ sa Z`

Mga formula ng cast

Ang mga formula ng paghahagis ay maaaring makuha gamit ang mga katangian ng mga function ng trigonometriko bilang periodicity, symmetry, ang ari-arian ng paglilipat ng isang naibigay na anggulo. Pinapayagan nila ang mga function ng isang arbitrary na anggulo na ma-convert sa mga function na may anggulo sa pagitan ng 0 at 90 degrees.

Para sa anggulo (`\ frac (\ pi) 2 \ pm \ alpha`) o (` 90 ^ \ circ \ pm \ alpha`):
`sin (\ frac (\ pi) 2 - \ alpha) = cos \ \ alpha;` `sin (\ frac (\ pi) 2 + \ alpha) = cos \ \ alpha`
`cos (\ frac (\ pi) 2 - \ alpha) = sin \ \ alpha;` `cos (\ frac (\ pi) 2 + \ alpha) = - sin \ \ alpha`
`tg (\ frac (\ pi) 2 - \ alpha) = ctg \ \ alpha;` `tg (\ frac (\ pi) 2 + \ alpha) = - ctg \ \ alpha`
`ctg (\ frac (\ pi) 2 - \ alpha) = tg \ \ alpha;` `ctg (\ frac (\ pi) 2 + \ alpha) = - tg \ \ alpha`
Para sa anggulo (`\ pi \ pm \ alpha`) o (` 180 ^ \ circ \ pm \ alpha`):
`sin (\ pi - \ alpha) = sin \ \ alpha;` `sin (\ pi + \ alpha) = - sin \ \ alpha`
`cos (\ pi - \ alpha) = - cos \ \ alpha;` `cos (\ pi + \ alpha) = - cos \ \ alpha`
`tg (\ pi - \ alpha) = - tg \ \ alpha;` `tg (\ pi + \ alpha) = tg \ \ alpha`
`ctg (\ pi - \ alpha) = - ctg \ \ alpha;` `ctg (\ pi + \ alpha) = ctg \ \ alpha`
Para sa anggulo (`\ frac (3 \ pi) 2 \ pm \ alpha`) o (` 270 ^ \ circ \ pm \ alpha`):
`sin (\ frac (3 \ pi) 2 - \ alpha) = - cos \ \ alpha;` `sin (\ frac (3 \ pi) 2 + \ alpha) = - cos \ \ alpha`
`cos (\ frac (3 \ pi) 2 - \ alpha) = - sin \ \ alpha;` `cos (\ frac (3 \ pi) 2 + \ alpha) = sin \ \ alpha`
`tg (\ frac (3 \ pi) 2 - \ alpha) = ctg \ \ alpha;` `tg (\ frac (3 \ pi) 2 + \ alpha) = - ctg \ \ alpha`
`ctg (\ frac (3 \ pi) 2 - \ alpha) = tg \ \ alpha;` `ctg (\ frac (3 \ pi) 2 + \ alpha) = - tg \ \ alpha`
Para sa anggulo (`2 \ pi \ pm \ alpha`) o (` 360 ^ \ circ \ pm \ alpha`):
`sin (2 \ pi - \ alpha) = - sin \ \ alpha;` `sin (2 \ pi + \ alpha) = kasalanan \ \ alpha`
`cos (2 \ pi - \ alpha) = cos \ \ alpha;` `cos (2 \ pi + \ alpha) = cos \ \ alpha`
`tg (2 \ pi - \ alpha) = - tg \ \ alpha;` `tg (2 \ pi + \ alpha) = tg \ \ alpha`
`ctg (2 \ pi - \ alpha) = - ctg \ \ alpha;` `ctg (2 \ pi + \ alpha) = ctg \ \ alpha`

Pagpapahayag ng ilang trigonometric function sa mga tuntunin ng iba

`sin \ \ alpha = \ pm \ sqrt (1-cos ^ 2 \ alpha) =` `\ frac (tg \ \ alpha) (\ pm \ sqrt (1 + tg ^ 2 \ alpha)) = \ frac 1 ( \ pm \ sqrt (1 + ctg ^ 2 \ alpha)) `
`cos \ \ alpha = \ pm \ sqrt (1-sin ^ 2 \ alpha) =` `\ frac 1 (\ pm \ sqrt (1 + tg ^ 2 \ alpha)) = \ frac (ctg \ \ alpha) ( \ pm \ sqrt (1 + ctg ^ 2 \ alpha)) `
`tg \ \ alpha = \ frac (sin \ \ alpha) (\ pm \ sqrt (1-sin ^ 2 \ alpha)) =` `\ frac (\ pm \ sqrt (1-cos ^ 2 \ alpha)) ( cos \ \ alpha) = \ frac 1 (ctg \ \ alpha) `
`ctg \ \ alpha = \ frac (\ pm \ sqrt (1-sin ^ 2 \ alpha)) (sin \ \ alpha) =` `\ frac (cos \ \ alpha) (\ pm \ sqrt (1-cos ^ 2 \ alpha)) = \ frac 1 (tg \ \ alpha) `

Ang trigonometrya ay literal na isinasalin bilang "pagsusukat ng mga tatsulok." Nagsisimula siyang mag-aral sa paaralan, at nagpapatuloy nang mas detalyado sa mga unibersidad. Samakatuwid, ang mga pangunahing pormula para sa trigonometrya ay kinakailangan, simula sa ika-10 baitang, pati na rin para sa pagpasa sa pagsusulit. Tinutukoy nila ang mga koneksyon sa pagitan ng mga function, at dahil marami sa mga koneksyon na ito, maraming mga formula mismo. Ang pag-alala sa lahat ng mga ito ay hindi madali, at ito ay hindi kinakailangan - kung kinakailangan, maaari mong ipakita ang lahat ng ito.

Ginagamit ang mga formula ng trigonometriko sa integral calculus, gayundin sa mga pagpapasimple ng trigonometriko, mga kalkulasyon, mga pagbabagong-anyo.

Trigonometry, mga formula ng trigonometriko

Ang mga ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing trigonometric function - sine, cosine, tangent at cotangent - ay nakatakda mga formula ng trigonometriko... At dahil maraming koneksyon sa pagitan ng mga trigonometriko na pag-andar, ipinapaliwanag nito ang kasaganaan ng mga formula ng trigonometriko. Ang ilang mga formula ay kumonekta sa mga function ng trigonometriko ng parehong anggulo, ang iba - mga function ng isang maramihang anggulo, ang iba pa - nagbibigay-daan sa iyo upang babaan ang antas, ika-apat - ipahayag ang lahat ng mga function sa pamamagitan ng tangent ng kalahating anggulo, atbp.

Sa artikulong ito, ililista namin sa pagkakasunud-sunod ang lahat ng mga pangunahing trigonometric formula, na sapat upang malutas ang karamihan ng mga problema sa trigonometrya. Para sa kadalian ng pagsasaulo at paggamit, ipapangkat namin ang mga ito ayon sa layunin at ilalagay ang mga ito sa mga talahanayan.

Mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko itakda ang ugnayan sa pagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo. Sinusundan nila ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent, pati na rin ang konsepto ng unit circle. Pinapayagan ka nitong ipahayag ang isang trigonometric function sa mga tuntunin ng anumang iba pa.

Para sa isang detalyadong paglalarawan ng mga formula ng trigonometry na ito, ang kanilang hinango at mga halimbawa ng aplikasyon, tingnan ang artikulong mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan.

Bumalik sa tuktok ng pahina

Mga formula ng cast

Mga formula ng cast sundin mula sa mga katangian ng sine, cosine, tangent at cotangent, iyon ay, sinasalamin nila ang pag-aari ng periodicity ng trigonometric function, ang ari-arian ng simetrya, pati na rin ang pag-aari ng paglilipat ng isang naibigay na anggulo. Binibigyang-daan ka ng mga trigonometrikong formula na ito mula sa pagtatrabaho sa mga di-makatwirang anggulo hanggang sa pagtatrabaho sa mga anggulo na mula sa zero hanggang 90 degrees.

Ang katwiran para sa mga formula na ito, ang mnemonic na panuntunan para sa pagsasaulo ng mga ito at mga halimbawa ng kanilang aplikasyon ay maaaring pag-aralan sa mga formula ng pagbabawas ng artikulo.

Bumalik sa tuktok ng pahina

Mga formula ng karagdagan

Mga formula sa pagdaragdag ng trigonometric ipakita kung paano ang trigonometriko function ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang anggulo ay ipinahayag sa mga tuntunin ng trigonometriko function ng mga anggulong ito. Ang mga formula na ito ay nagsisilbing batayan para makuha ang mga sumusunod na trigonometric formula.

Para sa higit pang impormasyon, tingnan ang artikulo ng Mga Addition Formula.

Bumalik sa tuktok ng pahina

Mga formula para sa doble, triple, atbp. sulok

Mga formula para sa doble, triple, atbp. anggulo (tinatawag ding maraming angle formula) ay nagpapakita kung paano gumagana ang trigonometriko ng doble, triple, atbp. ang mga anggulo () ay ipinahayag sa mga tuntunin ng trigonometric function ng isang solong anggulo. Ang kanilang derivation ay batay sa mga formula ng karagdagan.

Ang mas detalyadong impormasyon ay kinokolekta sa mga formula ng artikulo para sa doble, triple, atbp. sulok.

Bumalik sa tuktok ng pahina

Mga formula ng kalahating anggulo

Mga formula ng kalahating anggulo ipakita kung paano ipinahayag ang mga function ng trigonometriko ng kalahating anggulo sa mga tuntunin ng cosine ng isang integer na anggulo. Ang mga trigonometrikong formula na ito ay sumusunod mula sa mga formula ng dobleng anggulo.

Ang kanilang konklusyon at mga halimbawa ng aplikasyon ay matatagpuan sa mga formula ng kalahating anggulo ng artikulo.

Bumalik sa tuktok ng pahina

Mga formula ng pagbabawas ng degree

Trigonometric Degree Reduction Formulas ay idinisenyo upang mapadali ang paglipat mula sa natural na mga antas ng trigonometriko function sa mga sine at cosine sa unang antas, ngunit maramihang mga anggulo. Sa madaling salita, pinapayagan ka nitong babaan ang mga antas ng trigonometric function sa una.

Bumalik sa tuktok ng pahina

Mga formula ng kabuuan at pagkakaiba para sa mga function ng trigonometriko

Ang pangunahing layunin mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng trigonometriko function ay upang pumunta sa produkto ng mga function, na kung saan ay lubhang kapaki-pakinabang kapag pinasimple ang trigonometriko expression. Ang mga formula na ito ay malawakang ginagamit din sa paglutas ng mga trigonometric equation, dahil pinapayagan ka nitong i-factor ang kabuuan at pagkakaiba ng mga sine at cosine.

Para sa derivation ng mga formula, pati na rin ang mga halimbawa ng kanilang aplikasyon, tingnan ang mga formula ng artikulo para sa kabuuan at pagkakaiba ng sine at cosine.

Bumalik sa tuktok ng pahina

Mga formula para sa produkto ng mga sine, cosine at sine sa pamamagitan ng cosine

Ang paglipat mula sa produkto ng trigonometriko function sa kabuuan o pagkakaiba ay isinasagawa gamit ang mga formula para sa produkto ng mga sine, cosine at sine sa pamamagitan ng cosine.

Bumalik sa tuktok ng pahina

Generic na trigonometric substitution

Tinatapos namin ang pagsusuri ng mga pangunahing formula ng trigonometrya na may mga formula na nagpapahayag ng mga function ng trigonometriko sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo. Ang kapalit na ito ay pinangalanan unibersal na trigonometrikong pagpapalit... Ang kaginhawahan nito ay nakasalalay sa katotohanan na ang lahat ng mga trigonometriko na pag-andar ay ipinahayag sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo nang makatwiran na walang mga ugat.

Para sa karagdagang impormasyon, tingnan ang artikulong Universal Trigonometric Substitution.

Bumalik sa tuktok ng pahina

• Algebra: Teksbuk. para sa 9 cl. Miyerkules paaralan / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teleyakovsky.- M .: Edukasyon, 1990.- 272 p.: may sakit.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Textbook. para sa 10-11 cl. Miyerkules shk. - 3rd ed. - M .: Edukasyon, 1993 .-- 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra at simula ng pagsusuri: Teksbuk. para sa 10-11 cl. Pangkalahatang edukasyon. mga institusyon / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn at iba pa; Ed. A. N. Kolmogorov - ika-14 na ed. - M .: Edukasyon, 2004. - 384 p.: may sakit - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan): Textbook. manwal - M.; Mas mataas. shk., 1984.-351 p., may sakit.

Mga formula ng trigonometriko- ito ang mga pinakakinakailangang formula sa trigonometrya, kinakailangan upang ipahayag ang mga function ng trigonometriko na isinasagawa para sa anumang halaga ng argumento.

Mga formula ng karagdagan.

kasalanan (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

kasalanan (α - β) = sin α cos β - sin β cos α

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tan (α + β) = (tan α + tan β) ÷ (1 - tan α tan β)

tan (α - β) = (tan α - tan β) ÷ (1 + tan α tan β)

ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

ctg (α - β) = (ctg α ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Mga formula ng dobleng anggulo.

dahil 2α = cos²α - kasalanan²α

dahil 2α = 2cos²α — 1

dahil 2α = 1 - 2sin²α

kasalanan 2α = 2 kasalananα Cosα

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

ctg 2α = (ctg²α - 1) ÷ (2ctgα )

Mga formula ng triple angle.

sin 3α = 3sin α - 4sin³ α

kasi 3α = 4cos³α - 3cosα

tg 3α = (3tgα - tg³α ) ÷ (1 - 3tg²α )

ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Mga formula ng kalahating anggulo.

Mga formula ng cast.

Function / anggulo sa rad.	π / 2 - α	π / 2 + α			3π / 2 - α	3π / 2 + α	2π - α	2π + α
Function / anggulo sa °	90 ° - α	90 ° + α	180 ° - α	180 ° + α	270 ° - α	270 ° + α	360 ° - α	360 ° + α

Detalyadong paglalarawan ng mga formula ng pagbabawas.

Pangunahing mga formula ng trigonometriko.

Pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Ang pagkakakilanlan na ito ay ang resulta ng paglalapat ng Pythagorean theorem sa isang tatsulok sa isang yunit ng trigonometric na bilog.

Ang relasyon sa pagitan ng cosine at tangent:

1 / cos 2 α − tan 2 α = 1 o sec 2 α − tan 2 α = 1.

Ang pormula na ito ay bunga ng pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan at nakuha mula dito sa pamamagitan ng paghahati sa kaliwa at kanang bahagi ng cos2α. Ito ay ipinapalagay na α ≠ π / 2 + πn, n∈Z.

Ang relasyon sa pagitan ng sine at cotangent:

1 / sin 2 α − cot 2 α = 1 o csc 2 α − cot 2 α = 1.

Ang pormula na ito ay sumusunod din mula sa pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan (nakuha mula dito sa pamamagitan ng paghahati sa kaliwa at kanang bahagi ng kasalanan2α... Ipinapalagay dito na α ≠ πn, n∈Z.

Kahulugan ng tangent:

tanα = sinα / cosα,

saan α ≠ π / 2 + πn, n∈Z.

Kahulugan ng cotangent:

cotα = cosα / sinα,

saan α ≠ πn, n∈Z.

Corollary mula sa mga kahulugan ng tangent at cotangent:

tanα⋅ cotα = 1,

saan α ≠ πn / 2, n∈Z.

Kahulugan ng secant:

secα = 1 / cosα, α ≠ π / 2 + πn, n∈ Z

Kahulugan ng cosecant:

cscα = 1 / sinα, α ≠ πn, n∈ Z

Mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometric.

Ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko:

sinx> a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,

cosx> a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,

tanx> a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,

cotx> a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.

Mga parisukat ng trigonometriko function.

Mga formula para sa mga cube ng trigonometriko function.

Trigonometry Mathematics. Trigonometry. Mga pormula. Geometry. Teorya

Isinaalang-alang namin ang pinakapangunahing mga function ng trigonometriko (huwag linlangin ang iyong sarili bilang karagdagan sa sine, cosine, tangent at cotangent, maraming iba pang mga function, ngunit higit pa sa mga ito sa ibang pagkakataon), ngunit sa ngayon ay isasaalang-alang natin ang ilan sa mga pangunahing katangian ng mga function na pinag-aralan na.

Trigonometric function ng isang numeric na argumento

Anuman ang tunay na numero t kunin mo, maaari mo itong iugnay sa isang natatanging tinutukoy na bilang na sin (t).

Totoo, ang pagtutugma ng panuntunan ay medyo kumplikado at binubuo ng mga sumusunod.

Upang mahanap ang halaga ng sin (t) sa pamamagitan ng numerong t, kailangan mo:

1. iposisyon ang numero ng bilog sa coordinate plane upang ang gitna ng bilog ay tumutugma sa pinanggalingan, at ang panimulang punto A ng bilog ay bumagsak sa punto (1; 0);
2. hanapin ang punto sa bilog na katumbas ng numerong t;
3. hanapin ang ordinate ng puntong ito.
4. ang ordinate na ito ay ang kinakailangang kasalanan (t).

Sa totoo lang ito ay dumating tungkol sa function na s = sin (t), kung saan ang t ay anumang tunay na numero. Alam namin kung paano kalkulahin ang ilang mga halaga ng function na ito (halimbawa, sin (0) = 0, \ (sin \ frac (\ pi) (6) = \ frac (1) (2) \), atbp.) , alam namin ang ilan sa mga katangian nito.

Relasyon ng trigonometriko function

Habang ikaw, umaasa ako, hulaan ang lahat ng trigonometriko function ay magkakaugnay at kahit na hindi alam ang halaga ng isa, ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng isa.

Halimbawa, ang pinakamahalagang pormula ng lahat ng trigonometrya ay pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan:

\ [sin ^ (2) t + cos ^ (2) t = 1 \]

Tulad ng nakikita mo, ang pag-alam sa halaga ng sine, maaari mong mahanap ang halaga ng cosine, at kabaliktaran.

Mga formula ng trigonometrya

Mayroon ding mga karaniwang formula na nagkokonekta ng sine at cosine na may tangent at cotangent:

\ [\ boxed (\ tan \; t = \ frac (\ sin \; t) (\ cos \; t), \ qquad t \ neq \ frac (\ pi) (2) + \ pi k) \]

\ [\ boxed (\ cot \; t = \ frac (\ cos \;) (\ sin \;), \ qquad t \ neq \ pi k) \]

Ang isa pang trigometric na pagkakakilanlan ay maaaring makuha mula sa huling dalawang formula, sa pagkakataong ito ay nagkokonekta sa tangent at cotangent:

\ [\ boxed (\ tan \; t \ cdot \ cot \; t = 1, \ qquad t \ neq \ frac (\ pi k) (2)) \]

Ngayon tingnan natin kung paano gumagana ang mga formula na ito sa pagsasanay.

HALIMBAWA 1. Pasimplehin ang expression: a) \ (1+ \ tan ^ 2 \; t \), b) \ (1+ \ cot ^ 2 \; t \)

a) Una sa lahat, isinulat namin ang tangent, pinapanatili ang parisukat:

\ [1+ \ tan ^ 2 \; t = 1 + \ frac (\ sin ^ 2 \; t) (\ cos ^ 2 \; t) \]

\ [1 + \ frac (\ sin ^ 2 \; t) (\ cos ^ 2 \; t) = \ sin ^ 2 \; t + \ cos ^ 2 \; t + \ frac (\ sin ^ 2 \; t) (\ cos ^ 2 \; t) \]

Ngayon ay ipinakilala namin ang lahat sa ilalim ng isang karaniwang denominator, at nakukuha namin:

\ [\ kasalanan ^ 2 \; t + \ cos ^ 2 \; t + \ frac (\ sin ^ 2 \; t) (\ cos ^ 2 \; t) = \ frac (\ cos ^ 2 \; t + \ sin ^ 2 \; t) (\ cos ^ 2 \; t ) \]

At sa wakas, tulad ng nakikita natin, ang numerator ay maaaring bawasan sa isa sa pamamagitan ng pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan, bilang isang resulta ay nakukuha natin ang: \ [1+ \ tan ^ 2 \; = \ frac (1) (\ cos ^ 2 \; t) \]

b) Sa cotangent, ginagawa namin ang lahat ng parehong mga aksyon, ang denominator lamang ang hindi na maglalaman ng cosine, ngunit ang sine at ang sagot ay ang mga sumusunod:

\ [1+ \ higaan ^ 2 \; = \ frac (1) (\ sin ^ 2 \; t) \]

Matapos makumpleto ang gawaing ito, nakuha namin ang dalawa pang napakahalagang formula na nagkokonekta sa aming mga function, na kailangan mo ring malaman tulad ng likod ng iyong kamay:

\ [\ boxed (1+ \ tan ^ 2 \; = \ frac (1) (\ cos ^ 2 \; t), \ qquad t \ neq \ frac (\ pi) (2) + \ pi k) \]

\ [\ boxed (1+ \ cot ^ 2 \; = \ frac (1) (\ sin ^ 2 \; t), \ qquad t \ neq \ pi k) \]

Dapat mong malaman ang lahat ng ipinakita sa balangkas ng formula sa pamamagitan ng puso, kung hindi, ang karagdagang pag-aaral ng trigonometrya ay imposible nang wala sila. Sa mga susunod na panahon, dadami pa ang mga formula at marami pa at sinisigurado ko sa iyo na lahat ng mga ito ay tiyak na tatandaan mo ng mahabang panahon, o baka hindi mo na matandaan, ngunit ang anim na pirasong ito ay dapat alam ng LAHAT!

Isang kumpletong talahanayan ng lahat ng basic at bihirang mga formula ng pagbabawas ng trigonometriko.

Dito mahahanap mo ang mga trigonometrikong formula sa isang maginhawang anyo. At ang mga formula ng pagbabawas ng trigonometriko ay maaaring matingnan sa ibang pahina.

Mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko

- mathematical expression para sa trigonometriko function na ginawa para sa bawat halaga ng argument.

• sin² α + cos² α = 1
• tg α ctg α = 1
• tg α = sin α ÷ cos α
• ctg α = cos α ÷ sin α
• 1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
• 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

Mga formula ng karagdagan

• kasalanan (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
• kasalanan (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
• cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
• cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
• tan (α + β) = (tan α + tan β) ÷ (1 - tan α tan β)
• tan (α - β) = (tan α - tan β) ÷ (1 + tan α tan β)
• ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
• ctg (α - β) = (ctg α ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly - uchim.org

Mga formula ng dobleng anggulo

• cos 2α = cos² α - sin² α
• cos 2α = 2cos² α - 1
• cos 2α = 1 - 2sin² α
• sin 2α = 2sin α cos α
• tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
• ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Mga formula ng triple angle

• sin 3α = 3sin α - 4sin³ α
• cos 3α = 4cos³ α - 3cos α
• tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
• ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Mga formula ng pagbabawas ng degree

• sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
• sin³ α = (3sin α - sin 3α) ÷ 4
• cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
• cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
• sin² α cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8
• sin³ α · cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32

Paglipat mula sa trabaho hanggang sa kabuuan

• sin α cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
• sin α sin β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
• cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

Naglista kami ng ilang trigonometric formula, ngunit kung may kulang, sumulat.

Lahat para sa pag-aaral »Mathematics sa paaralan» Trigonometric formula - cheat sheet

Upang i-bookmark ang pahina, pindutin ang Ctrl + D.

Isang pangkat na may maraming kapaki-pakinabang na impormasyon (mag-subscribe kung mayroon kang USE o OGE):

Ang buong database ng mga abstract, term paper, theses at iba pang materyal na pang-edukasyon ay ibinibigay nang walang bayad. Sa pamamagitan ng paggamit ng mga materyales ng site, kinukumpirma mo na nabasa mo ang kasunduan ng user at sumasang-ayon ka sa lahat ng mga sugnay nito nang buo.

ang pagbabago ng mga pangkat ng mga pangkalahatang solusyon ng trigonometriko equation ay isinasaalang-alang nang detalyado. Sa ikatlong seksyon, ang mga hindi pamantayang trigonometric equation ay isinasaalang-alang, ang mga solusyon kung saan ay batay sa isang functional na diskarte.

Lahat ng mga formula ng trigonometrya (equation): sin (x) cos (x) tg (x) ctg (x)

Ang ikaapat na seksyon ay tumatalakay sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga elementarya na hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko, kapwa sa bilog ng yunit at ...

… Anggulo 1800-α = hypotenuse at acute angle: => OB1 = OB; A1B1 = AB => x = -x1, y = y1 => Kaya, sa kurso sa paaralan Sa geometry, ang konsepto ng isang trigonometric function ay ipinakilala sa pamamagitan ng geometric na paraan dahil sa kanilang higit na kakayahang magamit. Ang tradisyonal na pamamaraan ng pamamaraan para sa pag-aaral ng mga function ng trigonometriko ay ang mga sumusunod: 1) una, ang mga function ng trigonometriko ay tinutukoy para sa isang talamak na hugis-parihaba na anggulo ...

… Takdang aralin 19 (3.6), 20 (2.4) Pagtatakda ng layunin Pag-update ng pangunahing kaalaman Mga katangian ng mga function ng trigonometriko Mga formula ng pagbabawas Bagong materyal Mga halaga ng mga function ng trigonometriko Paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko Pag-aayos Paglutas ng problema Layunin ng aralin: ngayon ay kakalkulahin natin ang mga halaga ng trigonometriko function at lutasin ...

… Ang nabuong hypothesis ay kailangang lutasin ang mga sumusunod na gawain: 1. Upang ipakita ang papel ng trigonometriko equation at hindi pagkakapantay-pantay sa pagtuturo ng matematika; 2. Upang bumuo ng isang pamamaraan para sa pagbuo ng mga kasanayan upang malutas ang mga trigonometrikong equation at hindi pagkakapantay-pantay, na naglalayong pagbuo ng mga representasyong trigonometriko; 3. Eksperimental na suriin ang bisa ng binuong pamamaraan. Para sa mga solusyon…

Mga formula ng trigonometriko

Mga formula ng trigonometriko

Ipinakita namin sa iyong pansin ang iba't ibang mga formula na may kaugnayan sa trigonometrya.

(8) Dobleng anggulo cotangent

ctg (2α) =

ctg 2 (α) - 1 2ctg (α)

(9) Triple angle sine kasalanan (3α) = 3sin (α) cos 2 (α) - sin 3 (α) (10) Triple angle cosine cos (3α) = cos 3 (α) - 3cos (α) sin 2 (α) (11) Cosine ng kabuuan / pagkakaiba cos (α ± β) = cos (α) cos (β) ∓ sin (α) sin (β) (12) Sine ng kabuuan / pagkakaiba kasalanan (α ± β) = kasalanan (α) cos (β) ± cos (α) kasalanan (β) (13) Sum / Pagkakaiba ng tangent (14) Sum / Pagkakaiba Cotangent (15) Produkto ng mga sine kasalanan (α) kasalanan (β) = ½ (cos (α-β) - cos (α + β)) (16) Produkto ng mga cosine cos (α) cos (β) = ½ (cos (α + β) + cos (α-β)) (17) Ang produkto ng sine at cosine kasalanan (α) cos (β) = ½ (sin (α + β) + kasalanan (α-β)) (18) Kabuuan / pagkakaiba ng sinuses kasalanan (α) ± kasalanan (β) = 2sin (½ (α ± β)) cos (½ (α∓β)) (19) Kabuuan ng mga cosine cos (α) + cos (β) = 2cos (½ (α + β)) cos (½ (α-β)) (20) Pagkakaiba ng cosine cos (α) - cos (β) = -2sin (½ (α + β)) sin (½ (α-β)) (21) Kabuuan / pagkakaiba ng mga tangent (22) Sine Degree Reduction Formula kasalanan 2 (α) = ½ (1 - cos (2α)) (23) Formula ng Pagbawas ng Cosine Degree cos 2 (α) = ½ (1 + cos (2α)) (24) Kabuuan / pagkakaiba ng sine at cosine (25) Kabuuan / pagkakaiba ng sine at cosine na may mga coefficient (26) Pangunahing ratio ng arcsine at arccosine arcsin (x) + arccos (x) = π / 2 (27) Pangunahing ugnayan sa pagitan ng arc tangent at arc cotangent arctg (x) + arcctg (x) = π / 2

Mga pangkalahatang formula

- naka-print na bersyon

Mga Kahulugan Sine ng anggulo α (pagtatalaga kasalanan (α)) Ay ang ratio ng binti sa tapat ng anggulo α sa hypotenuse. Cosine ng anggulo α (pagtatalaga cos (α)) Ay ang ratio ng binti na katabi ng anggulo α sa hypotenuse. Padaplis ng anggulo α (pagtatalaga tg (α)) Ay ang ratio ng binti sa tapat ng anggulo α sa katabing binti. Ang katumbas na kahulugan ay ang ratio ng sine ng isang anggulo α sa cosine ng parehong anggulo - sin (α) / cos (α). Cotangent ng anggulo α (pagtatalaga ctg (α)) Ay ang ratio ng binti na katabi ng anggulo α sa kabaligtaran. Ang katumbas na kahulugan ay ang ratio ng cosine ng isang anggulo α sa sine ng parehong anggulo - cos (α) / sin (α). Iba pang trigonometriko function: secant - sec (α) = 1 / cos (α); cosecant - cosec (α) = 1 / sin (α). Tandaan Hindi namin partikular na isinulat ang * (multiply) sign - kung saan ang dalawang function ay nakasulat sa isang hilera, nang walang puwang, ito ay ipinahiwatig. bakas Upang makakuha ng mga formula para sa cosine, sine, tangent o cotangent ng maramihang (4+) anggulo, sapat na upang isulat ang mga ito ayon sa mga formula, ayon sa pagkakabanggit. cosine, sine, tangent o cotangent ng kabuuan, o bawasan sa mga nakaraang kaso, na binabawasan sa mga formula para sa triple at dobleng anggulo. Dagdag Talahanayan ng mga derivative

© Schoolboy... Mathematics (na may suporta ng "Branched Tree") 2009-2016

Sundin ang mga tip na ito kapag nagsasagawa ng mga pagbabagong trigonometriko:

1. Huwag subukang gumawa ng isang halimbawang scheme ng solusyon mula simula hanggang matapos kaagad.
2. Huwag subukang baguhin ang buong halimbawa nang sabay-sabay. Gumawa ng maliliit na hakbang pasulong.
3. Tandaan na bilang karagdagan sa mga trigonometric na formula sa trigonometry, maaari mo pa ring ilapat ang lahat ng patas na pagbabagong algebraic (bracketing, pagbabawas ng mga fraction, pinaikling mga formula ng multiplikasyon, at iba pa).
4. Magtiwala na magiging okay din ang lahat.

Pangunahing mga formula ng trigonometriko

Karamihan sa mga formula sa trigonometry ay kadalasang inilalapat pareho mula kanan pakaliwa at mula kaliwa pakanan, kaya kailangan mong matutunan ang mga formula na ito nang husto upang madali mong mailapat ang isang partikular na formula sa parehong direksyon. Isulat natin upang simulan ang kahulugan ng trigonometriko function. Hayaang magkaroon ng isang right-angled na tatsulok:

Pagkatapos, ang kahulugan ng sine ay:

Kahulugan ng cosine:

Kahulugan ng tangent:

Kahulugan ng cotangent:

Pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan:

Ang pinakasimpleng kahihinatnan mula sa pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan:

Mga formula ng dobleng anggulo. Dobleng anggulo ng sine:

Dobleng anggulo na cosine:

Dobleng anggulo padaplis:

Dobleng anggulo ng cotangent:

Karagdagang trigonometriko formula

Mga formula sa pagdaragdag ng trigonometric. Sine sum:

Pagkakaiba ng sine:

Ang cosine ng kabuuan:

Pagkakaiba ng cosine:

Tangent ng kabuuan:

Pagkakaiba ng tangent:

Sum cotangent:

Pagkakaiba ng cotangent:

Trigonometric formula para sa pag-convert ng kabuuan sa isang produkto. Kabuuan ng mga sine:

Pagkakaiba ng mga sine:

Kabuuan ng mga cosine:

Pagkakaiba ng cosine:

Kabuuan ng mga tangent:

Pagkakaiba ng tangents:

Kabuuan ng mga cotangent:

Pagkakaiba ng mga cotangent:

Trigonometric formula para sa pag-convert ng isang produkto sa isang kabuuan. Produkto ng mga sine:

Produkto ng sine at cosine:

Produkto ng mga cosine:

Mga formula ng pagbabawas ng degree.

Mga formula ng kalahating anggulo.

Mga formula ng pagbabawas ng trigonometric

Ang cosine function ay tinatawag co-function mga function ng sine at kabaliktaran. Katulad nito, ang tangent at cotangent function ay co-function. Ang mga formula ng paghahagis ay maaaring mabalangkas bilang sumusunod na panuntunan:

• Kung sa formula ng pagbawas ang anggulo ay ibinawas (idinagdag) mula sa 90 degrees o 270 degrees, pagkatapos ay ang pinababang function ay nagbabago sa isang cofunction;
• Kung sa formula ng pagbabawas ang anggulo ay ibinawas (idinagdag) mula sa 180 degrees o 360 degrees, kung gayon ang pangalan ng pinababang function ay mananatili;
• Sa kasong ito, ang ibinigay na function ay nauunahan ng palatandaan na ang pinababang (i.e., ang orihinal) na function ay nasa katumbas na quarter, kung ang ibinawas (idinagdag) na anggulo ay itinuturing na talamak.

Mga formula ng cast ay nakatakda sa anyo ng isang talahanayan:

Sa pamamagitan ng trigonometriko bilog madaling tukuyin ang mga tabular na halaga ng mga function ng trigonometriko:

Mga Equation ng Trigonometric

Upang malutas ang isang tiyak na trigonometric equation, dapat itong bawasan sa isa sa pinakasimpleng trigonometriko equation, na isasaalang-alang sa ibaba. Para dito:

• Maaari mong ilapat ang mga trigonometric formula sa itaas. Sa kasong ito, hindi mo kailangang subukang baguhin ang buong halimbawa nang sabay-sabay, ngunit kailangan mong sumulong sa maliliit na hakbang.
• Hindi natin dapat kalimutan ang tungkol sa posibilidad ng pagbabago ng ilang expression gamit ang mga pamamaraan ng algebraic, i.e. halimbawa, maglagay ng isang bagay sa labas ng bracket o, sa kabaligtaran, buksan ang mga bracket, kanselahin ang isang fraction, ilapat ang formula para sa pinababang multiplikasyon, dalhin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, at iba pa.
• Kapag nilulutas ang mga trigonometric equation, maaari mong gamitin paraan ng pagpapangkat... Dapat tandaan na upang ang produkto ng ilang mga kadahilanan ay maging katumbas ng zero, sapat na ang alinman sa mga ito ay katumbas ng zero, at ang iba ay umiral.
• Sa pamamagitan ng pagaaplay variable na paraan ng pagpapalit, gaya ng dati, ang equation pagkatapos ng pagpapakilala ng kapalit ay dapat na maging mas simple at hindi naglalaman ng orihinal na variable. Kailangan mo ring tandaan na gawin ang reverse replacement.
• Tandaan na ang mga homogenous na equation ay karaniwan sa trigonometry.
• Ang pagpapalawak ng mga module o paglutas ng mga hindi makatwiran na equation na may mga function na trigonometriko, kailangan mong tandaan at isaalang-alang ang lahat ng mga subtleties ng paglutas ng kaukulang mga equation na may mga ordinaryong function.
• Alalahanin ang ODV (sa mga trigonometric equation, ang mga hadlang sa ODV ay karaniwang kumukulo sa katotohanan na hindi mo maaaring hatiin sa zero, ngunit huwag kalimutan ang tungkol sa iba pang mga paghihigpit, lalo na ang tungkol sa pagiging positibo ng mga expression sa rational powers at sa ilalim ng mga ugat ng kahit na kapangyarihan. ). Tandaan din na ang mga halaga ng sine at cosine ay maaari lamang mula sa minus one hanggang plus one, kasama.

Ang pangunahing bagay ay, kung hindi mo alam kung ano ang gagawin, gumawa ng hindi bababa sa isang bagay, habang ang pangunahing bagay ay ang paggamit ng mga trigonometric formula nang tama. Kung ang nakuha mo sa parehong oras ay nagiging mas mahusay at mas mahusay, pagkatapos ay ipagpatuloy ang solusyon, at kung ito ay lumala, pagkatapos ay bumalik sa simula at subukan ang iba pang mga formula, gawin ito hanggang sa madapa ka sa tamang kurso ng solusyon.

Mga formula para sa mga solusyon ng pinakasimpleng trigonometric equation. Para sa sine, mayroong dalawang katumbas na anyo ng solusyon:

Para sa iba pang mga trigonometric function, ang tala ay hindi malabo. Para sa cosine:

Para sa tangent:

Para sa cotangent:

Paglutas ng mga trigonometrikong equation sa ilang mga espesyal na kaso:

Alamin ang lahat ng mga formula at batas sa pisika, at mga formula at pamamaraan sa matematika. Sa katunayan, napakasimple rin nitong gawin, mayroon lamang humigit-kumulang 200 na kinakailangang mga pormula sa pisika, at mas kaunti pa sa matematika. Sa bawat isa sa mga paksang ito mayroong halos isang dosenang mga karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga problema ng pangunahing antas ng pagiging kumplikado, na posible ring matutunan, at sa gayon, ganap na awtomatiko at walang kahirapan, sa tamang oras, malutas ang karamihan sa CG. Pagkatapos nito, kailangan mo lamang isipin ang pinakamahirap na gawain.

Dumalo sa lahat ng tatlong physics at mathematics rehearsal tests. Ang bawat RT ay maaaring bisitahin ng dalawang beses upang malutas ang parehong mga opsyon. Muli, sa CT, bilang karagdagan sa kakayahang mabilis at mahusay na malutas ang mga problema, at kaalaman sa mga pormula at pamamaraan, kinakailangan din na maayos na makapagplano ng oras, mamahagi ng mga puwersa, at higit sa lahat, punan ang form ng sagot. nang tama, nang hindi nalilito ang alinman sa mga bilang ng mga sagot at gawain, o ang iyong sariling apelyido. Gayundin, sa panahon ng RT, mahalagang masanay sa istilo ng pagtatanong sa mga gawain, na sa CT ay maaaring mukhang hindi karaniwan sa isang hindi handa na tao.

Ang matagumpay, masigasig at responsableng pagtupad sa tatlong puntong ito, pati na rin ang responsableng pag-elaborate ng mga huling pagsusulit sa pagsasanay, ay magbibigay-daan sa iyo na magpakita ng mahusay na mga resulta sa CT, ang maximum ng kung ano ang kaya mo.

Nakahanap ng bug?

Kung ikaw, tulad ng sa tingin mo, ay nakakita ng isang error sa mga materyales sa pagsasanay, mangyaring sumulat tungkol dito sa pamamagitan ng e-mail (). Sa liham, ipahiwatig ang paksa (physics o mathematics), ang pamagat o numero ng paksa o pagsusulit, ang bilang ng problema, o ang lugar sa teksto (pahina) kung saan, sa iyong palagay, mayroong pagkakamali. Ilarawan din kung ano ang sinasabing error. Ang iyong liham ay hindi mapapansin, ang pagkakamali ay itatama, o ipapaliwanag sa iyo kung bakit ito ay hindi isang pagkakamali.